第八章向量代数和空间解析几何.

1、数学提高班之高等数学第五章多元微分学及应用、基本概念fy(Xo,yo)炉f (X), yoy) f(xo, yo)o1、偏导数：fx(xo,yo) lim f(X，yo) f(Xo，yo)或XXox Xofx(xo, yo)rf (Xolimx oX, yo)f (Xo, yo)Xfy(Xo, yo).f (Xo lim,y)f(xo, yo)或y yoyyo高阶偏导数:2z-2Xfxx(x,y)(二)y x2zfxy(x, y)2z2yfyy (x, y)(二)x yfyx(x, y)2. 二元函数f (x, y)在点(x,y)可微定义为:f(Xox,yo y) f(Xo,yo) fx(Xo

2、,y) x fy(Xo,y) ylim ox oy o3、方向导数：fI (xo,yo)fx(xo, yo)cosfy(xo,yo)cosf(x, y) f(x, y)x其中cos cos 是方向I的方向余弦4、梯度：gradf (x,y) f (x, y)i f (x, y) j x y5、驻点：若0，则(xo, yo)为f (x, y)的驻点 y 0ABfxy，CACB20,A0,函数在此点取极小值；ACB20,A0,函数在此点取极大值；ACB20,函数在此点不取极值;ACB20,不能确定。考研基本要求:1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义 .2. 了解二元函数的极限与连续的概

3、念以及有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念4. 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5. 理解多元函数极值和条件极值的概念， 掌握多元函数极值存在的必要条件，了 解二元函数极值存在的充分条件， 会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求 条件极值题型11:求二元函数的定义域求二元函数的定义域基本同一元函数，先写出构成各部分的各简单函数的定义 域，再联立得不等式组即得所求定义域。【例1】求下列函数定义域（1）z 1 x y （ 2） z ln x y 1 z arcsin 仝.xy3题型2:求二元函数的表达式y 2【例2】（1）设3 X）%,求 f(x, y)

4、(2)设 z , y f G. x 1)，当1时，z x，求函数f和z【思考题2】（1）设f （x y,xy)x2y y2，求 f (x, y)(2)设 f (x y, xy) x2 3xy5，求 f (x, y)(3)设 zx y f (x y)，当 y0时,求函数f和z【例3】讨论函数f x, y0,xy22 ,x yx2y20,y20,当 P x,yO 0,0时的二重极限.题型3 :求二元函数的极限说明：二元函数的极限是一元函数极限的推广,因此关于一元函数极限的运算法则和定理，均可推广到二元函数的极限【例4】求下列极限(1)lim 2x,y 0,1 %22 xylim 1,y a2yx

5、yxy,2(6)lim(x,y) (0,0)x2x2y:【例5】证明:对于函数(2) limx,yf (x, y)00叫（严）沁|im拧,y）xy0,0 2 xy 4 x,-0,2 咛2x lim (x,y) (0,0) x4322 2x y2 2 2x y (x y)，但（）f（x,y）不存在【思考题3】讨论下列极限的存在性(1)I x y lim 42(x,y) (0,0) x4y2(2)lim (x2y2)e (x y)(x,y)(,)(3)2 2证明极限(xJ!m(0,0) x2；2(：y)2不存在题型4:讨论二元函数的连续性寸xy 【例6】讨论函数f(x,y) 尹2 2y2Sin(x

6、y) (x,y) (0,0)在(0,0)处的连续0 (x,y)(0,0)说明：利用定义lim f(x,y)f(x0,y0)1X x0yy。题型5:多元函数偏导的存在的判定或求解说明：利用偏导定义【例7】z 2222设 f(x,y)0xy )ln( x y(x,y) (0,0) 求 f(0,0)f(0,0)(x,y) (0,0)，【例8】求下列函数在指定点处的二阶偏导数:(1) Z2arctay，求 三 |(。,。)( 2)1 xyx【例9】(1997,数一)二元函数 f(x,y)z ln(1x2y),，求x y2 y 2 ,(x,y)(0,0)x y0,(x,y)(0,0)在点(0,0)处2|

7、(1,1)(A)连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在【例10】(1994数)二元函数f(x,y)在点(x,y。)处两个偏导数 fx(X0,y。), fy(x0,y。)存在时f(x, y)在该点连续的(A) 充分条件而非必要条件(B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件【例11】(2005数一)设函数v) = p(r + r) + V- v) + fV一具屮函数处仃阶导数.厚AJx-y冇阶导数，则必仃GV* 1 十ctvG 广【例12】设f (x, y)2 2(x y )sinp 2 x y0,(A)偏导

8、数不存在(C)偏导数存在且连续(B)不可微(D)可微_ d2if c2n题型6 :讨论二元函数的可微性 说明：利用可微定义：f(xx,yo y) f(x,y。) fx(x,y。)x fy(x,y。)ylim x 022y o x y0，则在(0,0)处 f (x,y)0题型7:多元函数连续、可导与可微的关系【例13】(2002数一)(1) 考虑二元函数f(x.v)的下面4条性两1 f (x, v)在点(xQ, y0)处连续: f(x.y)在点(mw)处的两个偏导数连续;/(.t. v)在点(.x(y. y0)处可微;八/ (h r)在点(a0 . ya)处的两个偏导数存在.若用“尸二0”表示叮

