平面向量应用举例练习题含答案

1、平面向量应用举例练习题一、选择题1一物体受到相互垂直的两个力f1、f 2 的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为 ()A 10 3NB 0NC56N56D.N22河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A 10m/sB226m/sC 4 6m/sD12m/s3(2010 山东日照一中 )已知向量 a (x1，y1)，b(x2，y2)，若 |a|2，|b|3，x1 y1ab 6，则 x2 y2的值为 ()2255A.3B3C.6D64已知一物体在共点力F (lg2 ，lg2)，F2(lg5，lg2)的作用下产生位移 S

2、1(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为 ()A lg2Blg5C1D2在所在的平面内有一点 ABCP，满足 PAPBPCAB，则 PBC 与5ABC 的面积之比是 ()11A. 3B.223C.3D.46点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v (4， 3)，设开始时点P 的坐标为( 10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位： m/s，长度单位： m)()A (2,4)B (30,25)C(10， 5)D(5， 10)7已知向量 a，e 满足： a e， |e|1，对任意 tR，恒有 |ate| |a e|，则()A a eBa(a e)Ce(a e)D(a e)(ae)

3、，8已知 |OA|1，|OB|OB，点 C 在 AOB 内，AOC30，设OC3 OAmmOAnOB，则 n ()133A. 3B3C3 3D. 2二、填空题9已知 a(1,2)，b(1,1)，且 a 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 _已知直线axby c 0与圆O：x2y2 4相交于 A、B 两点，且 |AB|102 3，则 OAOB_.三、解答题11已知 ABC 是直角三角形， CACB，D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且 AE2EB.求证： ADCE.12 ABC 是等腰直角三角形， B90，D 是 BC 边的中点， BEAD，垂足为 E，延长 BE 交 A

4、C 于 F，连结 DF ，求证： ADB FDC.13(2010 江苏， 15)在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A( 1， 2)，B(2,3)，C(2， 1)(1)求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足 (ABtOC) OC0，求 t 的值14一条宽为 3km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A、B，已知 AB 3km，船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸 B 码头？用时多少？115在 ?ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN3BD，求证

5、：M，N，C 三点共线16如图所示，正方形ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形，用向量方法证明PAEF.17如图所示， 在 ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点， DE AC，E 是垂足，F 是 DE 的中点，求证 AF BE.平面向量应用举例参考答案1 答案 C 解析 根据向量加法的平行四边形法则， 合力f 的大小为25 356(N) 2. 答案 B 解析 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2 ，船的实际速度为v，则 |v 1|2，|v| 10， v v 1.v 2 v v1，v v1 0， |v 2212 1|v 2vvv 100 0 4104 2

6、 26.3 答案 B 解析 因为 |a|2，|b| 3，又 ab|a|b|cos a， b 23cosa，b6，可得 cosa，b 1.即 a，b 为共线向量且反向，又 |a|2，|b| 3，所以2有 3(x1，y1) 2(x222x1y13(x2y2)2，y2)? x1 x2， y1 y2，所以 ，33x2y2x2y23从而选 B.4 答案 D 解析 W (F1 F 2) S (lg2 lg5,2lg2)(2lg5,1) (1,2lg2) (2lg5,1) 2lg5 2lg22，故选 D.5 答案 C 解析 由PAPBPCAB，得PAPBBA PC 0，即PC2AP，所以点SPC2P 是 C

7、A 边上的三等分点，如图所示故PBC .ACSABC36 答案 C 解析 5 秒后点 P 的坐标为： (10,10) 5(4， 3)(10， 5)7答案 C解析 由条件可知 |ate|2 |ae|2 对R恒成立，又 |e| ，t1 t2 2aet2ae10 对 t R 恒成立，即 4(ae)2 8ae40 恒成立 (ae1)20 恒成立，而 (ae1)2 0， ae10.即 ae1e2， e(ae)0，即 e(ae)8 答案 B 解析 2 OCOA m|OA| nOAOB m， 2mOCOBOB | ， mOAn |OB3n3n二、填空题m|OC| |OA| cos301， n 3.|OC|

8、|OB| cos6059 答案 3且 0 解析 a 与 ab 均不是零向量，夹角为锐角， a(ab)0， 5 30，5 当a与 同向时，ma(m0)，3.a bab即(1，2) (m,2m)m015，得， 3且 0.22mm 110 答案 2 解析 |AB|23， |OA| |OB| 2， AOB120. OA|OA 2.OB| |OB| cos120三、解答题11 证明 以 C 为原点， CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系a1 2设 ACa，则 A(a,0)，B(0，a)，D 0，2 ， C(0,0)，E 3a，3a . a， a， 1，2 AD2CE3a3a . 1a 2 ADC

9、E a a 0， ADCE.a32 312 证明 如图，以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则 D(1,0)，AC(2， 2)设 AF AC， 则 BF BA AF(0,2)(2， 2)(2，22)，又 DA ( 1,2) 0， 2 2(22) 0， 2由题设 BFDA， BF3.DA4 2 1 2 BF 3，3 ， DF BFBD 3，3 ，又 DC(1,0)， 5 5 cos ADBDADB，cosFDC DFDC 5 5 ，|DA| |DB|DF | |DC|又 ADB、FDC (0，)， ADB FDC.13解析 ，则，(1)由题设知

10、 ABACAC(3,5) AC(1,1)AB(2,6) AB2.(4,4)所以 |AB AC|210，|ABAC| 4故所求的两条对角线长分别为42和 210. ，(2)由题设知 OCtOC(32t,5(21)ABt)由 (ABtOC) OC0，得 (32t,5t) (2， 1)0，从而 5t 11，所以 t115 .14 解析 如图所示，设 AC为水流速度， AD为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作 ?ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸根据题意ACAE，在RtADE 和 ?ACED 中， 2 23，|DE|AC|2， |AD|4，AED90. |AE|AD| |DE|

11、21sinEAD2， EAD 30 ，用时 0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120 角时能最快到达B 码头，用时半小时15 证明 MNBNBM.1 1 1 1 1 1 因为 BM2BA， BN 3BD3(BABC)，所以 MN 3BA3BC2BA，1 1 1 3BC6BA. 由于 MCBCBMBC2BA，可知 MC3MN，即 MC MN.又因为 MC、MN 有公共点 M ，所以 M、N、C三点共线16 分析 本题所给图形为正方形， 故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出 PA和 EF的坐标，证明其模相等即可 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为，则，a)设 ，则F2， 0，P22 ，E，2，aA(0|DP|( 0)22，2a22222所以 EF2a，2，PA 2 ，a2 ， 222 222因为 |EF| 2a a ， |PA|2a a ，所以 |EF|PA|，即 PA EF.17 证明 ABAC，且 D 是 BC 的中点， AD BC， 又DE AC， AD BD 0.DE A