第三讲定积分在几何学上的应用(续.

1、第三讲定积分在几何学上的应用(续)授课题目： 6.2定积分在几何学上的应用(续)教学目的与要求：1. 掌握连续曲线绕坐标轴旋转形成的旋转体体积的计算。2. 会计算一些已知截面形状的立体的体积。3. 知道求平面曲线弧长的公式并能应用。教学重点与难点：旋转体体积的计算；已知截面形状的立体的体积。讲授内容：一、体积1、旋转体的体积旋转体的概念：平面图形绕平面上某一条直线(旋转轴)旋转一周而成的立体，称为旋转体。圆柱、 圆锥、圆台、球体都是旋转体。下面讨论由曲线 y f(x)，直线x a,x b及x轴所围曲边梯形绕 x轴的旋转体的体积计算公式，记它的体积为 Vx。在a,b 内任取一点x，在x,x dx

2、上对应的体积近似地可以看成以f (x)为底半径,2 b 2dx为高的圆柱体。故对应的体积元dV f (x)dx。 Vx f (x)dxa若曲边梯形为a x b，y1(x) y y2(x)，它绕x轴形成的旋转体，是将y y2(x)形成的旋转体挖去 yyjx)形成的旋转体的空心立体，故：Vxy；(x) yf(x)dxa同理：可以分析曲边梯形x=$y)和直线y=c、y=d、x=0绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 Vy= C (y)2dy。例6连接坐标原点 0及点P(h,r)的直线、直线x h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为 r高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积。 解：

3、x2例7计算椭圆爸a22b2=1绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积。解：椭球体可以看作是由半椭圆y= b . a2 x2绕x轴旋转而成，则aV=2 a - (a2 x2)dx =2 u-a2x-1x30=- nib2。若将该椭圆绕y轴旋转，则旋转椭球体 0 a2a233的体积为绕轴旋转时 x2 a2 (122)，Vy(a2242-a b ;当a=b时得到球体体积V= 4 na3。3补例1求由y x和yx2所围图形分别绕x轴、y轴的旋转体体积解联立两方程,得交点(0,0)、(1,1)。x 0,1时，下边界、上边界是y10x2 (x2)2dx2151。(宀)2 y2dy -例8求摆线x a(t si

4、nt) , ya(1 cost)的一拱与 y0所围成的图形分别绕y 0,1时，左边界、右边界分别是 x y和x y。Vy*补例2圆x2 (y 5)21绕x轴的旋转体体积解 1 x 1时，图形的上边界为y2(x)51 x2下边界为y1(x) 5.1 x2y；(x) y2(x) M(x)%(x) (x) yx)10 2,1 x21221 f 22Vx1 y2(x) y1 (x)dx 40 0 J1 x dx 10因为曲线ACB的方程为y b . R2 x2，曲线ADB的方程为y b R2 x2 ,轴、y轴旋转构成旋转体的体积.2、截面面积已知时立体的体积设空间立体分布在 a x b范围内，在区间内

5、用垂直于x轴的平面截该几何体，截面S(x)为底面，高为dx的柱面积为S(x)。因此在x,x dx上对应的体积近似可以看成以b体，对应的体积元 dV S(x)dx故V S(x)dxa2 2x V补例3求由椭圆抛物面 z 2与平面z C所围成的立体的体积a b2 2解用z Z0去截立体得令七a b卞或(aVZ)2(b坛)21由前面推导的椭圆面积可知，它的面积为abz0，即 S(z) abzccV 0 S(z)dz ab 0 zdz 2abc2 2补例4修一个水池，底面积为2 3m的矩形，上口为3 4m的矩形，深为2m，它的各个侧面均为等腰梯形，求它的容积。解 建立直角坐标系，以水池上口处为 z 0

6、，向下为z轴正方向，在0 z 2范围内，z z去截几何体，其截面为矩形，由平面几何知识可知， 矩形的长为(4 -)，宽为(3 -)2 2S(z)z(4尹z712 z22V 0 S(z)dzo(122 z)dz453 3、 m)二、平面曲线的弧长设L为起于A止于B的一段平面弧段，在教材上不加证明地给出了一个定理，光滑曲 线是可以求长的。x设：L的参数方程为y(t)(t)t 。 L光滑，即x(t)，y (t)都是连续可导函数，当t从t变化到tt时，对应L上两点的小弧段长s x2 y22()2( ) t(t,t t)ds2()2( )dt弧长s2()2()dt如果曲线是用显函数yf(x)，ax b的

7、形式给出，把x当作参变量，有b 2S 1 y (x)dx如果曲线由极坐标方程r(给出,由于 x r( )cosr()sinx2( ) y2()r)cosr( ) sin2r ( )sin r(2 2 2)cos r ( ) r ()ds.x2()y2( )d.r2( ) r 2( )dr2( ) r 2( )d例9计算星形线acos31ast 02的全长4倍，在第一象限对应解由图形的对称性，星形线的全长等于它在第一象限弧长的0 t -22 2 2 2 2 2 2 2 2x (t) y (t)( 3a cos tsint) (3a sin t cost) 9a sin t cos t在第一象限S

8、102x2(t) y2(t)dt 3a 023sin t cosdt a 全长 S24S16a例10求抛物线y x2从(0,0)到(2,2)之间的弧长ds 1 y 21x2 1 1 2ln(x x2 1)11求心形线ra(1cos )的全长由对称性S 2S1Si是x轴上方部分的弧长2 2 2r ( ) r ( ) a (1 cos)2(asin )1-ln(2 5)2 2a (2 2 cos ) 4a coss 2o r2(2()d4acosd28asin 28a030平面曲线弧长(1)曲线：yx 2 t y2 t dt,r2 r2 d例求下类平面曲线的弧长2 11. 曲线y ln 1 x2相应于0 x 的一段22. 心形线r a 1 cos 的全长 a 0x 1 cost3. 摆线0 t 2的一拱y t si nt2x2解：y 1 x2y2 1 ；2s12dxIn2In32. rasin a2 2a2 cos2 2a cos2 . 2a sin、2a、1 cos2 a cos22a cosd2a2cos2d2a2sin 22sin 28a3 S 2 dt02 2sin t 1 cost dt22 sin - dto 2C0S21、求下列旋转体的体积（1） 由y2 4ax及x=2a围成的图形绕x轴旋转（a0）3（3）由y= 3及y 4 x所围成的图形分别分