平面向量四心问题(最全)

1、_近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如 . 下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点， 所以“重心”就在中线上 .例 1已知 O是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则 P 的轨迹一定通过ABC的（）外心内心C重心D垂心解析：如图1，以 AB， AC为邻边构造平行四边形ABCD， E 为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E 在直线 AP上，因为 AE为的中线，所以选 C

2、.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例 2P 是 ABC所在平面上一点，若，则 P 是 ABC的（） .精品资料_A外心B 内心C 重心D 垂心解析 : 由.即.则，所以 P 为的垂心 .故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识 . 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合 .三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，

3、所以“内心”就在内角平分线线上.例 3已知 P 是 ABC所在平面内的一动点，且点P 满足，则动点P 一定过 ABC的 .A、重心B 、垂心C 、外心D 、内心解析：如图2 所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知 AP平分，那么在中， AP平分，则知选 B.精品资料_点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉， 又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“

4、外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上 .例 4 已知 O是 ABC内的一点，若，则 O是 ABC的 .A重心B. 垂心C. 外心D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等. 故是的外心，选 C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合， 而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、 新特点， 因此可称为高中数学的一个交汇点。 三角形的“四心” （外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往

5、往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设0,设0,，则向量，则向量( ABAC ) 必平分 BAC，该向量必通过 ABC的内心 ;ABAC( ABAC ) 必平分 BAC的邻补角ABAC精品资料_设0,，则向量ABAC) 必垂直于边 BC，该向量必通过 ABC(AB cos BAC cosC的垂心ABC中 ABuuurAC 一定过 BC 的中点，通过 ABC的重心点 O 是 ABC的外心2OB22OAOC点 O 是 ABC的重心OA OBOC0点 O 是 ABC的垂心OA

6、 OBOB OC OC OA点 O 是 ABC的内心a OAbOBc OC0 ( 其中 a、b、 c 为 ABC三边 )ABCO、重心G、垂心H共线，即 OG OH的外心设 O 为 ABC所在平面内任意一点，G为 ABC的重心， I 为 ABC的内心，则有 OG1 (OAOBOC )OIaOAbOBcOC3ab cX +X +XY +Y +YaX + bX + cXCay + by + cyC并且重心 G（ABC，ABCABAB3）内心 I （a+b+c，）3a+b+c例 1：（ 2003 年全国高考题） O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 OP OA(

7、 ABAC ) ，0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的（）ABAC（ A）外心（ B）内心AF（ C）重心（ D）垂心ECAB, AFAC 都是单位向量T事实上如图设 AEABACB易知四边形 AETF是菱形故选答案 B例 2 ：（ 2005年北京市东城区高三模拟题）O 为 ABC 所在平面内一点，如果OA OB OB OCOC OA ，则 O必为 ABC的（）（ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心事 实 上 OA OB OB OC(OAOC) OB0 CA OB0OB CA故选答案 D精品资料_例 3：已知 O为三角形ABC所在平面内一点，且满足222222OABCOBCAOC

8、AB，则点 O是三角形 ABC的（）（ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心事实上由条件可推出OA OBOB OCOC OA故选答案 D例 4：设 O 是平面上一定点，A、 B、 C是平面上不共线的三点，动点 P 满足 OPOAABAC) ，0,，则动点 P 的轨迹一定通(AB cos BAC cosC过 ABC的（）（ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心事实上(ABAC) ? BC(BCBC) 0故选答案 DAB cos BAC cosCuuur uuur uuuruuur uuuruuur r例 5 、 已 知 向 量 OP1,OP2 , OP3 满 足 条 件 OP1

9、OP2 OP3 0 ，uuur uuuruuur| OP1 | | OP2 | |OP3 | 1 ，求证： PP12 P3 是正三角形uuuruuur uuur，容易想到，点 O 是 PP P 的分析对于本题中的条件| OP1 | | OP2 | | OP3 | 11 2 3uuuruuuruuurr2P3 的重心外心，而另一个条件 OPOPOP0 表明，点 O 是 PP1123故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形在1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的uuuruuuruuur

10、| 1uuuruuuruuur显然，本题中的条件 |OP | |OP | | OP可改为 | OP | | OP | |OP | 123123高考原题例 6、O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuuruuuruuuruuurABAC). 则的轨迹一定通过的（）OPOA( uuuruuur )0,P| AB | AC |ABCA外心B内心C重心D垂心精品资料_uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur分析ABACABAC，显然已知等式即 AP( uuuruuur )，设 AEuuur , AFuuur| AB | | AC | AB | AC |u

