用分析力学的方法处理常见物理问题

1、用分析力学的方法处理常见物理问题第一章 绪论1.1分析力学的定义分析力学是理论力学的一个分支，它以虚功原理和达朗贝尔原理为基础，利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，将对能量和功的分析来代替矢量力学中对力和力矩的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程，并研究这些方程的本身和积分方法。它是独立于牛顿力学的另一种描述力学世界的体系，且表达式也是对经典力学的高度数学化的表达。分析力学是适合研究宏观现象的力学体系，它的主要研究对象是质点系。通常将质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一个到无穷个。又如太

2、阳系可看作自由质点系，星体之间主要依靠万有引力相互作用，所以研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，并且在方法上可以互相促进和完善。在实际工程上的力学问题大多数是约束的质点系，但由于约束方程类型的不同，而形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。不同的系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数随之降低，更易于求解。1.2分析力学的起

3、源与发展分析力学起源于十八世纪，是由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年在出版的分析力学书中提出的与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系。其具体的研究是从17601761年，拉格朗日用虚功原理和达朗贝尔原理同理想约束相结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的，故将以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但

4、它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。 从20世纪开始，研究人员对分析力学的非线性、不

5、定常、变质量等力学系统作了进一步的深入分析研究，并且对于运动的稳定性问题作了广泛的研究与应用，为后续的科技技术发展打好扎实的力学理论基础。1.3国内对分析力学的研究我国老一辈经典力学家分析力学的学术带头人汪家訸先生于1958年出版我国第一本分析动力学专著, 为我国分析力学的教学和科研开创了先河, 做出了历史性贡献，国内许多后期研究者都曾从中获得启迪。1964年作为山东工学院大学生的牛青萍在“力学学报”上发表经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程的重要论文。它是我国第一篇研究非完整力学的论文, 曾被苏联学者Henmak, yaeb合著的国际上第一本非完整系统动力学(1967年)引用，并在文

6、章中给出了速度空间及加速度空间虚位移的概念, 还有相应的微分变分原理和非完整系统的各种运动微分方程。这篇论文具有国际领先水平，被国外许多学者索要和参考，这对我国非完整力学研究起了重要的带头作用和先锋作用。1985年梅凤翔出版了非完整系统力学基础专著。该书总结了国内外非完整系统力学的新成果, 包括他的法国国家科学博士学位论文的成果。他本人曾到各地多次讲学, 为发展我国非完整动力学研究作出积极贡献据不完全统计, 截止到1993年底有298篇论文参考引用过这本书。1992年陈滨，梅凤翔，李子平联合申报的项目经典约束系统动力学基本理论获国家教委科技进步甲类一等奖，该项目构造了经典约束系统动力学的本质性

7、基本概念和理论框架, 建立了适合各类约束系统的新型运动方程和新型动力学算子理论, 给出了守恒律和新的积分方法, 对各种有重要用途的实际问题进行了深人研究, 构成了有独创性的、全面系统深人的研究工作。该项目代表了国内外分析力学基础理论与应用研究的领先水平。该项目的获奖肯定了我国分析力学40年取得的成绩, 提高了我国分析力学的学科地位中国分析力学40年取得了长足的进步，特别值得庆幸的是有一批年轻的优秀力学工作者在分析力学研究上取得了很大成绩.但也应该看到不足：我们的论著绝大多数以中文发表, 在国外刊物上发表很少；由于经费问题, 很少有机会出席相关的国际学术会议：与国外学者交流极少，研究课题还不够新

8、颖，不够联系实际，中国的分析力学还需要与国际接轨, 要让全世界了解。第二章 分析力学与物理问题2.1分析力学的基本原理分析力学的基本原理主要是虚功原理和达朗伯原理，而前者是分析静力学的基础；前后两者结合，便可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。虚功原理又称虚位移原理，而虚位移通常是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的虚字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原

9、受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。虚功原理其内容为：一个原为静止的质点系，如果约束是理想双面定常约束，则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。达朗伯原理是对有约束的质点系动力学问题进行研究的一个原理。它是由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名。对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为F+Nma=0，式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，N为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。从形式上看，上式与从牛顿运动方程F+N=ma中把ma移项所得结果相同。于是，后人

10、把ma 看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可将质点系动力学问题化为静力学问题，再结合虚功原理的方法来解决力学问题，这种动静法的观点对力学的发展产生了一定的积极作用及影响。2.2分析力学的研究内容及方法分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。分析力学的研究

11、方法主要通过拉格朗日力学和哈密顿力学研究。前者以拉格朗日量刻划力学系统，运动方程称为拉格朗日方程；后者以哈密顿量刻划力学系统，运动方程为哈密顿正则方程；此外分析力学还可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程；之后同实际情况相结合，选用合理的方程求解问题。2.3分析力学的应用范围由于分析力学和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。而分析力学的基本内容虽然是阐述力学的普遍原理，但从这些原理出发，可推导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。故分析力学中,其动力学方程适用于各种力学系统(质点、质点系、刚体等)

