解析几何专题训练.

1、解析几何专题训练 1.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0, 1). (I )求抛物线C的方程； (n)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直 线交C于另一点 Q,满足PF丄QF,且PQ与C 在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标; 若不存在，请说明理由 2. (本小题满分13分) 如图，以原点 0为顶点，以y轴为对称轴的抛物线 E的焦点为F (0, 1),点M是 直线l : y m(m 0)上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交 x轴于点S, T, 切点分别为B, A。 (I )求抛物线E的方程； (II )求证：点S, T在以FM为直径的圆上； III )当

2、点M在直线I上移动时，直线AB恒过焦点F,求m的值。 3. (本小题满分14分) 已知抛物线C：x2 2py p 0的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点 0的 不同两点，抛物线 C在点A、B处的切线分别为11、|2，且l1 l2, h与l2相交于点D . 求点D的纵坐标； (2) 证明：A、B、F三点共线； 3 (3) 假设点D的坐标为 一 1 ，问是否存在经过 A、B两点且与|1、|2都相切的圆， 2 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 4. (本小题满分12分) 2 2 已知椭圆C:仔 a b 1(a b 0)的离心率为 6，过右焦点 3 F且斜率为1的直线 交椭圆C于A、

3、B两点，N为弦AB的中点. (I)求直线ON ( O为坐标原点)的斜率 KON ； (H )对于椭圆C上任意一点M ,试证：总存在角 R)使等式： oM cos OA sin OB 成立. 5. (本小题满分14分) 2 2 已知椭圆笃1(a b 0)的左、右焦点分别是Fi ( c, 0)、F2 ( c, 0) , Q a2 b2 是椭圆外的动点，满足 |F1Q| 2a.点P是线段FiQ与该椭圆的交点，点 T在线段F2Q上, B y A N o 卫 FiQ 并且满足 PT TF20,|TF2 | 0. (I)设x为点P的横坐标，证明| FP | a -x ; a (n)求点t的轨迹c的方程；

4、(川)试问：在点 T的轨迹C上，是否存在点 M , 2 使厶F1MF2的面积s=b .若存在，求/ F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由 6. (本小题满分14分) 已知动圆过定点 ,0 ,且与直线x 相切，其中p 0. 2 2 (I) 求动圆圆心C的轨迹的方程； (II) 设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA 和OB的倾斜角分别为和 ，当，变化且为定值 (0)时，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐 标. 7.(13分)已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程是3x 2y 0 ,左焦点的坐 标为(.13,0), A、B为双曲线C上的两个动点，满足OA OB 0. 求双

5、曲线C的方程； 求為点的值； 动点P在线段AB上，满足OP aB 0，求证：点P在定圆上. 1.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 (I)解：设抛物线C的方程是x2 = ay. 则a 1, 即 a = 4. 故所求抛物线 C的方程为x2 = 4y . (5分) (H )解:设 P(xi, yi), Q(x2, y2), 则抛物线C在点P处的切线方程是 yi, 直线PQ的方程是 2 y x 2yi. Xi 将上式代入抛物线 C的方程，得 2 8 x2x 4(2 yi) 0, Xi 故 xi +X2 = 所以x2

6、= 8 一 ,xix2 = 8 4yi , Xi 84 xi , y2= 一 +yi+4 . xiyi 而 FP = (xi, yi i), FQ = (x2 , y2 i), FP FQ = xi X2+ (yi i) (y2 i) =Xi X2 + yi y2 (yi + y2)+ i “c44 =4(2+yi)+ yi(+yi+4) (+2yi+4)+i yiyi =yf 2yi 4 7 yi /2I =(yi + 2yi + 1) 4( +yi+2) yi /24(yi 1)2 =(yi+1)21_- yi =(%4)( %i)2 yi =o, 故yi= 4,此时，点P的坐标是(土4,

7、4). 经检验，符合题意 (15 分) 所以，满足条件的点P存在，其坐标为P( 4,4). 2.解：(I )设抛物线E的方程为x22 py( p 0)， 依题意卫i,解得p 2 , 2 所以抛物线E的方程为x24y. 3分 (II )设点 A(xi, yi), B(X2, y2). Xi X20 ,否则切线不过点 M 1 1 2 1 ,y -x ,yx, 142 切线AM的斜率kAM 1 2Xi, .5 分 1 方程为y yiXi(x 2 %),其中 L 4 ii 令y 0,得x为,点T的坐标为(-X-! ,0), 直线FT的斜率kFT, Xi i, 2) Xi AML FT,即点T在以FM为

8、直径的圆上； 同理可证点S在以FM为直径的圆上， 所以S, T在以FM为直径的圆上。 8分 (III )抛物线x2 4y焦点F(0,1),可设直线AB: y kx 1. 12 4X ,得 x2 4kx 4 kx 1, 0, X-|X2 4. 10分 (II 切线 AM的方程为y 1 x1x 2 过点 M (X0,m), 4 1 2 4X1, 同理 1 2 4X2. 消去x0,得m(% X2) X2) 12分 * X,X2 ,由上 X,X2 1 %X2 4 1,即m的值为1. 13分 3. (1) 解：设点A、B的坐标分别为 X1,y1 、 X2,y2 ， I2分别是抛物线 C在点A、 B处的切

