专题20：动态几何之存在性问题探讨

1、初中学习资料整理总结专题20:动态几何之存在性问题探讨、等腰(边)三角形存在问题:典型例题:例1: (2012广西崇左10分)如图所示，抛物线2y = ax + bx + c(aM0的顶点坐标为点 A (- 2, 3),且抛物线y =ax2 +bx+c与y轴交于点B (0,2).(1)求该抛物线的解析式;明理由;是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在,请求出点 P的坐标；若不存在，请说若点P是x轴上任意一点，则当 PA- PB最大时，求点P的坐标.41【答案】解：(1 )抛物线的顶点坐标为A( - 2, 3)，可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3。由题意得a (叶2 )+ 3

2、,解得a =即 y =丄2 -X +2。4物线的解析式为y二一1 +2)2 +3 ,4(2)设存在符合条件的点 P,其坐标为(P,0),则PA2 = (2 -P)2+ 32, PB= p2 +22 , AB2 = (3-2)2 +22 =5当PA=PB时,(-2-p)2 +32= P2+22 ,当PA=PB时,(2-P )2 +32=5，方程无实数解;当PB=AB时,P2 +22=5，解得 P =1。 x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(0 )或(-1,0 )或(1,0 )。(3)v PA- PBCAB,.当 A、B、P三点共线时,可得PA - PB的最大值，这个最大值等于AB , 此时点P是

3、直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则总b=3，解得仁12。直线AB的解析式为y=px+25M的坐标；若不存在，请说明理由。(1 , 0) , OA=2 , OB=1。OA OB ，即由Rt ABC 知Rt ABO -Rt CAO，- oroA-，解得 OC=4。2OC1当 y = X +2 =0 时，解得 X = 4。2当PA PB最大时，点P的坐标是(4, 0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】(1)由已知用待定系数法，设顶点式求解。(2) 分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。(3) 求得P

4、A PB最大时的位置，即可求解。例2: (2012辽宁朝阳14分)已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A (0, 2), B ( 1 , 0)。(1) 求点C的坐标;(2) 求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;(3) 设点P (m , n)是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标;(4) 在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M,使得 MPC (P为上述(3)问中使S最大时点)为 等腰三角形？若存在，请直接写出点【答案】解：(1 ) A ( 0, 2), B点C的坐标为(4, 0

5、)。(2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x+1 Xx 4),1，3-【考点】1将 A (0, 2)代入，得 2=a(0+1)(04 )，解得 a=2。1y= _-(x+1 jx _4 ”即卩 y=过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=_ x2+-x+2=一x一-+竺,222 I 2 丿 8（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点 H。1点 P (m, n)在 y= -一 x2 Pfm，一 m2+-m+2】。I 22 丿2 + -x+2 上,21 f 1 2 3)1 - 3 2- S梯形AOHP!2 m +- m+2 m=- m +- m +2m2l 22)1S皆HC =2(4 -mx2

6、+?x+2。2 2抛物线的对称轴为x=-。m2+沪+2UmTm2+2m+4, %OC=”2=4。13 3213- S=S梯形 AOHP +S皆HC S出OC = 一 m +m +2m+ m444 S=m2+4m= (m -2 $ +4，二当 m =2 时，S 最大。当 m = 2 时，n= X 2? + X 2+2=3。.点 P 的坐标为(2 2312，2722m +2m+44= m +4m 。42，3）。OdOO_OOO（4）存在。点 M的坐标为（一，一）或（-,-j3 ）或（一，-）或（,710）或2222 222二次函数综合题，相似三角形的判定和性质,待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关

7、系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。0B，从而求出点C的坐标。OA【分析】(1)由Rt ABO s Rt CAO可得* =OC OA（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由S=S梯形AOHP+S庠HC -S山0C可得S关于m的函数关系式;化为顶点式可得S最大时点P的坐标。1 1另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：y= 一 X，设过点P与AC平行的直线为y= -一 x+b 。2 21 13由点 P 在 y= _-x+b 和 y= _-x2 + X+2 可得2 22In= 一1 m+b21 2 3/n=_-

