怎样学好一次函数

1、怎样学好一次函数 高启珍 卢正瑜 从事初中的数学教学工作以来，我总觉得学生对于函数这一版块的学习一 直感到头痛，而这些知识是后续学习的基础。我认为学生的问题主要存在于这样几个方面： 第一，概念不清； 第二，不能将函数的解析式与函数图象联系起来； 第三，不会利用函数的性质解决问题，总的说来，缺乏“数形”结合的思想；下面我就一次函数的知识进行剖析，以便学生们能学好这一章节的知识。 一、准确理解一次函数的定义 形如y=kx+b(k0,k,b为常数)的函数，叫做一次函数，这里x为自变量，y是x的函数，kx+b是关于自变量的一次式，特别要注意，常数k0；当b=0时，此时为正比例函数。 二、一次函数的性质

2、： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即 y/x=k 三、一次函数的图象及性质： 1 作法与图形：作法有两种：3个步骤列表；描点；连线；两点一线法（两点确定一条直线），两个步骤令x=0,求出y的值;令y=0时，求出x的值，就确定了两点。 2 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b, k0。 3 k，b与函数图象所在象限 当k0, b0时，直线通过一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k0, b0时，直线通过一、三、四象限，y随x的增大而增大 当k0， b0时，直线通过一、二、四象限，y随x的增大而减小。 当k0，b0时，直线通过二、三、四象限，y随x

3、的增大而减小 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x，y）；B（x，y），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 2121（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b； （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b；所以可以列出2个方程： y=kx+b 和 y=kx +b；2211（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值； （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用 1.当时间t一定，距离s是速度v的一

4、次函数即s=vt； 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S即g=S-ft。 例1：已知函数（1）当m-,n-时，此函数是一次函数；（2）当m-,n-时，此函数是正比例函数。 解：（1）函数是一次函数 5m-30,2-n=1 m,n=1 (2)函数是正比例函数 5m-30,2-n=1,m+n=0m=-1,n=1 二、清晰一次函数的图象 一次函数的解析式为y=kx+b(k0,k,b为常数)，它的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以我们画一次函数的图象时常用“两点法”，通常取(0,b),(,0)或(0,b),(1,k+b)这两点，取点的原则：一是点的坐

5、标便于计算，二是点的位置好找。一次函数的图象大致有以下几种情形： 已知一次函数的解析式，我们可以画出函数的图象，反过来，已知一次函数的图象，我们只需在图象上任取两个点，用待定系数法就可以确定这条直线的函数关系式。 例2：一次函数的图象经过点（1，-1），（-2，-7），求这个函数的解析式。 解：设这个函数的解析式为y=kx+b，依题意得，解得，这个函数的解析式为y=2x-3 小结：用待定系数法求函数解析式的一般步骤为：1、设函数解析式的一般形式， 2、将已知条件代入所设式子中得到关于待定系数的方程或方程组， 3、解方程（组）得到待定系数的值。 4、写出函数解析式。 在同一坐标系中，如果两条直线

6、平行，那么它们的解析式中k的值相同且b的值不同，由于两条直线平行，可以通过平移而相互得到。 y=-3x+4 个单位得到3向上平移y=-3x+1如将直线 y=-3x+1与y=-3x+4 将直线y=-3x+1向下平移2个单位得到y=-3x-1 y=-3x+1与y=-3x-1 也可理解为左右平移 将直线y=-3x+1向左平移2个单位得到y=-3x-5 将直线y=-3x+1向右平移3个单位得到y=-3x+10 规律：上“+”下“-”，左“+”右“-” 在同一直角坐标系中，如果两条直线关于x轴对称，则解析式中k,b分别互为相反数。 例3：直线L:y=2x-1与直线, L:y=-2x+1关于x轴对称 21

7、 在同一直角坐标系中，如果两条直线关于y轴对称，则解析式k的值互为相反数。 例4：直线 L:y=2x-1与直线, L:y=-2x-1关于y轴对称。 21三、明确一次函数的性质 一次函数y=kx+b，当k0时，图象形状象“/”，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大（或y随x的减小而减小）；当k0时，图象形状象“”，从左到右，图象下降，y随x的增大而减小。 例5：已知点(1,m),(3,n)在函数y=3x-2的图象上，试判断m,n的大小关系。 解：k=30,y随x的增大而增大 mn 例6：函数y=-2x+1的图象(-1,a),(2,b)经过，试比较a,b的大小。 解：k=-20,y随x的增大而减

8、小 ab 四、灵活运用一次函数解决问题 例7：某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C、D 两县运化肥到A、B两县的运费(元/吨)如下表所示： (1) 设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费y(元) 与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围； (2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案. 解：(1)设从C县运到A县x吨，从C县运到B县(100-x)吨，从D县运到A县(90-x)吨，从D县运到B县(x-40)吨 Y=35x+30(100-x)+40(90-x)+45(x-40) =10x+4800 (2)k=100,y随x的增大而增大当X=40时，总运费最低为5200元。D吨，从60县B县运到C吨，从40县A县运到C总运费最低时的运送方案是从 0县吨。50吨，从D县运到BA县运到县我相信同学们学好这一章就不应是 同学们如果对于以上的知识都弄清楚了， 难事了。这部分只是相对较简单一开始讲得是变量与常量， 学函数要循序渐进， 一些，与一元一次方程有着很大的联系，是要用含某某未知数来表示某某的量，这是函数的基本。弄明白以后，又学习较有理论的自变量与函数，这也很简单。y=kx+b(k0)，这之后，学习一次函数与正比例函数，这是