东南大学材料力学课件第四章弯曲内力、应力截面、几何.

1、第四章弯曲内力、应力和截面的几何性质第四章 弯曲内力、应力和截面的几何性质一、弯曲概述二、粱的内力（剪力和弯矩）三、内力方程和内力图u:四、梁横截面上的正应力计算五、梁横截面上的切应力计算六、梁的合理设计七、选择题练习、弯曲（bending概述 匚1.工程实例2?桥梁，屋梁，车轴都是 最常见梁的例子.2.定义W当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或 外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线， 此变形称为弯曲变形凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁（beam） 纵向对称面：梁的轴线与橫截面纵向对称轴所 构成的平面./乡1平面弯曲：当作用在梁上的所有外力（或合 力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位

2、 于纵向对称面内的曲线的弯曲（对称弯曲）3.粱的计算简图杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁支座的简化固定端Mr 固定较支座cS 可动较支座静定梁的基本形式超静定梁 悬臂梁三跨连续梁外伸梁主跨边跨跨径二、梁的剪力和弯矩1.梁的剪力与弯矩梁横截面2讪上的内力橫截面上分布内力系向形 心简化为剪力化和弯矩M剪力 F(shearing force)符号规定:左上右下为正。 或对微段粱内任一点 顺时针转动为正.Fs弯 bending moment MM一-Q日上压下拉（上凹 7符号规定:ac_La wsrFMe（匕心简例1求梁C处左右截面上的剪力和弯矩FrP解：1求支座反力F产Fp2,求C左截面内力F心=

3、 = 2CA = F“ = 2解：3求C右截面内力F代-化=-2Fa结果比较:C处有集中力作用时，左右截面弯矩不变； 左右截面剪力发生突变，变化值大小等于集中力大小.思考：截面内力（剪力与弯矩）和外力的关系，能否 不画图示截面法的受力图而进行计算？2.简易方法计算梁的横截面内力通过上二个计算可以看出，截面上的内力与该截 面任侧梁段上的外力相平衡，因而可以直接通过任 一侧梁段上的外力直接求得截面上的内力，而不用 画假想切开后的受力图.剪力的直接计算（P98）横截面上的剪力等于截面左侧梁或右侧粱段上所有 外力的代数和.左侧梁段上向上的外力引起正的剪力, 右侧梁段向下的外力引起正的剪力，反之，相反.

4、注：此处的外力是描除内力外的所有力含的束反力.剪力的JL接计算C截面剪力的直接计算C截面左侧梁段耳巴0 q1 1 I Im几 7 =Fa-F+F工-FsC截面右侧梁段Fg = Fr + ?/ + 几注：实际计算时取外力相对简单的梁段弯矩的直接计算（P98）横截面上的弯矩等于截面左侧梁或右侧梁段上所 有外力对该截面形心的矩代数和.向上的外力引起 正的弯矩，反之，相反.外力偶引起正负弯矩可以 按其转向和引起正负的弯矩的外力对截面形心的矩的转向是否相同确定.C截面左侧梁段M=F,d-F,d,-M,C截面右侧梁段三、剪力图和弯腿图1剪力和弯矩方程剪力方程：F亍Fs（X） 弯矩方程：M=M（X）2.剪力

5、图和弯恕图1=1以X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力Fs、弯矩M,分别称为剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图表示F护M沿梁轴线变化情况。简例3.画简支粱剪力图和弯矩图.X闫 IF 单帯“ + Q节解：1求支座反力2气2 求内力方程FFs（兀1）=耳兀（兀2）=-你=-2旺0皿）F兀2 W（）,d）简例4画内力图解：1 求支反力2.求内力方程巴（乂）=琴一旷（） .V /）A/(x)= q； x-qx2 2(OSxS/)3剪力、弯矩和载荷集度间的关系注：g（jr）向上为正，反之为负简易法作剪力图和弯矩图 梁上无分布荷载作用：q（X）=0Ffi(x)cont曲=勢=0ax剪力图斜率为零，

6、Fs（兀）图为平行于兀轴的直线吩)=/)“弯矩图斜率为常量com, M（X ）为斜直线。粱上作用均布荷载：q（X）/ dpAx qx)=、/ = confdx剪力图斜率为cont, Fjj（X ）弯矩图M（X）为二次抛物线。欝*)=0M（X）取得极值。各种形式荷栽作用下的剪力.弯矩图载荷情况无载荷(q=0)剪力图0 Fq -弯矩图均布载荷(q=c)PJC-EqyO tJJq aO突变pc无变化/ *、尖角例5作外伸粱的内力图F*A 8Fb理B 8128例6画出如图 梁的内力图例7画出如图 粱的内力图X分段叠加法原理例9画出如图梁的弯矩图2qa思考：如何用分段叠加法画如下弯矩图？平面刚架和曲杆的

7、内力图刚节弋 横冬刚架的组成 横梁、立柱与刚节点.q立柱qaIt弯矩的数值标在受拉边，轴力、剪力画在里 侧和外侧均可，但需标出正负号.1.纯弯曲:心=0, A=const横力弯曲:MHOz纯弯曲时梁横截面上的正应力公式推导从三方面考虑: J zydA = I = 0A裁面对坯轴的惯性积*由于y为对称轴.上式自然満足.=f y adA = M = I y E dA = M AAP,f 2 41 M令:4 = J y dA=盲截面对母的惯性矩 D y1MPP %横截面上正应力M y (J =I,横截面上最大正应力MVKJVI；为弯曲截面系数沿y轴线性分布，同一/坐标y处，正应力相寻.中性轴上正应力

8、为零.中性轴将裁面分为受拉、 受压两个区域最大正应力发生在距中 性轴最远处.截面的几何性质平面图形的静矩1112hZS, = j ydA = y.AA如图示，整个图形对Z轴的静矩b阴影图形对Z轴的静距Sb3乂 44惯牲主轴（又称主轴）：使惯性积为零的一对正交 坐标轴.形心主轴：经过形心的主轴.其惯性积为零.对z轴的惯性矩I =ZA主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩.主惯性平面简单截面的A和IZbh?2hb兀(一/)ttD 八z =(1 6464=(1- )32计算惯性矩的常用方法组合法6464平行移轴公式工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某 即i=一长度平方的乘积,1、=町G .分别称为平面图形对，轴和Z轴的惯性半径例w确定中性轴z的位置，并求4解：确定中牲轴Z的位置C208()中性轴必过形心，求形心位置y A- X 20x80x 90+20X 80x 40V,=八 A20x80x2=65(/77/17)l_l2()Zi20 x 8() +20 x 80 x 62512卜fY1iC11Z一芯20 Z12080x20“ =-+ 20 X 80 X 62512= l.05xl0(w/z/)Z = zC2 + 25 Agj=1.85 X 1()6(加/wj食=+ /辺=2