8、m +-m+22 2m+b=-丄m2*3 m+2，整理，得 m2 -4m-4+2b=0。2 2 21要使 PAC的面积最大，即要点 P到AC的距离最大，即y=-丄x+b与y=21x2 + ?x+2 只2 22有一个交点，即 m2 -4m _4+2b=0 的= 0,即(-4 ) -4( V+2b =0，解得 b=4。将 b=4 代入 m2 -4m -4+2b=0 得 m = 2，将 m = 2代入 n= - m+2 得 n=3。当S最大时点P的坐标为(2, 3)。(4)设点 M ( , h ),2 C (4, 0) , P (2,3), PC= 7(232 =帀,pm=J22丿2+ (3h)=

9、Jh26h 十3,CM=卜丿+h2 = Jh2 +25。分三种情况讨论:当点M是顶点时,PM= CM,即 Jh2 -6h 十乎=Jh2 +T，解得，h=。二 M1 （I ）。当点C是顶点时,PC= CM，即届rjh2 +号，解得,h= 沖。/ 3M2 (,-2当点P是顶点时,PC= PM，即用=Jh2-6h +，解得， h=3710。42173 ,3?站）或（ ?警）或（ ?3+用）或1 ）或（- M4(, 3+丁10 ), M5( , 3- Jl0 )。 - 2综上所述，当点M的坐标为(-,2O（,3- 怖）时， MPC为等腰三角形。例3: (2012山东临沂13分)如图，点A在x轴上，OA

10、=4，将线段OA绕点0顺时针旋转120至OB的 位置.求点B的坐标;(2)求经过点A . 0、B的抛物线的解析式;在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】 解：(1)如图，过B点作BC丄x轴，垂足为C,则/ BCO=90。/ AOB=120 ,/ BOC=60。又OA=OB=4 ,1 1-oc=2OB=2 g，BC=OB?sin60=沢更=273。2点B的坐标为(-2,- 2J3 )。(2)v抛物线过原点O和点A . B,可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A (4, 0), B (- 2, - 2“

11、)代入，得J3I16a+4b=0”!6IL，解得6。j4a -2b= -273I 2/3jb=I 3此抛物线的解析式为y=-3x+2总。63(3)存在。如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为若 OB=OP，贝y 22+|y|2=42,解得 y=273 ,当y= 2J3时,PD在 Rt POD 中，/ PDO=90 , sin/ POD=一OP/ POD=60P、O、B三点在同一直线上。/ POB= / POD+ / AOB=60 +120 =180,即 y=273不符合题意，舍去。点P的坐标为（2, - 2p氐）。若OB=PB，贝y 42+|y+ 2|2=42,解得 y= -

12、2(3。点P的坐标为（2, - 2（3 ）。若OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 73|2，解得 y= - 23。点P的坐标为（2, - 2旋）。OB的长（即OA长）确定B点的坐标。综上所述，符合条件的点 P只有一个，其坐标为（2,- 2J3 ）。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上 点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定 B点位置，然后过 B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。(3)根据（2）的抛物线解析式，

13、可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出 OPB三边的边长表达式，然后分 OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。例4: （2012内蒙古包头 12分）已知直线y = 2x + 4与X轴、y轴分别交于 A , D两点，抛物线1 2y= x +bx+c 经过点 A , D，点2B是抛物线与X轴的另一个交点。求这条抛物线的解析式及点B的坐标;设点M是直线AD上一点，且S那OM :Smd =1 : 3，求点M的坐标;如果点C （2, y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点卩，使 BCP为等腰三角形?若存在,请求出点

14、P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)在y = 2x + 4中，令y =0，得 x= 2;令 x=0，得 y =4。-A ( 2, 0),(0, 4)。将 A ( 2, 0),(0, 4)代入 y= -x+bx+c，得2t 1! 4-2b+c=0(2c=4，解得：4。当M在线段DA延长线上时,这条抛物线的解析式为y=-x2+x+4。2*dMLQ:X由 S郅OM : SqmD 1 : 3 得-4 )。? 2(2m+2* 4 (m )=1 : 3，解得 m = 3。二 M2 ( 3,综上所述，点M的坐标为Mj ( 3, 1) ， M2 ( -3, -4 )。2(3)存在。点 C (2,

