第2讲几何专题班教师版.

1、一-匕-教学目标1. 掌握在不改变图形的面积情况下，把不规则图形转化为规则图形的一些方法技巧2. 理解勾股定理与弦图，并会灵活运用定理解题.3. 会求圆与扇形的面积，即不规则的曲线型面积教学随笔在不改变图形面积的情况下，把不规则图形转化为规则图形的方法有：平移法、割补法、旋转法、对称法、找特殊点法等，用到的原理有差不变原理、容斥原理、勾股定理等，这些方法、原理不仅在求直线型面积 图形上，而且可以运用在曲线型的图形上.本讲试题是按方法技巧分类的，把曲线型与直线型图形放在一起编排的圆与扇形的相关公式,22 n圆的面积 r ；扇形的面积=r360圆的周长=2 r ;扇形的弧长=2 r 360二、跟曲

2、线有关的图形元素。1、扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常111说的一圆、一圆、-圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆246周角的几分之几那么一般的求法是什么呢？关键是比如：扇形的面积=所在圆的面积x旦；1 I几何专题班第2讲教师版|n360360扇形中的弧长部分=所在圆的周长X丄360扇形的周长=所在圆的周长360 2 x半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长） 2、弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。一般来说，弓形面积 =扇形面积-三角形面积。（除了半圆）4、3、 弯角”如图:弯角的面积=正方形-扇

3、形谷子”如图:谷子”的面积=弓形面积X2三、勾股定理与弦图在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定 理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理勾股定理是人类最重要的创造发明之一，自从勾股定理发现以后，世界上许多数学家、数学 爱好者已经发现了 370多种不同的证明，下面就说说几种最简洁、最有趣的证明.在证明勾股定理“ a2 b2 c2 ”这个公式时，最关键的一步是怎样理解公式中的“ a2、b2、c2的几何意义，聪明的古人想到了把它们理解成边长为a、b、c的正方形的面积！通过把抽象的东西形象化：勾股定理实际上是说“以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的

4、正方形 的面积”.1赵爽的“弦图”对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形（边长都为a b）中减去4块一 样的直角三角形后， 剩下的面积是相等的， 所 以c2 a2 b2.赵爽的证明中只用到了一个人 所共知的数学规律：等量减等量相等.2、刘徽的“出入相补”原理在刘徽的证明中用到了一个人尽皆知的数学规律：两个平面图形如果“出入相补”，则其面积相等这就是“出入相补”原理.利用“出入相补”原理，将一个图形进行割补，重新组成一个新图形一对图形（面积或体积）进行变形（变换），从而得到数学公式或命题的证明一 这是一种很重要的数学方法，它是中国古代数学方法的特色之一.aa3、无字的证明无独有偶，公元

5、12世纪印度数学加婆什迦 罗的一个证明也是画了一幅图 （如右图）.婆什迦罗只在图形下面写了一个字“瞧” 没有任何文字！你能理解这幅无字的证明吗？四、常用的求面积方法有：平移法、割补法、旋转法、对称法、找特殊点法等,用到的原理有差不变原理、容斥原理、勾股定理等2 I几何专题班第2讲教师版|b【例1】按照图中的样子，在一个平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条 直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积【分析】显然阴影部分的面积不能直接来求，由于阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去甲、乙两个 直角三角形面积，所以本题关键是求

6、出平行四边形的面积，考虑到“平行四边形的对边相等”这 个特点，将甲、乙进行平移如右图就会发现平行四边形的面积等于平移后两个长方形的面积和为：4 3 2 6 24（平方厘米），所以阴影部分的面积为：24 4 2 2 3 6 2 11（平方厘米）.巩固有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）.已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10.求正方形盒底的面积厂红绿分析将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图潢、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24 2 12.根据公式可知，空白处

7、面积黄绿红12 12 20 7.2，则正方形盒底面积是 7.2 12 12 20 51.2.所分得的四个小矩形，其知识点： 过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，见下图面积满足这样的规律：0 S4 S2 S3.a,b,c, d，面积规律有:连接各个小长方形的对角线将长方形分成的四个三角形n拓展BC EF，且有 AB平行于ED，AF平行FD 24厘米，BD 18厘米，请问六边形如下图，六边形 ABCDEF中，AB ED，AF CD， 于CD， BC平行于EF，对角线 FD垂直于 BD，已知ABCDEF的面积是多少平方厘米？3 I几何专题班第2讲教师版|CC分析如图，我们将BCD平移使得 C

