第二节定积分在几何上的应用.

1、第二节定积分在几何上的应用课题第2讲：体积平面曲线的弧长教学 目的 要求1巩固元素法的基本思想2能够应用元素法将体积、弧长等几何问题转化为定积分问题3.能够熟练地计算体积和弧长主要 内容 与时 间分 配1旋转体的体积20分钟2.平面截面面积为已知的立体的体积30分钟3 .平面曲线的弧长40分钟重点难点1. 体积、弧长的计算公式2. 元素法的基本思想教学 方法 和手 段以讲授为主，使用电子教案课后 作业 练习作业：284页 1 .2 .285 页 3.6.9.预习：功水压力和引力平均值、平面图形的面积1直角坐标的情形由曲线y f(x)(f(x)0)及直线 x a与x b( a b)与x轴所围成的

2、曲边梯形面积 A。g(x)dx f (x)g(x) dx例1计算抛物线y2 2x与直线yx 4所围成的图形面积。bA f (x)dx其中：f (x)dx为面积元素。a由曲线 y f(x)与 y g(x)及直线x a，x b( a b)且f(x) g(x)所围成的图形面积 A。bA f (x)dxa其中：f(x) g(x)dx为面积元素。解：1、先画所围的图形简图解方程 y 2x，得交点：(2, 2)和(8,4)。y x 42.选择积分变量并定区间选取x为积分变量，则3.给出面积元素2上,dA2x2 2xdx(2x)dx4.8上,dA：2x (x 4)dx(4 2xx)dx列定积分表达式22 2

3、 x dx04 42 2x34x dx2.233218另解:若选取y为积分变量，则dA(y4)2y2dy4(y22y2184倍。1 2、尹)dy3y显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。2 2例2求椭圆 务 占 1所围成的面积 （a 0,b0）。a b解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的取x为积分变量，则 Oxa,y b 1X2V adA ydxbj1 丰dx40b1x . dx2aa故 A 4 ydx0作变量替换x a costI 2a sin tdt则 y b 1 x2bsint , dx a0A 4 (b sint)( a sin t)dt22

4、4ab sin2 tdt04abZ _2! 2ab2、极坐标情形设平面图形是由曲线r所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则,在平面图形中任意截取一典型的面积元素()及射线A，它是极角变化区间为, d 的窄曲边扇形。A的面积可近似地用半径为 r ()，中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替,12A 2【()2d12从而得到了曲边梯形的面积元素dA 寸()2d从而2()d例3计算心脏线r a(1 cos )(a0)所围成的图形面积。解：由于心脏线关于极轴对称,cos222 cos d2244 a cos do28a2匕型-22令-t8a cos04tdt3 2 a 4!22小结：求在直角坐标系下、极坐

5、标系下平面图形的面积二、体积1、旋转体的体旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称 为旋转轴。计算由曲线y f (x)直线x a，x b及x轴所围成的曲边梯形，绕 x轴旋转 周而生成的立体的体积。Vy-X)000CD取x为积分变量，则x a,b，对于区间a,b上的任一区间x,x dx，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f (x)为底半径，dx为高的圆柱体体积。即：体积元素为所求的旋转体的体积为r例1求由曲线y x及直线x h生成的立体的体积。解：取X为积分变量，则0,hdVf(x)2dx2f(x) dxh(h 0)和x轴所围成的

6、三角形绕X轴旋转而dxx2dx3h2、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面 积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为x轴，且设该立体在过点 x a， x b且垂直于x轴的两个平面之内， 以 A( x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为a,b。立体中相应于a,b上任一小区间x,x dx 的一薄片的体积近似于底面积为A(x)，高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积元素为dV A(x)dx于是，该立体的体积为V A(x)dxa2计算椭圆笃a2y21所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。

7、解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆生成的立体。y a2 x2及x轴所围成的图形绕 ax轴旋转所在x处(a x a)，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为A(x)aaV A(x)dxab2(a2x2)dxab例3计算摆线的一拱x a(t sint)(0 t2 )y a(1 cost)以及y 0所围成的平面图形绕 y轴旋转而生成的立体的体积。v2a2a解：V x；(y)dyx2(y)dyb2a2 (t si nt)2 asintdt22a2 (t si nt)2 si ntdta2(t sin t)2as intdt0336 a2请自行计算定积分(t si nt)2 si ntdt0小结：旋转体

8、体积平行截面已知的立体的体积三、平面曲线的弧长1直角坐标情形设函数f(x)在区间a,b上具有一阶连续的导数，计算曲线y f(x)的长度s。取x为积分变量，则x a,b,在a,b上任取一小区间x,x dx，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s可以用它的弧微分 ds来近似。于是，弧长元素为ds 、. 1 f (x) 2 dx弧长为bs. 1 f (x)2 dxa例1计算曲线y2 -x2(a x b)的弧长。30解：ds .1(.x)2dx . 1 xdxb 231 xdx - (1 x)23a|(1 b)%(1 a)232、参数方程的情形若曲线由参数方程(t)(t)给出，计算它的弧长时，只需要将

9、弧微分写成2q-(t)(t) dt2 2ds . (dx) (dy)的形式，从而有22s -(t)(t) 2dt例2计算半径为r的圆周长度。解：圆的参数方程为r cost rsint (0 trdtds ( rsin t)2 (r cost)2dt2s rdt 2 r03、极坐标情形若曲线由极坐标方程r r()()给出，要导出它的弧长计算公式, 弧长计算公式即可。曲线的参数方程为x r( )cos( y r( ) sin只需要将极坐标方程化成参数方程,此时变成了参数，且弧长元素为ds . (dx)2 (dy)2.(r cos rsin )2(d )2 (r sin rcos再利用参数方程下的)2()2r2 r 2d从而有r2 r2d例3解：计算心脏线ra(1 cos )