15、 y)在 y= lx22+X+4 上,1 2 y=-厂2 +2+4=4。二 C(2, 4)。设p(0, P),根据勾股定理，得2 2 2BC2 =(4-2 ) +4 =20 ,pB2 = $ + jU 1 6+C2 =2+ p -4 $ =p2-8p+20。分三种情况:若PB=BC ,则 16+P2 =20，解得，P = 2。/点p在y轴的正半轴上， p1 (0, 2)。2 2 11若PB=PC,则 16+PP = P2 -8P+20 ,解得，P =-。.P2 ( 0,-)。2 2若2BC=PC ,贝U 20 = p 8p+20，解得，p =0或p =8。/点P在y轴的正半轴上， p=0不符合

16、要求。当p=8时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。 BC=PC时，在y轴的正半轴上是不存在点卩，使 BCP为等腰三角形。1综上所述，在 y轴的正半轴上是存在点 P1 (0, 2), P2 (0,-)，使 BCP为等腰2三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。一 1 2【分析】(1)求出点A , D的坐标，代入y= -?x2+bx+c，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。(2)分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。(3) P(0, P )，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC , PB=P

17、C, BC=PC三种情况讨论。例5: (2012福建龙岩14分)在平面直角坐标系 xoy中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点 C在y轴正半轴上，已知点 A (- 1, 0).(1)请直接写出点 B、C的坐标：B ()、C ();并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF (其中/ EDF=90 / DEF=60 ),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点)，并使ED所在直线经过点 C.此时，EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M . 设AE=x，当x为何值时， OCEsA OBC ;在的条件下探究：抛物

18、线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【答案】解：(1) B (3, 0), C (0,石)。 A ( 1 , 0) B ( 3, 0)可设过A、B、C三点的抛物线为 又 C (0,73)在抛物线上， (3=a(0+1 )(0-3 )，解得 a=-冷3。经过A、B、C三点的抛物线解析式沪-号(X+1 )(x 一3)即 y= -x2+&3 X+庚。3 3(2) 当 OCEOBC 时，贝U 22 =21。75 X -1=。- x=2。343OB OC/ OC=运, OE=AE AO=x 1, OB=3 , / 当 x=2 时， OCEs

19、OBC。 存在点P。由可知 x=2,. OE=1 o E (1, 0)。此时, CAE为等边三角形。/ AEC= / A=60。又/ CEM=60 ,/ MEB=60。点C与点M关于抛物线的对称轴x=b2a273=1对称。2心1V 3丿/ C (0,寸 3 ) , M ( 2, F 3 )o过M作MN丄x轴于点N (2, 0), MN=码。 EN=1。 - 1 2 EM =JeN2 +MN 2 =(73 ) =2。若 PEM为等腰三角形，则:i )当 EP=EM 时， EM=2，且点 P 在直线 x=1 上，二 P(1, 2)或 P (1 , - 2)。ii）当EM=PM时，点M在EP的垂直平

20、分线上，P（1 , 2j3）。2/3iii）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线 x=1的交点，二P（1,二）3综上所述，存在 P点坐标为（1 , 2）或（1 , 2）或（1 , 2庞）或（1, 2至）时，3 EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出0C和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角

21、形的性质，对应边成比例列式求解。求得EM的长，分EP=EM , EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。练习题:1. （2012广西百色10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2 + bx + 6 经过点 A( 3, 0)和点 B(2 ,0）.直线y= h （ h为常数，且Ov h 6）与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.（1）求抛物线的解析式;（2）连接BE，求h为何值时， BDE的面积最大;（3）已知一定点 M （ 2, 0）.问：是否存在这样的直线y=九使 OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由.（点A