8、D与AF重合，将DEF平移使得 ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的 AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.【例2】如图，阴影部分的面积是多少?42 2 2【分析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积,那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一 个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积

9、就等于大的矩形面积减去正方形面积。则阴影部分面 积(2 2 2) 4(22) 48铺垫计算图中阴影部分的面积(单位：分米).分析将右边的扇形向左平移，如图所示两个阴影部分拼成一个直角梯形.5 105 2 75 237.5(平方分米).【例3】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米?DD【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：120 5 24（平方厘米），由此对于阴影部分的面积可以有两种求法 方法一：连接FE由图可知 BAF、 AEF和厶FEC的面积相等,又因为 ABC的面积为120 430 （平方厘米），所以 BAF

10、、 AEF和 AFEC的面积为:30 3 10 （平方厘米），所以阴影部分的面积为：24 10 14（平方厘米）.方法二：本题用沙漏也可以解答能看见 BAF和ACDF是沙漏AB：CD BF : FC 1 ： 2所以以11BF为底的三角形 ABF占整个三角形 ABC的1，为30 -10 （平方厘米）.所以阴影面积为：3324 10 14（平方厘米）.铺垫如图正方形ABCD的边长是5 , E , F分别是AB和BC的中点，求四边形 BFGE的面积是多少？【分析】 分别找到AD、DC的中点连线，禾U用割补法，原正方形面积变换成5个小正方形面积之和，每个小正方形面积是 5，而阴影部分面积等于 1个小正

11、方形面积，所以也是 5.【例4】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为0，空白部分面积为 S2，那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 r，则 S2 2r2, S1 r2 2r2，所以 S 3.14 2 :2 57 :100 .移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.巩固如图中三个圆的半径都是 5 cm，三个圆两两相交于圆心.求阴影部分的面积和.（圆周率取3.14）10raoom 【分析】巩固分析分析【例5】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半

12、圆，面积为5 5 3.14 239.25cmABC外作正方形5，以AC为一边向（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示， ABC中， ABC 90 , AB 中心为O，求 OBC的面积.7 和.L Jf if ”3，BCACDE，如图,由于所以将 OAB沿着0点顺时针旋转90ABC 90 , AOC 90，所以OCB 180，那么 B、OCF由于OB OF ,所以它的面积为根据面积比例模型,BOF AOC 901-16 .4D，到达OABOCF的位置.OCB 180 而 OCFC、F三点在一条直线上.OAB ,，所以 BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5OBC的面积为16如图，三角形ABC

13、 求四边形ABPC的面积.是等腰直角三角形,5 10.8P是三角形外的一点，其中BPC 90 , AP10cm ,C因为 BAC和 BPC都是直角，和为P180，所以 ABP和 ACP的和也为180，可以旋转三角形APC ,使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形APP，面积为10 10 2 50拓展ABE , AEB 90 , AC、O,EBD交于O .已平方厘米.（2008年全国小学数学资优生水平测试）如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.分析如图，连接DE，以A点为中心，将 ADE顺时针旋转90至U A

14、BF的位置.那么 EAFEAB BAF EAB DAE 90，而 AEB也是90，所以四边形 AFBE是直角梯形，且AF AE 3,所以梯形AFBE的面积为:1 23 5312 ( cm ).2【例6】长方形ABCD的面积为36 cm2 , 面积是多少？AG为各边中点,H为AD边上任意点，问阴影部分DEGBEG解法一：寻找可利用的条件，连接AHFCBH、HC，如下图:D丄SS AHB、2SABCDS AHB S CHB S CHD 36可得：S EHBS FHBC1SS CHB、2S DHG1S DHC ，而2即S EHB S BHF S DHG1-(S AHB S CHB2S CHD )13

15、6 18 ;2又因为ABE是直角三角形,根据勾股定理，2 2AB AEBE232 5：S ABD1 22-AB 17(cm ).2那么SBDES ABDS ABES ADES ABDSAFBE17 125 ( cm2),所以S1SOBE S BDE22.5 ( cm ).234，所以而 S EHB S BHFS DHGS阴影1 (-S EBF ,1-BE1 1BF 二(；AB)BC)13622 228所以阴影部分的面积是：S阴影18SEBF解法二二：特殊点法.找H的特殊点，把H4.5 18 4.5 13.5点与D点重合,d(h)S EBFGEBC那么图形就可变成右图:A这样阴影部分的面积就是D