12、, 而且适用于惯性系和非惯性系, 动力学方程的形式也不随广义坐标的选取而发生变化。在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程薛定谔方程等。爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建

13、立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。目前，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。2.4物理问题与分析力学物理主要由经典力学及理论力学、电磁学及电动力学、热力学与统计物理学、相对论和时空物理、量子力学等构成的一门学科。经典力学及理论力学是研究物体机械运动的基本规律。电磁学及电动力学是研究电磁现象，物质的电磁运动规律及电磁辐射等规律。热力学与统计物理学是研究物质热运动的统

14、计规律及其宏观表现。相对论和时空物理是研究物体的高速运动效应，相关的动力学规律以及关于时空相对性的规律。量子力学是研究微观物质的运动现象以及基本运动规律。常见的物理问题主要有物体机械运动的静力学问题、电磁运动问题、物质热运动问题、物体的高速运动效益、动力学的规律及微观物质的运动现象和规律等一系列物理问题。而本文中重点介绍用分析力学解决物体运动状态和物体间的相互作用、能量传递等力学问题。虽然分析力学跟理论力学原则上讲是一样的，但在一般教材里，理论力学前部分主要讲普通力学，最后一章才讲分析力学，即理论力学是简单易学的分析力学，较为初等的分析力学。故用分析力学解决物理问题是难点也是重点部分。第三章

15、用分析力学处理物理问题3.1分析力学处理物理问题的方法和步骤分析力学中解决机械运动中的平衡问题，最具有代表性的是伯努利的虚功原理, 其主要是对不可解的理想的稳定约束系统, 在初始静止的前提下, 其保持平衡的充要条件是, 作用在此力学体系的所有主动力在任意虚位移中所作的功之和等于零,但仅仅表示了整个体系静止平衡的条件, 而不是运动平衡的条件, 且初始静止的前提是必要的。虚功原理从力作功作为研究问题的切入点,即从能量角度去表征力学体系的平衡条件, 它是处理各类力学系统( 质点、质点系、刚体等) 静力学问题的基本原理。但是虚功原理只涉及主动力, 这是因为静止平衡的力学体系受有理想约束, 未知的约束反

16、力不会出现在虚功原理中, 这给解决受有理想约束的多约束力学体系的静力学问题带来极大方便, 这是虚功原理的突出优点。受有理想约束的力学体系的物理问题，一般用虚功原理的广义坐标的平衡方程求解，其具体表达式为： 一般应用虚功原理解题的主要步骤：首先明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件；其次正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标；再次分析并图示系统受到的主动力；最后将数值代入虚功原理，以求解广义平衡方程。分析力学中拉格朗日方程的应用的特点在于方程的形式简洁，例如，n 个质点，受k 个约束，用牛顿定律需3n+k 个方程，而用拉格朗日方程只有3nk 个方程。另外拉格朗日方程是从能量角度

17、写方程。这与牛顿方程相比，有两个好处：力是矢量，能量是标量，处理方便；力仅是力学范围内的物理量，而能量则是物理学的一个基本物理量，适用范围广。用广义坐标表示的拉格朗日方程为:用拉格朗日方程求解物理力学问题的一般步骤：先分析系统所受的约束.如系统确为完整系, 就根据系统的自由度选择恰当的广义坐标；其次建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程，为方便起见, 尽可能使变换方程不显含时间；如果能直接完成下一步，即用广义坐标和广义速度表示动能, 用广义坐标表示广义力，并写出系统的拉格朗日函数；再列出拉格朗日方程之后，利用初始条件解出拉格朗日方程；最后分析计算结果。哈密顿正则方程是分析力学分析物理动力学问题的

18、另一个基本方程，哈密顿把拉格朗日函数L中的广义速度用广义动量代替, 并写成, 这样做的目的是通过引入新函数的方法达到把S个二阶微分方程组降到2S个一阶微分方程。 虽然方程数目增加了1倍,但方程的阶数却从二阶降到一阶, 因此简化了计算。由于哈密顿正则方程形式简单并且对称, 广义动量在物理学中的应用又比广义速度更重要, 所以哈密顿正则方程被认为是从经典物理过渡到近代物理的最方便的形式。应用哈密顿正则方程建立力学体系运动微分方程的方法和基本步骤, 按照下列顺序进行：(1)首先要判断力学体系的约束类型, 分析主动力的性质. 只有力学系统具有完整、理想约束, 且为保守力系时才可以运用哈密顿正则方程；(2

19、)确定自由度并选择广义坐标；(3)写出Lagrange函数，并注意到零势面的确定；(4)正确写出力学体系的哈密顿函数；一般情况可采用两种方法: 采用勒让德变换: 在体系是稳定的约束情况下：Hamilton正则方程存在广义能量积分即H=T+ V,也就是说，在稳定约束时，Hamilton函数可以直接等于力学体系的动能和势能(总能量E )。不管用哪种方法得到Hamilton函数H，H都必须表示成广义坐标q和广义动量p，有时还含有时间t的函数。否则不符题意，从而导出错误结论。体系是否为稳定约束的判别，主要以判别体系的动能是否是广义速度的二次齐次函数为依据。若动能是广义速度的二次齐次式，则体系为稳定的，