22、在点2. （2012江西省10分）如图,B左边），（1）写出二次函数 Li的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2) 研究二次函数 L2： y=kx2 - 4kx+3k ( k0 . 写出二次函数 L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质;k的值；如不存在，请说明理由; 是否存在实数k，使 ABP为等边三角形？如果存在，请求出EF的长 若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出 度；如果会，请说明理由.3.（2012湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点0,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F, AB的中点E在

23、x轴上,B点的坐标为（2, 1），点P （ a, b）在抛物线上运动.（点P异于点0）（1）求此抛物线的解析式.（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R, 求证：PF=PR;求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由; 是否存在点P,使得 PFR为等边三角形？若存在, 延长PF交抛物线于另一点 Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的形状.C3OX/&F八4.(2012湖南永州3), l为过点(0,-210分)如图所示，已知二次函数 y=ax +bx - 1 (a工)的图象过点 A (2, 0)和B (4,2)且与X轴平行的直线，P (m, n)是该二次函数图象上的任意一点，

24、过P作PH丄I,H为垂足.2(1)求二次函数 y=ax +bx - 1 (a工0的解析式;(2)请直接写出使 yv 0的对应的x的取值范围;(3)对应当m=0, m=2和m=4时，分别计算Pof和|PH|2的值.由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m,此结论成立;(4)试问是否存在实数的值；若不存在，请说明理由.出答案)195. (2012广东梅州11分)如图，矩形 OABC中，A (6, 0)、C (0, 23 )、D (0, 朋),射线I过点D且与X轴平行，点(1)点B的坐标是 ;/ CAO=.度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(直接写（2）设OA的中心为N , PQ与线段

25、AC相交于点M,是否存在点 卩，使 AMN为等腰三角形？若存在,请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由.（3）设点P的横坐标为x, OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为 S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.、直角三角形存在问题:典型例题：例1 : （2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠1 2 1在两坐标轴上，点 C为（1, 0）.如图所示，B点在抛物线y= 2X2+2X 2图象上，过点B作BD丄x轴，垂足为D，且B点横坐标为一3.求证： BDC COA ;求BC所在直线的函数关系式;抛物线的对称轴上是否存在点卩

26、，使 ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点/ BCD = / OAC。P的坐标；若不存在,【答案】解：（1）证明:90 ABC为等腰直角三角形， BC = AC O在 BDC 和 COA 中，/ BDC = / COA = 90 / BCD = / OAC , BC = AC , BDC COA (AAS )。(2) C 点坐标为(一1, 0), BD = CO = 1。/ B点横坐标为一3,.B点坐标为（一3, 1）。设BC所在直线的函数关系式为y = kx + b,匚3|7=1，解得10二BC所在直线的函数关系式为 y= 2 x 2 O-lb 2（3）存在。y=*2+2x

27、2=2(x+2)2x-，对称轴为直线 X2。若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点 P1,使CP1丄AC ,1 BC 丄 AC, 点 P1 为直线 BC 与对轴称直线 x= 2 的交点。f 1 1y- x2由题意可得：1,解得,fx = 21。二 P1ly=-411(-2,4)。若以AC为直角边，点 A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使 AP2丄 AC ,则过点A作A P2 / BC ,交对轴称直线X = 2于点卩2,/ CD = OA，二 A (0, 2)。设直线AP2的解析式为：y = 2x+m,把 A (0, 2)代入得 m = 2。直线AP2的解析式为：y = 12X+ 2。

28、1y =十+2由题意可得：12x =X- 1X 219,解得，9。二 P2 ( 2, 4) ly-9 P点坐标分别为Pi(1 1、 D / 19、2，4)、P2 (歹？。lx- 133【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。AAS证得。【分析】(1)由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由(2)求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求 BC所在直线的函数关系式。(3) 分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。例 2

29、: (2012 重庆市 12 分)已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC , / B=90 , AD=2 , BC=6 , AB=3 . E为BC边上一点，以 BE为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG和梯形 ABCD在BC的同侧.(1)当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长;(2)将(1)问中的正方形 BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B EFG当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t，正方形B EFG的边EF与AC交于点M ,连接BD, BM, DM ,是否存在这样的t,使 B dm是直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请