11、uuruuurAE, AF 都是单位向量， 以二者为邻边构造平行四边形， 则结果为菱形， 故 AP 为ABC 的平分线，选 B 例7 、ABC 的 外 接圆 的圆 心为 O， 两 条边 上的 高 的 交 点为 H，uuuruuuruuuruuurOHm(OAOBOC ) ，则实数 m =分析：本题除了利用特殊三角形求解外， 纯粹利用向量知识推导则比较复杂，uuur uuur更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式AH gBC 0 ，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有uuuruuuruuuruuur，将已知gOB) 0(OH OA) (OC代入，有uuuruuuruuuru

12、uuruuuruuur，即 m(OAOBOC )gOB)0OA (OCuuur 2uuur 2uuur uuuruuur uuur0，由于 ABCm(OCOB ) (m 1)OAgBC0 ，由 O 是外心，得 (m 1)OAgBCuuuruuur1恒成立是任意三角形，则 OAgBC 不恒为，故只有 m或者，过点 O 作 OMuuuur1 uuuruuurBC 与 M ，则 M 是 BC 的中点，有 OM(OBOC) ；2H 是 垂 心 ， 则 AHuuuruuuuruuuruuuurBC ， 故 AH与 OM 共 线 ， 设 AHkOM， 则uuuruuuruuuruuurkuuuruuuru

13、uuruuuruuuruuur， 故 可 得OHOAAHOA2(OBOC )， 又 OHm(OAOBOC )uuurk uuurkuuurk(m0 ，有 m10，得 m11)OA(m)OB(m)OCm222uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur根据已知式子 OHm(OAOBOC ) 中的 OAOBOC 部分，很容易想到三角形的重心坐标公式， 设三角形的重心为G ，O 是平面内uuuruuuruuuruuurOAOBOC ，由题意，题目显然叙任一点，均有 OG3述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，A由图上观察，很容易猜想到HG2GO ，至少有两个产生猜想的诱因，其一

14、是，BF , OT 均与三角形的边AC 垂直，则 BF / OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点此时，会先猜想 BHG TOG ，但现在缺少一个TOFGHBCED精品资料图_关键的条件，即 BH2OT ，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、 G、H 分别是 ABC的外心、重uuuruuur心和垂心，则 O、G、H三点共线，且 OGGH12，利用向量表示就是 OH3OG 例 8、点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足uuur uuuruuur uuuru

15、uur uuurggg ，OA OBOB OCOC OA则点 O是 ABC 的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点分析移项后不难得出，uuur uuuruuur uuuruuur uuurrAOBgCAOCgABOAgCB0 ，点 O是ABC 的垂心，选D P3推广应用题BC图例 9在 ABC内求一点 P ，使 AP 2BP2CP 2 最小uuurruuurruuurr分析如图，构造向量解决取CAa,CBb 为基向量，设 CPx ，有uuurrr uuurrrAPxa, BPxb 于是，2BP2CP2rr 2r r2rr1rr 2r 2r 21

16、 rr 2AP(xa)( x b)x3x3(ab)ab(ab)3r1rr2BP22uuur1uuuruuuruuur当 x3(ab) 时， APCP最小，此时，即 OP3(OAOBOC) ，则点 P 为 ABC的重心例10已 知 O为ABC 所 在 平 面 内 一点 ， 满 足uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur 2心| OA | | BC |OB | CA | OC | AB |，则 O 为 ABC的uuuruuuruuuruuur 2uuur 2uuur uuuruuuruuur分析将 | BC |2(OCOB)2OCOB2OCgOB ， | CA |2,| AB |

17、2 也类似展精品资料_开代入，已知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心例11已知O为ABC的外心，求证：uuuruuuruuurrOA sin BOCOB sin AOCOC sin AOB0 分析构造坐标系证明如图，以A 为坐标原 点 ， B 在 x 轴 的 正 半 轴 ， C 在 x 轴 的 上方 1x2 y0， 直 线 BC 的 方 程 是S AOB2y3 x( x2x3 ) yx2 y30 ，由于点 A 与点 O 必在直线 BC 的 同 侧 ， 且x2 y3 0 ， 因 此 有x0 y3x3 y0x2 y0x2 y30 ，得yAC (x3, y3 )O (x0 ,

18、 y0 )B(x2 , y2 )x图S BOC1 ( x3 y0 x2 y3 x0 y3x2 y0 ) 2直线 AC 的方程是 y3x x3 y0 ，由于点 (1,0) 与点 O 必在直线 AC 的同侧，且y3 1x30 0 ，因此有 x0 y3x3 y00 ，得 S AOC1 (x0 y3x3 y0 ) uuuruuur2uuurr于 是 ， 容 易 验 证 ，OAOBAOB0 ， 又S BOCS AOCOC SS BOC1uuur uuur2| OB |OC | sin BOC ，uuur uuuruuuruuuruuuruuur uuur1，1S BOA|OB |OA | sin AOB| OA |OC | sin AOC，又 | OA | | OB | |OC |，2S AOC2则所证成立总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2： 1；