线性代数综合练习题

1、时间：120分钟线性代数综合练习题一、选择题(每小题 3分，共15分)：1 设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得 B ,再把B的第二列加到第列得C，则满.足AQ=C的可逆矩阵Q为()0010010(a )100 ；(B)101101001010011(C)100 ;(D)100011001则必有(2. 设 A、(A)(B)(C)(D)B为满足AB=0的任意两个非零矩阵， 的列向量组线性相关， 的列向量组线性相关， 的行向量组线性相关， 的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关。3. 下列向量集按Rn中，Rn中，Rn中，Rn

2、中，(A)(B)(C)(D)Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是( )o 坐标满足X1+X2+Xn = 0的所有向量； 坐标是整数的所有向量；坐标满足X1+X2+Xn=1的所有向量；坐标满足X1 = 1，X2，X n可取任意实数的所有向量。-A2) -1有一个特征值等于34 .设入=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵()o5.任一个4 ；3n阶矩阵,(A)合同；二、填空题(每小题21 .设矩阵A= 103 1(B)- ；(C)-4 2都存在对角矩阵与它(B)相似;3分，共15分)1 02 0，矩阵 B 满足：ABA*=2BA0 11(D) o4)(C)等价;(D)以上都不对。+E,其中A

3、*为A的伴随矩121X112.已知线性方程组23a 2X23无解，贝U a1a2X30阵，E是三阶单位矩阵，则|B|=Oa1203 .若 A= b120为正交矩阵，则a =，b0X Z014设A为n阶矩阵，且|A|m0, A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A 有特征值入，则(A*) 2+E必有特征值。5 .若二次型f= 2x12+X22+X32+2 x1 X2+t x2 X3是正定的，则t的取值围是、(15 分)(1 a)x1X2X3X40设有齐次线性方程组：2x1(2a) X22x32x403x13x2(3 aX3x404x14x24x3(4 a) X40试问a取何值时，该方程组有非零

4、解？并用一基础解系表示出全部的解四、(10分)设R3的两组基为：1(1,0,1)T, 2(1,1,0)T, 3(0,1,1)T 和 1(1,1,1)T,2(1,1,2)T,3(1,2,1)T，向量a = (2, 3, 3) T(1) 求基1,2,3到基1,2 ,3的过渡矩阵；(2) 求a关于这两组基的坐标。五、(15分)设三阶实对称矩阵A的特征值为入1 = -2，入2 = 1 (2重)，a仁(1， 1， 1) 是属于入1 = -2的特征向量。试求：(1)属于入2 = 1 (2重)的特征向量;(2) A的伴随矩阵a。六、(10分)设二次型f x122X22X32ax-! x22x1x3 2bx2

5、x3X1y1化为：2 2通过正交变换X2p yf y 2y3，求 a、bX3y3七、(10分)已知A，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵, 试证：A-2E可逆。并求出(A-2E) -1=?八、（10分）设A为n阶矩阵，且r（A） n 1,A22A,n 1 ,其中Ai是A中元素aH的代数余子式（i=1, 2,，n）。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是0和1, 并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案、选择题:1.( D); 2 (A); 3. (A); 4. (B); 5. C);11. 1 ； 2. -1;93.12，1a11三、解：A=22 a2333

6、a444、填空题:1 - 42 ；.2|A|1 ； 5.-2 t11 a1112行2aa00B33a0a04 a4a00a(1)当a=0时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为:X1+X2+X3+ X4=0由此得一基础解系为:yi(1,1,o,0)Ty2(1,0,1,0)T,故全部解为：XC1y1C2y2C3y3y(1,0,o,1)T(其中C1,C2,C3为任意常数)(7分)1 a111(2)当a丰0时，B210030104001a 1000021003 0104 001当a =-10时，r (A) =34,故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为:2x13x14x1X2

7、0x30，解之，可得一个基础解系为:& 0X=ky (其中k为任意常数)(15分)y= (1，2，3, 4) T,故全部解为:备注：此题也可另解v |A|= ( a+10) a3当|A|=0时，即a=0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。1 1 01 11四、解：(1)记B=(1 ,2,3 )= 011， C= (1 ,2 ,3 )：=1 121 0 11 21110111100110则有：011112010011011211001112从而，由基1,2 ,3到基1 ,23的过渡矩阵为:2(5 分)A=B-1C=-21（2）设a关于基1,2 ,3的坐标为（y1, y2 ,y3)即：1y

8、2y3 30y1y2y32由此可得：y1y22 y33，解之得：y10,y12y2y33故a关于基1,25的坐标为(0,1,1),110X1y12A01又TX2a y2 =-01 112X3y3112-112即a关于基1,2!3的坐标为（1, 1,2)2y 1, y31,(10 分)五、解：（1）设A的属于特征值入2=1 （2重）的特征向量为（X1, X2, X3）T , 则 A是实对称矩阵，1(X1, X2, X3)T 与a 1 正交，即有：(X1 , X2, X3) 1 =0,1也即：X1+X2+X3=0,解之：a 2= (-1, 1, 0) T a 3= (-1 , 0, 1) T A的

9、属于入2=1的全部特征向量为：ki a 2+ k2 a 3（ki, k2不同时为0）(5 分)*d(2)t A=|A|A A*的特征值为：|A|又 t |A|=-2(-2 i(2 重) A的特征值为：1, -2 （2重）10 分)00(a 1,a 2,a 3)2111111010111133312133311233321 01 0 00 2 00 0 21 0 00 2 00 0 23133333-11kA (a 1 , a 2,a 3) = (a 1 ,a 2,a 3)2A*= (a 1 ,a 2,a 3)020 0111=110101111=11010111 1(15 分)=11111 1六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：1a1000Aa1b和 B0101b1002于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|入E-A|=|入E-B| 分）也即：入3-3X 2+(2-a2-b2)X + (a-b) 2= X 3-3 X 2+2 X，比较上式等号两边的入各幕次项系数有：(a b)202 a2b22(10 分) 1七、证明： 2AB=B-4E左乘 A,得：2B=AB-4A (5 分)即：AB-2B-4A=0( A-2E) (B-4E) =8E故A-2E可逆，1 1且(A-2E) - =( B-4E) (10 分)8八、证明：T r (A) =n-1二 r