第六章解析几何.

1、第一章直线有向线段、定比分点称定义及内容有向直线规疋了正方向的直线叫做有向直线有向线段规定了起点和终点的线段叫做有向线段，如：以A为起点，以B为终点的有向线段；记为：AB ,有向线段的 长度与数量长度线段AB的长度就叫做有向线段 AB的长度；记为：|AB|,数量在有向线段AB长度|AB|的前面加上表示方向的符号 “ +、- ”， 这个数就叫做有向线段 AB的数量(或数值)；记为：AB , 注：“ + ”号表示有向线段 AB与所规定的直线方向相冋，“-”号表示有向线段 AB与所规定的直线方向相反， 在数轴ox上，点的坐标x就是有向线段OP的数量, 即：OP x,有向线段的 长度与数量 计算公式设

2、：在数轴ox上，点A的坐标是x1,点B的坐标是x2,则有：数量AB = X2 - X长度| AB |=| X2 - X1|平面上两点间的 距离公式设：在直角坐标平面内 xoy中,点P1(x1,y1)、点P2(x2,y2),则：|RF2| J(X2 xi)2 (y2 yi)2定比分点有向直线1上的一点P,把有向直线l上的有向线段P1P2分成两条有 向线段PiP、PP2，把有向线段RP、PP2的数量之比叫做点 P分P1P2 所成的比，记为：P1P则：PP2其中：点P叫做P,P2的定比分点， 注：由于点R与点P?不重合，故：-1; 当点P与点Pi重合时，故：=0; 当点P与点P2重合时，故：不存在；

3、 当点P在P1P2上时，则称点P是P1P2的内分点，且0； 当点P不在P1P2上时，则称点P是P,P2的外分点，且0； (I)当点P在PR的延长线上时，则 -1；(n )当点P在P2P1的延长线(或P1P2的反向延长线)上时， 则-10,定比分点的 计算公式设：点P分P1P2所成的比为(-1),且点 Pi(X1, y1)、点 P2(X2, y2)、点 P(x, y),y y1 x x1则有：丄工1y2 yx2xXiX2X 1 ( -1), yyiy21中点的坐标公式设:点Po（xo，yo）是线段RP2的中点，且R（X1,yJ、卩鸟区亠）,X1 x2则有：2yy1 y2yo 2三角形重心的 坐标

4、公式设：在厶 ABC 中,顶点 A(x1, y1)、B(x2 , y2)、C(x3, y3), 重心为G(x,y),X1X2 X3x 则有：3y1 y2 yay3、直线与方程名称定义及内容直线与方程以一个方程的解为坐标的点都在某一条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解时，这个方程就叫做这条直线的方程、这条直线 就叫做这个方程的直线直线的倾斜角在直角坐标系xoy中,直线l向上的方向与x轴的正方向所形成的最 小正角就叫做这条直线的倾斜角，记为：当直线l平行于x轴时，规定它的倾斜角是0o,故：倾斜角的取值范围是 0o,180o ,直线的斜率直线的倾斜角不是90o时，规定倾斜角的正切叫做这条

5、直线的斜率，记为：k故：k tg ,当直线的倾斜角是90o时，这条直线的斜率 k不存在（即:这条直线没有斜率k）,斜率的计算公式设：卩1（为”1）、P2（x2,y2）是直线l上的两个点，则这条直线的斜率y2 y1k 72 （其中：R、P2是不重合的两点 且X1 X2）X2 X1直线方程的 五种形式 点斜式：设点Po（x0, y0）在直线l上,且直线l的斜率是k，则直线l的方程为：y y k（x X0） 斜截式：设直线1的斜率是k,它在y轴上的截距是b,则直线l的方程为：y k x b 两点式：设P（x1,yJ、P2（X22）是直线l上的两个点，贝V直线1的方程为：y yi x xiy2 yiX

6、2 xi（其中:Pi、P2是不重合的两点，且xi X2、yi y2） 截距式：设直线1在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b,且a、b均不 为0,则直线l的方程为：仝y ia b 一般式：任何一条直线l均可与成关于 x、y的一次方程Ax By C=0 （其中：A、B不全为0, A、B、C是常数） 的形式，注：直线1在x轴、y轴上的截距a、b，是指直线l与x轴、y轴 相交时，交点中的横坐标是 a、纵坐标是b ,二、两条直线的位置关系名称定义及内容宀护方 位置大糸设：直线li的方程为：=&xbi （或:AxBiyCi =0）,直线 l2 的方程为：y = k2xb2 （或：A2xB2yC2=0）,

