线性方程组的数值解法

1、第三章线性方程组地数值解法范数(1常用范数向量1-范数：向量2-范数：向量OO -范数：| = |向量p-范数：XiP-向量1-范数,向量2-范数,向量s -范数实际上为任意 范数地特例.(2矩阵范数设,则(1I = )|,A地行范数(2I X I,A地列范数(3,A地2-范数,也称谱范数(4), F-范数其中指矩阵地最大特征值(3谱半径(用于判断迭代法地收敛值设 I 为矩阵A地特征值，则称为A地谱半径谱半径小于任何半径，若 E ,则(4设A为非奇异矩阵，称II 为A地条件数矩阵地条件数与范数选取有关，通常有显然当A对称时直接法Gauss消去法Gauss顺序消去法对线性方程组 Ax=b,设 ，

2、按顺序消元法，写出增广矩阵(A ；b第一步，写出 - 一,将2n行中地变为0第k步,写出一一丿 ,将k+1n行中地变为0具体步骤可参照下面地例题例5:用Gauss消去法解方程组Guass列主元消去法消去过程与 Guass消元法基本相同，不同地是每一步消元时，都要 将所选到地绝对值最大元素作为主元具体分析参见习题详解1 矩阵三角（LU分解法基本思想：将Ax=b化为LUx=b,令Ux=y可得Ly=b,Ux=y,相当于先求出y,再求出x其中丄,U分别为下三角矩阵和上三角矩阵若L为单位下三角矩阵，则称为Doolittle分解。若U为单位上 三角矩阵，则称为Crout分解. 矩阵Doolittle分解法

3、计算公式具体解题见习题详解 2注意计算顺序，先行再列，用简图表示为,划为行元卜,虚线上地元素为对角元矩2阵tpru分解法计算公式计算顺序：先列再行虚线上地元素为对角元，划为列元对称正定矩阵 Cholesky分解计算公式,同学们在复习时以上三种三角分解法在计算过程中有很大地相似性 应特别注意.3、迭代法:注：由于电脑原因部分符号丨代表省略号1 ) Jacobi 迭代法迭代格式矩阵格式A二L+D+UL= . D=.|U= I迭代矩阵 B= 1,f二,则有2) Gauss-Seidel 迭代迭代格式迭代矩阵, , 则有 J(3超松弛迭代法SOR迭代格式松弛因子.4)对任意初始向量 -和右端项g,由迭

4、代公式 J ,产生地迭代序列二收敛地虫咬条件为：一.习题详解1、 用Gauss列主元消去法解线性方程组解:解得2、用三角分解法解线性方程组解：用Dooliule 分解法刁 I： L=U=HlLUx=b令 Ux=y则 Ly=b由3得： 丄.II得: 用LU分解法解线性方程组解：用Court分解法因因凶因回闫l= ju=Lux=b令 ux=y则 Ly=b得： =1/5 , I =1/2 ,=1/10 , I =3得：.=20 ,=-12 ,=-5，口 =3注意比较与上题地计算顺序4、给定方程组3(1) 写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；(2) 证明Jacobi迭代法收敛，

5、Gauss-Seidel迭代法发散；(3) 给定二= ,用迭代法求出该方程地解，精确到二-0.0005.解：1) Jacobi迭代格式Gauss-Seidel迭代格式EHJ=-=071-| =0,| =0 二 卯=01故Gauss-Seidel迭代发散3）比=-I用Jacobi迭代凶=x I占二x占=I占二.一|30=十5、给定方程|组(1) 写 出Jacobi 和 Guass-Seidel迭代格式(2) 证明Jacobi发散,Guass-Seide迭代收敛I (3) 给定,用迭代法求出该方程组地解，精确到解：1) Jacobi迭代格式Guass-Seidel迭代格式2)Jacobi迭代矩阵II 得Jacobi发散Guass-Seidel迭代矩阵K 1EI 得:故Guass-Seide迭代收敛 Gauss-Seidel 迭代6、方程组Ax=b,其中利用迭代法收敛地充要条件，确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收敛地