16、EF的面积，根据鸟头定理，则有：1 11S阴影 SabcD S AED S BEF S CFD2 221 36 13.5 2解法三：可以找到长方形 ABCD的特殊状态正方形 ABCD，然后就和上面的特殊点法一样.【例7】（第四届走美决赛试题）如图，边长为3的两个正方形 BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为ABDCA边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.（n取3.14）【分析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以2 2r 3 2 18 ,女口右图将左边的阴影翻转右边阴影下部，S阴影S扇形S柳叶-1812( 183 3)1838.5834

17、注意：建议教师在讲解此题时，将弓形面积和柳叶形的面积计算方法复习一遍D K，柳叶面积等于弓形面积的2倍【例8】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置 3个两两重叠、形状相同的圆形纸片它们的面积都是 100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米TT巩固（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为【分析】根据容斥原理得 100 3 S阴影2 42 144，所以Sw 100 3 144 2 42 72（平方厘米）10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是BC分析如图所示，设 AD上的两个点分别为 M、N 连接CN 根

18、据面积比例模型，CMF与 CNF的面积是相等的，那么CMF与 BNF的面积之和，等于CNF与 BNF的面积之和，即等于 BCN的面积而 BCN的面积为正方形 ABCD面积的一半， 亠 2 1为 10-50 2又CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2个四边形EFGH的面积，所以阴影部分的面积为：50 5 2 40 拓展如图，矩形ABCD中，AB 6厘米，BC 4厘米，扇形 ABE半径AE 6厘米，扇形 CBF的半径 CB 4厘米，求阴影部分的面积（取3）A分析方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分 ABFD在左上，求出这

19、个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分1所以不规则部分 ABFD的面积为6 4 14ABFD与扇形BCF共同构成长万形ABCD ,2 , .412 （平方厘米），1则有阴影部分面积为 147,61215 (平方厘米)米）【例9】巩固分析方法二：利用容斥原理 S阴影S扇形EABS扇形BCFS长方形ABCD624246 15 （平方厘阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2, AB 8cm，求BC的长度.（n【分析】三角形ABC是直角三角形,积为25cm2，则直角三角形BC的长度为8n 252的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半

20、圆面21 8 / 2n 25 8 n 25（ cm ）,2 2ABC面积为8 2 n 6.2512.53 ( cm).（2008年武汉明心奥数挑战赛） 如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少?91111的正方形和一边长为灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是2 2117170 ;类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为 5的正方形，它们2 2的总面积是95106 .由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之 差就等于170 106 64 .再从扇形ABE

21、中考虑，让扇形 ABE减去ABFD的面积,【例10】FEEA在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左F图所示的六边形 ABCDEF 求这个六边形的面积是多少？FA3、4BBCD【分析】C D根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右上图)这样，弦图中的4个直角三角形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积为24 31，且图中阴影三角形的面积都等于弦图中直角三角形的面积所以，六边形ABCDEF的面积2个阴影三角形面积3个正方形面积3个正方形面积(3 4 2)32421274.6个直角三角形面积8个直角三角形面积8巩

22、固如左下图所示，直角三角形 个三角形面积之和大多少？PQR的直角边为5厘米，9厘米.问图中3个正方形面积之和比 4FF分析如右上图，很容易先将3个正方形面积之和求出.2 2 2 正方形EFRQ的边长的平方5 9 , Swefrq 52所以，三个正方形面积之和Sw 52 92 (52 92)构造弦图如图所示，得到各个三角形的高.从而求出各个三角形的面积，S/cbpSWABPR 5 ( cm， Swcdqp9 ( cm ).9( cm2).212(cm2).2( cm2)，SpRQ5 92( cm2)，而通过弦图得出VARF的高为9, VDQE的高为5.490( cm2).所以 Svarf 5 9

