《相对论导引》中“非惯性系与弯曲时空”一节中的内容

1、相对论导引中“非惯性系与弯曲时空”一节中的内容我们先来考虑一个非惯性系的典型例子，一种不需要由外力维持，而且在自然界中广泛存在的非惯性系：匀速转动系。为简单起见，我们考虑作为惯性系的一个大平面，和相对于以角速度匀速转动的一个大圆盘。我们不是考虑一个静止的圆盘在逐渐转起来的过程中会发生什么变化，那样会涉及复杂的物性问题，使本质的问题不清楚。我们是考虑在一个“已经在转”的圆盘中，其几何学与平直空间的欧几里得几何学有何区别？为了便于比较，我们要求圆盘与平面是平行的，而且十分贴近。“圆盘”是惯性系中的观察者看来，它是一个圆盘，半径为，周长为，且圆盘与平面平行。至于在中的观察者看来，“圆盘”是个什么形状

2、，其中的几何关系如何？这些是需要我们来求的。实际上，“半径为，周长为”是指圆盘在平面上的投影为一个大圆圈，其半径为，周长为。系中的观察者看不一定是一平的圆盘。由对称可知，在看来，其外缘还是一个大圆圈（即与中心距离相等的点的轨迹）。我们假定其周长为，半径为，这是可以由来测量的。把相同的标准尺杆分别交给和（因圆盘的中心是不动的，在那里传递尺杆十分容易），让他们用尺杆分别把自己的圆周和半径排满。假定排完之后，旋转圆盘上的圆周和半径上的尺杆数分别为和。而在平面上的投影静圆圈的圆周和半径上的尺杆数分别为和。设尺杆的固有（静止）长度为。那么在A看来（测得），圆盘上的尺杆是要缩短的，因为它在运动，其长度变为

3、 其中，是圆盘周的线速度。因此，在看来，静圆圈的周长为 动圆周长为这两个圆周几乎是重合的（十分贴近），应该是一样长的，所以有： 即这结论是正常的，因为用短的尺杆来排满同样长的圆周，所需数目要多一些。在旋转圆盘上的看来，尺杆都是一样长的，所以测得的圆周长为因为半径垂直于运动方向。所以，半径上的尺杆没有尺缩 由于平面上是欧氏几何，所以圆周长与半径之比，即 而圆盘上的观察者也看不出自己的圆周和半径上的尺杆长度有什么区别。因此，他认为圆周率为即，旋转圆盘上的圆周与半径之比大于。旋转圆盘中的几何已经不是欧氏几何，即空间弯曲了。那么在旋转圆盘参考系中，还能不能像在惯性系中一样具有统一的时间呢？回答是否定的

4、。设想在动圆周上放一个标准钟，在静圆周上放一个同样的钟，再在圆盘中心处放一个同样的钟。因为是静止的，所以它既可认为属于系也可认为属于系。、属于同一惯性系，可将它们校准成同步。是动钟，是静钟，绕行一周后回来和对钟时会发现比慢。又因为和同步，所以也比慢。和是属于同一参考系中的钟。这就说明：在同一非惯性系中也没有统一的时间，各处钟的快慢是不同的，即在同一非惯性系中各处都有当地的时间进程。在非惯性系中不但空间弯曲了，而且时间的进程也复杂化了。近代物理学中“引力场中的钟与尺”一节中的内容在地面附近的重力场中，以重力加速度g自由下落的实验室S是一局部惯性系，狭义相对论成立，其中钟与尺的标度不变，时空是平直

5、的。而地面参考系S相对于它以加速度g向上运动，却是非惯性系，钟与尺的标度随高度变化，时空是弯曲的。为了比较重力场S中地面和高H处的钟与尺，可以让实验室S从高H处开始自由下落。这时重力场中高H处的钟和尺相对于S是静止的，它们的标度与S中的钟与尺相同。实验室S落到地面时，地面的钟和尺相对于S有一速度，所以S中的观测者看到地面的钟变慢，尺在垂直方向缩短。这就是说，地面的钟比高处的慢，地面的尺在垂直方向比高处的短。换句话说，从远离地面的高处看，离地面越近，重力势越低的地方，钟越慢，尺在垂直方向越短。这是广义相对论从等效原理得出的一个普遍结论。注意在水平方向的尺长与高度无关。球对称质量分布的引力场，可以类似地考虑。由于对称性，其场强指向对称中心，大小与场点到中心的距离有关。在引力场作用下从无穷远自由落向中心的实验室S是一局部惯性系。S中狭义相对论成立，钟与尺的标度不变，时空是平直的。从S中的观察者看来，引力场参考系S中各点相对于他的速度不同，距离中心越近，速度越大。所以从S看来，