30、说明理由;(3)在(2)问的平移过程中，设正方形 B EFGW ADC重叠部分的面积为 S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量 t的取值范围.【答案】 解：(1)如图，设正方形 BEFG的边长为贝U BE=FG=BG=x。-AB=3 , BC=6，AG=AB BG=3 X。/ GF / BE , AGF ABC。匹叵，即= oAB BC36圏解得：x=2，即 BE=2。(2)存在满足条件的t,理由如下:如图，过点 D作DH丄BC于H ,则 BH=AD=2 , DH=AB=3 ,由题意得：BB =HE=t, HB =|t- 2|, EC=4 - t,/ EF / AB ,MEC sA A

31、BC。CM1=EC，即AB BC在 Rt B ME中,me 4 tc 1=。- ME=2 - to3622 2 2 2 1BM =ME +B E=2 + (2 - t) 2在 Rt DHB 中，BD=dH2+BH=32+ (t- 2) 2=t;1 2=t - 2t+8 o 42 - 4t+13 o1 过点 M 作 MN 丄 DH 于 N,贝U MN=HE=t , NH=ME=2 - - t2， DN=DH - NH=3 -( 2 - t) =在 Rt DMN 中，DM2=DN2+MN2 =t+1 o2+ t2Jt2+t+1。42 2【考点】(I)若/ DB M=90，贝U DM2=Br+BD,

32、即 5t2+t+i=( 4t2-2t+8)+( t2-4t+13)，解得:(n)若/ B MD=90，贝y BD=BM+DM2 ,t=2。721 25 2即 t2-4t+13= ( t2- 2t+8) + ( t2+t+1 )，解得:44ti= - 3+ J17 , t2= - 3- J17 (舍去)。 t= - 3+ 寸17。(川)若/ B DM=90，贝U BMuBD+DM2 ,1 225 2即-t2- 2t+8= (t2- 4t+13) + (-t2+t+1 ),此方程无解。4综上所述，当20t= 或-3+7时， B DM是直角三角形;71 2f-t !0t 4 V1丄2 +t I 8(

33、3) S 斗fo3 25 f10 )t2 +2t -l2v t 83l3 丿3丿上0 V亡23 l353lO一 35 - 2+4-【分析】即可求得BE的长。相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。(1) 首先设正方形 BEFG的边长为X,易得 AGFABC，根据相似三角形的对应边成比例,10 - 1033如图，当 F在CD上时，EF:DH=CE : CH,即 2: 3=CE : 4, CE= 8。3 t=BB =BC- BE- EC=6 - 2 -(2) 首先由 MECsA ABC与勾股定理，求得BM, DM与BD的平方，然后分别从若/ DB M、/

34、 DB M和/ B DM分别是直角，列方程求解即可。4 41010分别从, -2，2V-3-和V日时去分析求解即可求得答案:如图，当 G在AC上时，t=2 ,1 ME=2 - -1 , FM= t,2 24 1当 0 t 时，S=Safmn=-1 1 2Xt 冷 t= 一 t o243 2 EK=EC?tan / DCB= EC 业=34-t p3-3t ,CH 4、 丿 4 FK=2 - EK= 3t - 1。 42 44 NL= _AD= - , FL=t -,3 334当一v t 2 时，S=SFMN - $ FKL =33 -t4如图，当G 在 CD 上时，BC: CH=B G :DH

35、 ,即 BC 4=2 :3，解得: EC=4 - t=BC 2=1。B，cf ,3 td。3=3 - 2t， B，N=1 B，ci (6- t)2 2 GN=GB - B N=1t - 1。2101当 2 v t 2 X (-21t-如图，当 B，LB，41B，N=B，2=22 +2t5。833 3C3 (6-t), EK= 3 EC=4 4111C= (6 - t) EM= -EC=-2223( 4-t)，(4-t),- S=S 梯形 mNLK =S 梯形 B EKL S 梯形 B EMN= 11 +。2 2综上所述:1 f-t2 |0 M4-1t2s-3t2I 8丄+5243丿+t 二 f