23、 2 , Svdqe 5 9所以，四个三角形面积之和Sv 5则 SW S/ 212 90 122(cm2).【例11】(2004全国华罗庚金杯少年数学邀请赛如图在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的 正方形的面积之和为 980平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米？S10【分析】根据勾股定理可知道：S8 S7 S5 , S9 S10 S6 , S5 S6 S1由此：S7 S8 S9S5 S6 S1 3S1 ,同理可 知 S11 S12 S16 S13 S14 S15 S2 3S2 ,而 S1 S2 S， 980平方厘米，所以 14厘米S3 S4 S,

24、图中所有的正方形的面积之和等于 5倍的最大正方形的面积，为最大正方形的面积是： 980 5 196（平方厘米），因此最大的正方形的边长为附加题:【例1】【分析】拓展siBCD为135，而且点如图所示，在四边形 ABCD中，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角5厘米，求四边形 ABCD的面积.A到边CD的垂线AE的长为D12厘米，线段ED的长为延长AB、DC交于O .那么VAEO和VBCO都是等腰直角三角形，所以EO AE 12 （厘米），BO BC 6（厘米），1 的面积 VAED的面积122VADO的面积 VAEO102（平方厘米），1 VBCO的面积 626 18（平方厘米）,12112

25、 52即得四边形 ABCD的面积 VADO的面积 VBCO的面积84 （平方厘米）（第三届“走进美妙的数学花园”是）两个长方形如右图摆放,M为AD的中点，阴影部分的面积ABDVAGM与VMDF都是等腰直角三角形.Q Svagm 4 4 2 8 , AM MDSvmdF 2SVAGM 16 -Q四个VMDF可以拼成一个边长为 MF的正方形，面积为16 4 64MF 8S 阴影SyagfeSvagmAG GF 8AG （ GMMF） 84 （4 8）840 .拓展（2008年第六届“希望杯”五年级第二试）如图（a）, ABCD是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图（b）

26、拼成那么，长方形 ABCD的面积是多少平方厘米?图a2 2 2分析设右边的正方形的对角线长为 a,根据勾股定理，a 10 10 200 .左边的长方形 ABCD，宽AD等于右边的图形中正方形的边长和三角形的直角边长之和，长2倍之AB等于右边的图形中正方形的边长与三角形的直角边长及三角形的直角边长的和.，正方形的边长和三角形的直角边长均为2所以，a a 3aaa a5aAD -AB224424 44，长方形ABCD的面积为：3a5a15 2 a15200 187.5 （平方厘米）441616从右图中可以看出，三角形的直角边长为【例2】（ 2008年“迎春杯”初试五年级 ）一个等腰直角三角形和一个

27、正方形如图摆放，、这三 块的面积分别是 2、8、58,则、这两块的面积差是 .【分析】由于的面积是的4倍，所以可以把分成 4倍的，而两个为一个方格，一个方格的面积为2 24 根据58 260，则与一共是60 4 15（格），所以与是3 5的长方形所以正方形边长是的直角边长的 5倍，等腰直角三角形直角边长是的直角边长的7倍，则的格数为8格，的格数为10格，、这两块的面积差是 10 8 2（格），1格的面积为4，所以 、这两块的面积差为 4 2 8 .拓展（2008年“迎春杯”初试六年级 ）一个等腰直角三角形和一个正方形如左下图摆放，、这三块的面积比依次为 1:4: 41 那么，、这两块的面积比是

28、 .h分析如图右上图：QS：S1:4 ,AB:BC 1: 2 ,SVABE:SbcHE1:5 ,Sehif : Saehc415 : 156:1 , EF : AE 6:1 ,又 Q AE : CD 1:2 , AF : CD 7: 2 , AF : AC AF : DH1S4 : S5 6 6:7 3 79:14 .27:3 ,1.决赛）一个长方形和一个等腰直角三角形如左下图放置，图中六（第五届“走进美妙的数学花园2，3大长方形的面积是 2/3【分析】（法一）易知，图中除了面积为 3的长方形外，其他的三角形都是等腰直角三角形，其中如果将面积为2的等腰直角三角形沿高线切开后，就分为两个面积为1的等腰直角三角形，此时就能看出图中大长方形除开面积为3的那部分后，剩下的那部分的长方形的长宽比为4: 2 2:1，宽恰好为面积为1的等腰直角三角形直角边长的两倍，所以这一部分的长方形的面积为4 2 2 116，所以大长方形的面积为 16 3 19 .（法二）如右上图添加几条辅助线后便一目了然，