积分因子的求法及简单应用

1、积分因子的求法及简单应用 1恰当微分方程的概念及判定 1.1恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程 孚 f x，y dx 写成微分形式 f x, y dx dy 0 或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 M x, y dx N x, y dy 0 这里假设M(x,y) , N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶 偏导数，如果方程的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即 M x, y dx N x, y dy du x, y dx dy x y 则称方程为恰当微分方程 1 1.2恰当微分方程的判定 定理1假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形

2、域内是x，y的连续函数且具有 连续的一阶偏导数，则方程是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有 MN yx . 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程 2.积分因子 M N 如果对于方程在某矩形域内y x，此时方程就称为非恰当微分方 程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)工0,使得u x,y M x,y dx u x,y N x,y dy 为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程 的1个积分因子. 注可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2函数u(x,y)是方程的积分因子的充要条件是 3.积分因子求法举例 3.1观察法

3、 对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如： 1 ydx xdy 0有积分因子xy 1 1 1 1 1 2 ydx xdy 0有积分因子x 有积分因子xy . 观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的 需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2公式法 2 2 u x u y u x y u xy u x y ，y， 2 2 2 2 xy x yx y 例1 找出微分方程 xy ydx 1 xy xdy 0的一个积分因子. 解将原方程各项重新组合可以写成 ydx xdy xy ydx xdy 0 1 1 引理1微分方程存在形如: 由于xy是ydx

4、xdy的积分因子，xy也是ydx xdy的积分因子，从而原方程 y x的积分因子的充要条件有: 方程存在仅与 x有关的积分因子的充要条件: 方程存在仅与 x ， x是仅与x有关的函数; y有关的积分因子的充要条件: 方程有形如u x ， y是仅与y有关的函数; M N y x N M M N y x N M u xy x y x y 方程有形如 的积分因子的充要条件: x y是仅与x+y有关的函数, x y是仅与x-y有关的函数; 的积分因子的充要条件: xy Ny Mx 方程有形如 y x 2Nx 2My M N y x 2Nx 2My M N 2 y 2 y 方程有形如 xy是仅与xy有关

5、的函数; 的积分因子的充要条件: x2 x2 2 y是仅与 2 y是仅与 u / x的积分因子的充要条件: x2 2 y有关的函数, 2 y有关的函数; d In u x, y dz z 求得(其中z是z的函数).z可以取x，y，x y xy M N y x y x y x y 是仅与x有关的函数。 NyA x M 1 x M N 若方程中的 M(x,y) ，N(x,y) 以及 y x的关系满足以上6个充要条件 之一时，则方程的积分因子u(x,y) 都可由一阶线性齐次微分方程 z dz X，由此可得u z e 我们将上述引理归结为求积分因子的公式法 23 例2求解微分方程x y y dx x3

6、y2 xdy 0的积分因子. 卫卫2 N 解由于y x ， N x,y y M x, y x 2xy 观察可得：N x,y y M x,y x xy是关于xy的函数 u x, y e 故原方程有积分因子： 1 d xy xy 1 xy 3.3 分组求积分因子法 定理3若u为方程的一个积分因子, 且 uMdx uNdy dv 则u v也是 方程的积分因子，其中V是v的任一连续可微函数 也可以说 微分方程 皿曲 NidyMzdx dy0 ui是第一部分的积分因子，即uMdx uNdy如 u2是第二部分的积分因子，即 u2 M 2dx u2N2dy du2 从1 ui，2 u2中选择满足ui 1 u

7、i u2 2 u2 1 u1和 2 u2 ，其中 1ui 2 5是分别关于Ul , U2的连续可微函数，这样Ul 1 Ul是原方程的积分因子 求解微分方程 5xy 3y3 dx 3x2 7xy2 dy 0的积分因子. 解将原方程各项重新组合 232 5xydx 3x dy 3y dx 7xy dy 0 1 Ui 二 x y是第一部分的积分因子 53 5xydx 3x dy d In x y x y i xy是第二部分的积分因子 3 3y3dx 7xy2dyd In x3y7 故 原微分方程的积分因子为u x,y xy 即 53 Ui i x yU2 2 37 xy分别是第一、二部分的积分因子 5 3 3 7 需满足 Ui i x y U2