9、由性质尸抵出则冇(A) nn(B)nn(C)n=(mnn【例14】(2001数一)(2) 设函数/(x.y)在点(00)附近冇定义，且/；(0.0) = 3,/ A0,0)= U则(A) (1-= dx + dv.1(0.0) *(B) I川而r = /(A,r)在点(0.0./(0.0)的丛向量为3丄1；二 f ( % vA(C) |川线. 5丿在点(G0J(0,0)的切问虽为1,0勻V -(JD)曲线厂 *在点(0,0,/*(0,0)的切沏皐为1=0C【思考题 4】(1) (1)设 f(x,y) x2 (y 1)arcsinJ,求|(21 x xxy，求 fop(2) 设 z f (x,

10、y)(3) 设(x)为任意一个x的可微函数,f(0,0)y2知一xF2fy x y，则 F(x,y)是(A)f(x,y)(x)(B)(C)f(x,y)(x)(y)(D)题型8:求函数的方向导数或梯度(y)为为任意一个y的可微函数，若已f(x,y) (y)f(x,y) (x) (y)【例15】 求函数z xe2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数【例16】(1996数一，二)函数u ln(xy2 z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3, 2,2)点方向的方向导数为_【例17】求函数uxyz在 F0(1,1,1)处沿方向 l(cos ,cos,cos )上的方

11、向导数,并求其梯度的大小【例18】(2005数一)设函数u(x,y,z)21x_2 212 18，单位向量n1 1,1,1.3贝 U 1(123)n【例19】(2001数一)(2)设厂二 4十 丁 十二、则 div(gradr) 二(1严2*2)1 1【思考题5】(1)求函数z 1 (x2 y2)在点P0 ( - , _)处沿x2 y2 1的内法线V2 V2方向上的方向导数和梯度。1 1(2)求函数u /在非原点F0(X0,y,Z0)处梯度的大小和方向r /x2 y2 z2题型9:多元函数极值的判定或求解【例20】(2003数一)U.知巒数/(龙)在点(0刖的某个邻域内连续”limf (h F

12、)- 可(A) 点(0Q不是f (x7 v)的极仇点.(B) 点(00是/(a r)的极大值点.(C) 点(00)址f(A. V)的极小们点.(F)朋据所给条件无法判断点(60)是否为的极们点【例21】(2006数一)(10)设yx龙)与(龙,巧均为可微函数,且p (.V, y) r 0.己知代，片)是刃瓠y)在约束条件侃紅二0下的一个极值点，下列选项正确的是【D (A)若人(ro ? o ) = ,贝吸(兀0丿0)=0(E) 若夭(5小)- g Wy ()C)若上H 0, w/cv0.儿)二 0o Jb的向比4(丫)二2期(J +疋丨J + j为某一元函数讥X)的梯度#并求三、应用提高：1、

13、空间曲线的切线与法平面：(1) 若空间曲线 的参数方程为x x(t), y y(t)， z z(t)则在曲线上点P( xo, yo, zo)的切线方程为：X Xoy y Z zx(t0)y(to)7(i7y法平面 方程为,x(to)(x xo) y(to)(y yo) z(to)(z zo) 0。其中x(to) Xo,y(to) yo,z(to) Zo。(2) 若空间曲线的方程为y (X)，z (x)(提示：曲线方程可看作参数方程 x x y (x) z (x) 切向量为T (1(x)(x)3)若空间曲线的方程为F(x，y，z)0，G(x, y,z) 0提示：两方程确定了两个隐函数y (x)，

14、z (x)，曲线的参数方程为x x，y (x)，z (x)由方程组可解得dx点M(xo,yo,zo)处的切向量为F f F dzFx FydX Fzd dy dzGx GydX GzdXFzFxFxFyGzGxdz(X)GxGyFyFz，dxFyFzGyGzGyGzTi(1,(x)(Xo)(x)点M(xo,yo, Zo)处的切向量可取FyFzFzFxFxFyGyGz5oGzGxoGxGyT=Oo2、空间曲面的切平面与法线:(1)设曲面的方程为F(x, y,z)则在曲面上点M o(xo，yo，zo)处的切平面方程为Fx(Xo,yo, Zo)(xXo)Fy(xo, yo,Zo)(yyo) Fz(x

15、o, yo,Zo)(z Zo) o法线方程为x XoyozZoFx(Xo, yo,Zo)Fy(Xo,y,Zo)Fz(Xo, y,Zo)(2) 设曲面的方程为Zf(x,y)，则在 上的点Mo(Xo，y，Zo)处的切平面方程为fx(x, y)(xXo)fy(x, y)(y yo) (z z) oXo法线方程为fx(xo, yo)yofy(xo, yo)ZZo13、多元函数极值(1)可微函数的无条件极值AC B2 o,A o,函数在此点取极小值;AC B20,A 0, 函数在此点取极大值;(2)多元函数的最值：步骤O 1在D的内部求出函数z f(x, y)的驻点 及 偏导 数不存在的点O求出函数z