20、即H=T+V= E。当动能不是广义速度的二次齐次式， 则体系就不稳定。(5)要注意是否存在广义坐标积分，如果存在循环坐标，就可把与之对应的动量积分表示出来:，为常数，这时广义动量守恒，正则方程就存在广义积分，即为Hamilton动力学中广义动量守恒原理，这和Lagrange函数中不含有某个广义坐标q是完全等价的， q又为循环坐标, 存在循环坐标对问题的求解带来方便。广义动量积分的多少与广义坐标的选择有着密切的关系，而如何寻求更多的循环坐标，则是一个重要的技巧问题。(6)将Hamilton函数代入Hamilton正则方程中，经过运算、整理就得出力学体系的运动微分方程组。然后检查方程数是否符合2S

21、个。3.2分析力学处理物理问题的计算实例例1.均匀杆AB,重P1长为L1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的B端用铰链连接另一重P2长为L2 的均匀杆BD。在 BD杆的D端加一水平力F。求平衡时此二杆与竖直线所成的夹角（用虚功原理求解）。解：建立如图所示坐标系，选为广义坐 标；标出主动力的坐标 画出虚位移，列解方程利用（1）求出虚位移代入方程（2）中即可求得平衡条件例2. 轴为竖直且顶点在下的抛物线形金属丝,以匀角速度绕轴转动。一个质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动，金属丝是光滑的。已知抛物线方程为，式中为常数. 求小环在方向的运动微分方程。具体如图：用拉格朗日方程求解：小

22、环在重力及约束力作用下运动，而且金属丝是光滑的，故小环为完整保守力学体系. 由约束方程,小环自由度为1，选取小环坐标为广义坐标。 由，小环的动能为： (1)小环的势能为: (2)拉氏函数为 (3)完整保守系的拉格朗日方程为 (4)对此题来说，S=1，计算 (5) (6)将（5）、（6）代入（4）中得: (7)上式就是应用拉格朗日方程求出的小环沿方向运动微分方程。用哈密顿正则方程求解完整保守系的哈密顿正则方程为： （=1,2，,S） (8)其中是广义动量，H是哈密顿函数, , 或者在稳定约束下, 在非稳定约束下。此题的约束为非稳定约束, 从( 1) 中可知: (9) (10) (11)由（1）求

23、出 (12)解出 (13)将上式代入(11) 中, 得出应求出的H表达式为： (14)将上式代入（8）中，计算得 (15)(13)与(15)为用正则方程所求两个一阶微分方程式。由此题要求，将(12)对t求导数等于(15), 得 (16)再将表达式代入上式, 整理得 (17)上式就是应用哈密顿正则方程求出的结果, 与(7)完全相同。3.3分析力学处理物理问题的优势静力学是用几何的方法去研究刚体的平衡问题时, 要建立六个平衡方程，包括约束反力在内，而分析力学引入虚位移和理想约束的概念, 从功的角度, 应用分析的方法, 提出虚功原理, 为解决有理想约束系统的平衡问题, 找到最简单的方程式, 使复杂的

24、运算得到简化,不需求约束反力。在解决动力学问题时, 它引入惯性力的概念, 把动力学问题化为静力学问题来处理, 给人们指出解决动力学问题的另一种方法, 即达朗伯原理。又把达朗伯原理与虚功原理结合, 导出了动力学的普遍方程, 由转不需求出约束反力, 这大大有利龄解决复杂的动力学问题, 分析力的这一特点,也表现出它的优点。分析力学把牛顿力学的坐标概念扩大, 引入广义坐标的概念作为描述质点系运动的独立参量, 广义坐标可以是角度, 体积或具有动量、角动量量纲的量, 使研究问题更具有灵活性和广泛性, 并解决了由于有约束坐标不能独立的困难, 而且约束越多, 所需的广义坐标数越少, 使问题得到简化。例如：拉格

25、朗日方程是从牛顿定律出发, 利用达朗伯原理与虚功原理导出的, 用广义坐标表示的系统完整的动力学方程, 它比牛顿定律具有更高的概括性和更大的普遍性, 在具有任意个自由度的系统中, 独立方程的数目恒等于系统的自由度数目,简便的解决。这种由能量的变化来寻求运动规律的方法, 是从根本上来解决运动的普遍方法, 它既是分析力学的基础, 也是电动力学, 量子力学和近代量子场论的基本方法。在教学过程中, 应抓住这一特点, 给予不断地深化。分折力学处理物理问题的另一个优势是把用二阶微分方程求解的力学问题简化为用一阶微分方择来求解，它是以质点系的动能变化与广义力的关系的形式出现, 解题时比用动力学普遍方程更为方便, 但仍然要解二阶微分方程, 为解决这个问题, 分析力学进一步通过勒襄特变换, 把拉氏S个二阶微分方程降为S 个一阶微分方程, 二者解决力学问题是等阶。这不但完满地解决牛顿力学所遇到的困难, 同时也解决牛顿力学新遇到的困难, 同