7、注：（I ） ki、k2 均存在（或:Ai、A2、Bi、B2全不是 0）,（n）对于ki、k2不 定存在（或：Ai与Bi、A2与B2中有0）的情况，单独研究，关系充分必要条件平行Ai BiCili / l2ki = k2 且 0 b2 （即：=）,A2 B2C2垂直li 丄 12ki k2 = i （即：Ai A2 Bi B2 =0）特 殊 情 况当ki、k?都不存在（即：Bi= B2 =0）时，ACi若 bi b2 （即：），贝U11 / 12 ;A2C2Ac右bi = b2 （即：=），则li与l2重合，a2 c2当匕不存在、k2 =0 （或：Bi =0、A2=0）时，贝U li丄l2,有

8、关相交冋题角直线li到直线l2的角把直线li依逆时针方向旋转到直线 l 2的位置时所旋转的角度 就叫做li到12的角，记为：（0 v i80o）设：直线li的方程为：丫 = & x bi,直线丨2的方程为：y = k2 x b2, （ki、k2均存在） k2 ki则：tg =1 kik2直线ll与直线12的夹角两条直线li与12相交所构成的四个角中，小于或等于90的 锐角就叫做直线li与直线丨2的夹角,记为：（0 0),则该圆的标准 方程是2 2 2(x a) (y b) r注：圆心在原点 (0,0),半 径是r的圆的标准方程是2 2 2xyr (r 0)dIo.有关图形位置大糸判定方法设：点

9、 M (m, n),圆 C : (x2 2 2a) (y b)r (r 0)点与圆点在圆内|MC | v r点在圆上| MC | r点在圆外|MC | r设：直线l : Ax By C 0,圆C2 22:(X a) (y b)r (r 0)，圆心C（a,b）到直线丨:AxBy C 0的距离是d.直线与圆相离d r（没有公共点）直线与圆直线与圆相切d = r（只有一个公共点）直线与圆相交d v r（有两个公共点）设：圆 M :(x a)(y b)R ,2 2 2圆 N : (x c) (y d)r(R r 0),圆心距是|MN |外离|MN | R r圆与圆相离亠入内含|MN | R r圆与圆（

10、没有公共点）-外切|MN | R r圆与圆相切亠t内切|MN | R r（只有一个公共点）圆与圆相交R r |MN | R r（有两个公共点）有关直线与圆、圆与圆的公共点个数（或位置关系）问题，可根据直线与方公共点程、曲线与方程的概念，转化为方程组的公共解的问题，问题然后消去一个未知数得到一个一兀二次方程，再根据判别式的取值确定解的个数（或位置关系），有关两个圆的相交弦问题，可根据曲线与方程的概念，转化为方程组的公共相父弦【FH耳而解问题，冋时消去两个方程中的未知数x、y的二次项所得到的二兀一次或一问题兀一次方程就是相交弦所在的直线方程5经过圆xyr上一点（xo,y）的切线方程是 x x y

11、y r ；2 2 2 2 2经过圆(x a) (y b)r (即：x y Dx Ey F 0)圆的切线上一点（X。，y。）的切线方程是iXX。、XX。y y。 D()2E(y y。)F 02(其中：D 2a, E 2b,F a2 b2 r2)圆的普通方程X2 y2 DxEy F 0三、椭圆定义第一定义在平面内到两个定点 F1、F2的距 离的和是一个常数 2a （2a | F1F2 |） 的点的轨迹（或点的集合）叫做椭圆， 其中：这两个定点叫做焦点，记为：Fj、F2第二定义在平面内，一个动点到一个定点 F 的距离和它到一条定直线 |的距离的 比是一个小于 1的常数e时,这个动 点的轨迹叫做椭圆，

12、 其中：这个定点F叫做焦点；这条定直线|叫做准线；这个常数e叫做离心率，图形标准方程范围对称性顶点焦占八 、八、长轴、短轴、焦距及之间关系离心率准线焦点在x轴上2 2x2 y2 1 （其中：a a ba x a， b y对称轴是x轴、b 0）b，2 2y2 x21 （其中：aa ba ya， b xy轴；对称中心是坐标原点（o,o）Ai（ a，0）， A2（a，0）;Bi（O, b），B2（0,b），Fi（ c，0），F2（c,0）A（o, a），A2（0,a）;Bi（ b，0），B2（b,0），Fi（0, c），F2（0,c）长轴:| A1A2 | 2a，短轴：|BiB2| 2 b.焦距：F