16、f (x, y)在D的边界上的最大值点和最小值点。O比 较函数z f (x, y)在我们得到的点上的函数值，就可得到z f (x, y)在有界闭域 D上的最值。4、实际问题中的最值问题：需借助函数最值得计算方法，结合实际问题意义确定。5、经济应用问题考研基本要求：1、了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程2、会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数 的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题 .题型16:求空间曲线在其上某点处的切线和法平面方程txeu cosudu0【例46】求曲线y 2sin t cost 在 t0的切线和法平面方程

17、3t e【例47】求曲线z 6在点(1，- 2，1)的切线和法平面方程z 0x t【思考题11】(1) ( 1992数一、二)在曲线 yt2的所有切线中，与平面z t3x 2y z 4平行的切线(A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少有三条 (D)不存在(2)求曲线2 2x z2 2 y z10在点M (1，1，3)的切线和法平面方程10题型17:求空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程【例48】（2000数一）曲面x2 2y2 3z221在点（1, 2,2）的法线方程为【例49】（2003数一）（2）曲面二二/ + r2与平面2x + 4r-r二0平行的切平而的力程是*百【例50】（199

18、3数一、二）f3x3 *=122）由曲线电探，轴養駿一馬得91的義转面在点（0,73）处的指Q外崗的单位诜向量为【例511（ 1988数二）求椭球面x2 2y2 3z2 21上某点M处的切平面 的方程,使过已知直线L：x 6y 3 2z 121 2【例 521（ 1997 数一）rr+r + /)= 0四、（1）设在平而用上*而平而;7耳曲而： -x2 + V相切于点Vv-= 0（L-2.5）,求卩之值.【例531证明曲面S:F（ax by, cx bz） 0上任一点处的切平面与常向量平行,（分析：曲面法向量n其中a,b,c为常数，a2 b2 c2 0,F（u,v）有一阶连续偏导数。（新P25

19、7例4）aF1 cF2, bFn bF2，与常向量|平行，n I 0，可取I b, a, c）【思考题12】（1）求曲面z ez 2xy 3在点（1，2，0）处的切平面和法线方 程2 2 2 2（2） 试证：曲面x3 y3 z3 a3上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平 方和等于常数a2（3）证明曲面z xf （上）上任一点的切平面都通过坐标原点x题型18|:无条件极值求法【例54】(2004数一)设z f(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求z f (x,y)的极值点和极值。【思考题13】求由方程x2 y2 z2 2x 2y 4z 10 0确定的函数z f (x,

20、 y)的极值题型19:条件极值求法提示(1)化为无条件极值求解(2)利用拉格朗日乘数法求解【例55】求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积2 2 2【例56】在第一卦限内作椭球面 笃爲乡1的切平面，使切平面与三坐标面a b c所围成的四面体体积最小，求切点坐标。【例57】(2002数一)八、役有一小山，取它的底血所在的平血为伙”举林rtrt其底韶所占的忸戚为Z)二(兀 v)| 疋 +y2 -.Vi1 75j r 小山的岛底函数为(f)二 75 -x2 - y2 + xy.1)设M(叼b)为区域D匕一点问fr(.v.y )在读点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的国大#为Ig(.r

21、0.10)的农达式，仁)现欲利用此小山开展率岩活动*为此需要住山寻找一上山度最人的点作为辜賢的起点， 也就址说，要在D的边界线.v? + r-.w = 75上找出使g( v)达到最大侑的点试确宣睾晋 起点的位岂.1111【思考题14】求函数u xyz在附加条件一 一 一 (X 0, y 0, z 0, a 0)下的极值x y z a题型20:最值求法【例58】在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者【例59】(1994数二)在椭圆x2 4y2 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。【例60】求二兀函数z f (x, y) x2y(4 x y)在直线x y 6,x轴和y轴

22、所围成的闭域D上的最大值和最小值【例61】（2007数一）求函数f（x,y） x2 2y2 x2y2在区域D （x, y） | x2 y24,y0上的最大和最小值。【思考题15】已知三角形周长为2p，试求此三角形绕自己的一边旋转所构成的 旋转体体积的最大值（2） 抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短距离？（同济P61习题8-8 10）（3）在平面x y - 1与三坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶面，a b c在xoy坐标面上的投影为长方形（与 AB相接）的六面体中体积之最大者（其中a,b,c 0）题型21 :经济应用问题【例62】设某电视机厂生产一台电视机的成本为 c ,每台电视机的销售价格为p， 销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根 据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：x Me ap（M 0,a 0）, 其中M为市场最大需求量，a为价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的 分析，对每台电视机的生产成本c有如下预算：c c0 klnx（k 0,x 0），其中c0 是只生产一台电视机的成本，k为规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价 p，才能使该厂获得最大利润？【例63】某公司通过电视和报纸