36、4 v t 空。 3丿松_5$ vtA3丿:-5 他 v B2 2 丿例3: (2012内蒙古赤峰12分)如图，抛物线y圍-1)=丄2+匸。(t-)(-t34E2=x bx 5与x轴交于A . B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E, |OC|: |OA|=5 : 1 .(1)求抛物线的解析式;(2)求直线AF的解析式;(3)在直线AF上是否存在点P,使 CFP是直角三角形？若存在， 求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】1。解：(1 )在 y=x2 - bx - 5 中令 x=0，得 y=5 , |0C|=5。|0A|=5 :

37、1 , |0A|=1。.A (- 1, 0)。把 A (- 1, 0)代入 y=x2 - bx - 5 得(-1) 2+b - 5=0,解得抛物线的解析式为y=x2-4x - 5(2)V y=x2 - 4x- 5= ( x- 2) 2- 9,.抛物线的的对称轴为点C与点F关于对称轴对称，C ( 0,- 5) F设直线AF的解析式为y=kx+b ,把 F (4,- 5), A皆，解得(3)存在。理由如下:b=4。(-1, 0),代入 y=kx+b，得1 k= 12 。.直线FA的解析式为(b= -1当/ FCP=90时，点P与点E重合,点E是直线y= - x - 1与y轴的交点， E (0, P

38、 (0，- 1)x=2。(4, - 5)。-1) y= - x -当CF是斜边时，过点 C作CP丄AF于点P。设 P ( X1,- X1 - 1),/ ECF=90 , E (0, - 1) , C (0, - 5), F (4, CE=CF。二 EP=PF。二 CP=PF。点P在抛物线的对称轴上。X1=2。把 X1=2 代入 y= - X - 1，得 y= - 3。.P (2, - 3) 综上所述，直线 AF上存在点P( 0，- 1 )或(0，- 1)使 CFP是直角二角形。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质

39、。【分析】(1)根据抛物线解析式求出 OC的长度，再根据比例求出 OA的长度，从而得到点 A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式。2 2(2)由y=x - 4x - 5= ( X- 2)- 9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点 F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。(3) 分点P与点E重合和CF是斜边两种情况讨论即可。例4: ( 2012海南省13分)如图，顶点为P( 4， 4)的二次函数图象经过原点(0, 0),点A在该图象上, 0A交其对称轴I于点M,点M、N关于点P对称，连接 AN、ON(1) 求该二次函数的关系式(2

40、) 若点A的坐标是(6，- 3)，求 ANO的面积.(3) 当点A在对称轴I右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题: 证明：/ ANM= / ONMA的坐标，如果不能，请说明理由ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点【答案】 解：(1 )二次函数图象的顶点为P( 4, 4), 设二次函数的关系式为y=a(X-42-4 O2又二次函数图象经过原点(0, 0), 0=a(04)1-4，解得 a= o41 2 1 2二次函数的关系式为y=4(x-4)-4，即y=；x2x O(2)设直线OA的解析式为y=kx，将A (6, - 3)代入得13=6k，解得 k= O2直线OA的解析式为

41、yn-Zx o2把 x=4 代入 y=lx 得 y= 2o M (4, 2)2又点 M、N 关于点 P 对称， N (4,- 6) , MN=4 o1-S毋NO =- 6 4/2。4(Xo-4)-，皿nm=HA X04NH -1x0x044(Xo4)42 = 。x0 -x0+64 Xo(Xo-4) Xo tanNONM= tanZANMANM= / ONM。 能。理由如下：分三种情况讨论:情况1,若/ ONA是直角，由,得/ ANM= / ONM=45 0, AHN是等腰直角三角形。HA=NH ，即 x0-4=x02 -x0。4整理，得x02 -8x0 + 16=0，解得Xo=4。此时，点A与