13、 2c其中：a为半长轴，b为半短轴，c为半焦距， a2 b2 c2准线l : xce（0 e 1），a23准线l : yc0）四、双曲线定义第一定义第二定义在平面内到两个定点 F1、F2的距 离之差的绝对值是一个常数 2a （0 2a厅汀2 |）的点的轨迹（或点的集合）叫做双曲线， 其中:这两个定点叫做焦点，记为：、F2在平面内，一个动点到一个疋点 F 的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个大于 1的常数e时,这个动 点的轨迹叫做双曲线， 其中：这个定点F叫做焦点；这条定直线l叫做准线； 这个常数e叫做离心率，且：e 1标准方程2 2冷与1（其中:a 0,b 0） ab2 2爲笃 1 （其中

14、：a 0,b 0）ab范围xa或 xa ,ya 或 ya ,对称性对称轴是x轴、y轴；对称尔中心是坐标原点(0,0),顶点Ai （ a,0）, A2（a,0）;A1 （0, a）, A2（0, a）;焦占八 、八、Fi（ c,0）, F2（c,0）F1（0, c）, F2（0,c）实轴、虚轴、 焦距及之间关系实轴:| A1A2 | 2a,虚轴:| Bi B2 | 2b.焦距：厅汀2丨2c 其中：a为半实轴，b为半虚轴，c半焦距， c2 a2 b2离心率e c （e 1）, a准线2准线1 : xc2准线1 : yc渐近线by - xaay xb五、抛物线定义平面内与一个定点 F和一条定直线l的

15、距离相等的点的轨迹(或点的集合) 叫做抛物线，其中：这个定点F叫做焦点，这条定直线l叫做准线，图象焦点在x轴上焦点在y轴上焦点在y轴上y焦点在x轴上JLi/ 1k-iK /z标准方程2y 2px (x 0)2x 2py (y 0)2y2px (x 0)2x2py (y 0)范围y Rx R对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点和焦点顶点0（0,0）,焦点F（匕0）2顶点0（0,0）,焦点F（o,号）顶点 0(0,0),焦点 F( ,0)2顶点0（0,0）,焦点F（0,号）准线Px2P y 2x卫2y f焦参数抛物线的焦点F到准线1的距离叫做焦参数，记为：p,离心率e 1六、中心或顶点在（xo，y。

16、）的椭圆、双曲线和抛物线标准方程(x X。)2 (y y。)21(y y)2 (x X0)212 ,21ab(a b 0)2, 21ab(a b 0)图象iIAKpIkLF=-1对称性对称轴是x X0 , y y ；对称中心是（X0,y）,顶点A1(x a,y) , A2(x a,y)B1(X0,y b) , B2(X0,y b)A(X0,y a) , A2(X0,y a)B1(x b,y) , B2(x b, y)焦占八 、八、F1(xc, y) , F2(xc, y)F1(X0,y c), F2(X0,y c)准线2ax X0c2ay y0c椭 圆标准方程(x Xo)2 (y yo)22i

17、T2ab(a 0,b0)(y yo)22a(x Xo)2(a 0,b0)图象对称性顶点焦占八 、八、准线渐近线标准方程图象对称性顶点焦占八 、八、准线对称轴是x Xo， y yo;对称中心是(xo, yo),Ai(Xo a, yo)，A2(x a, yo)Fi(xo c, yo) , F2(xoc, yo)2axXocby yo (x xo)a(y yo)2 2p(x Xo)(x Xo)(y yo)22p(x X。)(X Xo)对称轴是yy。，F(P Xo, yo)2F( P Xo, yo)2x P2Px Xo2XoA(xo,y a) , A2(x,y。a)Fi(xo,yo c) , Fzgyo c)2ay yocay yo _ (x xo)b(x Xo)2 2p(y yo)(y y。)(X Xo)22p(y yo)(y y。)略对称轴是x xA(xo, yo)F(xo,p yo)2F(xo, p yo)2卫y c y2py c yo2七、其它概念焦半径 及公式椭圆（