42、点P重合。故此时不存在点 A，使/ ONA是直角。情况2,若/ AON是直角，则 OA2+ON2=AN2。Oa2=x x 2x, OnJ+x。 An2=(x0 4) +1 x。？ 2x0+X0 Y ,14丿14丿2 2 ?22 / 2 1 2 ?- Xo + | Xo -2xo +4 +Xo =(xo -4) +|-Xo -2xo+Xo 。 V4丿14丿整理，得 x03-8x02 16x0=0，解得 x0=0 , x0=4472。舍去 X0=0, X0=44v2（在I左侧）。当 x0=4+472时，y0=4。此时存在点 A ( 4+4(2,4 ），使/ AON是直角。情况3,若/ NAO是直角

43、,则 AMN sA dmO sA don ,MD ODod nd OD=4 , MD= 8-Xo , ND=Xo , 。4Xo整理，得 Xo? _8xo+16=O，解得 Xo=4。此时，点A与点P重合。故此时不存在点 A，使/ ONA是直角。综上所述，当点A在对称轴/右侧的二次函数图象上运动时，存在点A （ 4+43, 4 ）,（ZAON是直朗EP A ANO为直甬三第形【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，锐角三角函数定义, 等腫直角三ffi形的判定和性质，勾股定理，相似三ffi形的判定和性质，解一元二谀方程.【分析】（1）由二谀函数图S的顶点为P g

44、-4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定系数法即可求.C3）求出直线OAK解析式，从而得到点M的坐标，根据对称性点N坐标，从而求得危的长,从而求得Aano的面积C3）根据正切函数定义，分别求出ZANM和NONM即可证明*分ZONA是直角，ZAON是直角，ZN/iO是直角三种情况讨论即可得出结论口 当/MDN是直角时,还可在RtAOMNK中用直甬三角形斜辺上ffl中线等于斜辺的一半求解:.OP=PN=PbI, OP=+4=4yjT PN=坯一4 ,/. 4/2-So-4Xq =4+42 ,练习题:1.（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和 BC

45、所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y =-丄x2+ 7x+ 4经过A、B两点.2 2（1）写出点A、点B的坐标;（2）若一条与y轴重合的直线I以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连结PA、PB.设直线I移动的时间为t （Ov tv 4）秒，求四边形 PBCA的面积S （面积单位）与t （秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积;（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P,使得 PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由32: （2012湖南邵阳12分）如图所示，直线 y=-X+b与x轴相交于点 A （4, 0）,

46、与y轴相交于点B ,4将 AOB沿着y轴折叠，使点 A落在x轴上，点A的对应点为点C.求点C的坐标;设点P为线段CA上的一个动点，点 P与点A、C不重合，连结PB,以点P为端点作射线PM交AB于M，使/ BPM= / BAC求证： PBCsA MPA ;是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在,请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。3.（2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中,A .抛物线1 2y= X +bx+c的图象过点E （- 1, 0）,并与直线相交于 A、B两点.2求抛物线的解析式（关系式）过点A作AC丄AB交x轴于点C,求点C的坐标;除点右不存在,请说明理由.C外，在坐标

47、轴上是否存在点 M，使得 MAB是直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标;三、平行四边形存在问题:典型例题:例1: (2012山西省14分)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x2+2x+3与x轴交于A . B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1) 求直线AC的解析式及B. D两点的坐标;(2) 点P是x轴上一个动点，过 P作直线I / AC交抛物线于点 Q,试探究：随着 P点的运动，在抛物线上是否存在点 Q,使以点A . P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(3)请在直线AC上找一点M ,使 BDM的周长最小，求出 M点的坐标.【答案】 解：(1 )当y=0时,顶点D的坐标为(1, 4)。#点A在点B的左侧， A. B的坐标分别为(-1 , 0), (3, 0)。当x=0时，y=3C点的坐标为(0, 3)。设直线AC的解析式为y=kix+bi(kiM0,则少讦3 _，解得!k1=3。 k1 +b1 =0也1=3直线AC的解析式为y=3x+3 。2 2 y= - x +2x+3= -( x- 1)+4,(2)抛物线上有三个这样的点Q。如图,当点Q在Qi位置时，Qi的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为(2, 3);当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3,代入抛物线可得点Q2坐标