9、线, 直线 互，直线12的斜率 p X2 X2 - l1 1, 得 X1 X2 / A、 B是抛物线 C上的点， y1 2 X1 ,Y2 2p 2 X2 2p -直线11的方程为 2 X1 2p X1 X1 ,直线12的方程为 2 X2 2p 2 X1 2p 2 X2 2p X2 X1, 解得 X2, X1 X2 2 卫 2 . 点D的纵坐标为 证法1 ： F为抛物线 C的焦点, 直线AF的斜率为kAF X1 2 X1 2p 2 X1 X1 2PN p 2 X2 p 直线BF的斜率为kB y2 2p 2 2 2 X2p F X2 0 X2 2px2 2 2 2 2 k k X p X2p AF

10、BF 2px2 2 PM 2 2 2 2 2 X?X-I pXi X2 p 为X2 x1x2p X1x2 2px1x2 2 pm x2 2 2 0. p X1 x2p X1 x2 2px(x2 kBF . A、B、F 三点共线 证法2 : F为抛物线C的焦点, I AF xi,2 2 x1 2p 2 x1 X2,号 2p X2, 2 p 2p 2 Xi 2 p_ 2p 2 2 P X2 2p 2 p_ 2 2 pX2 x1x2x2 xi 2 x1x2x2 X2 aF/bF. a、B、 F三点共线 XiX2yiy2 证法3：设线段 AB的中点为E,则E的坐标为 抛物线C的准线为|:y卫. 2 作

11、AA l,BBi l ,垂足分别为Ai,Bi. 由知点D的坐标为 X1 X2, 2 2 DE l . DE是直角梯形AA1B1B的中位线 BB . 根据抛物线的定义得 :AA AF , BB 2|aa1 AF BF / AD DB, E为线段AB的中点， DE . 2ab AF BF ,即 AB AF BF . F三点共线. 不存在.证明如下: 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为 依题意得MA AD,MB BD，且 由 l1 l2，得 AD BD . 四边形MADB是正方形. 点D的坐标为 3 2 AD MA BD 1,得 MB , P 2. 10分 3 把点D 1 2 的坐标代入直线11,

12、 2 X1 Xi X1 解得x14或x1 1，点A的坐标为4,4 1,1 1 同理可求得点B的坐标为 4,4或 1,1 . 4 由于A、 B是抛物线C上的不同两点，不妨令 1,1 4,4 . 125 16 , BD .13分 2 4 1 AD BD ,这与 AD BD矛盾. 经过A、B两点且与l1、|2都相切的圆不存在 14分 22 a b 222 2 a2 3b2 a 3 椭圆方程为x2 3y2 3b2, AB: y x 、,2b 与 x2 3y 设 AX, yj , BM y2), X。1(x1 2 X2)b, 4 k西 k0N X。 1 3 2 N(x), yo) (n)由(i) 4、解

13、：（离心率为兰 3 y0 錘 b ：2b辽 b 44 知为2 F的坐标为（、2b,0） 3b2 联立得：4x262bx 3b20 若设M(x,y) 2 2 3y13b , 22 X2 3y2 3b2 存在实数、 ，使oM OA XX1x2 y *y2 、2 X1X2)3( y1 2 2 y2)3b 由平面向量基本定理得: M在椭圆上，（ 2 OB成立. 即: 3b2( 22) 2 (X1X2 3y2)3b 由（】）榔2=为, yiy2 = xix2 2b (xi yi) + 2b2 = - b2 4 2 =1 令 cos ，贝U sin 总存在角 ( R)使 oM cos OA sin 成立

14、12 5 .本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决问题的能力满分14分. （I）证法一：设点 P的坐标为（x, y）. 由P（x, y）在椭圆上，得 厂 b22 2 x a |F-P| (x c) y . (x c)2 b2 (a c 2 x). a 由x a,知 a x c a 0 , 所以 c | F1P | ax. 3分 a a 证法二：设点P的坐标为（x, y）.记|F1P| r1,| F2P| r2, 则 r1. (x c)2 2 y上 (x c)2 y2. 由 r1 r2 2a, r224cx,得 | F1P |

15、r1a c x. a 证法三：设点P的坐标为（x, y）.椭圆的左准线方程为 a cx 0. 2 a 由椭圆第二定义得 |F-P| c，即 | F-P| - |x a | | a -x|. 2 ,a , a a c a |x| c 由xa,知a - xc a 0 ，所以|F-P| a c x. 3分 a a （n）解法一：设点 T的坐标为 (x,y). 当|PT| 0时，点（a , 0）和点（一a , 0）在轨迹上 当|PT | 0且 |TF2 | 0时，由 |PT| |TF2 | 0,得 PT TF2 . 又| PQ | | PF2 |，所以T为线段F2Q的中点. 在厶 QF1F2 中，|O

16、T| 1 2 -| F1Q | a，所以有x 2 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2 y2 a2 x c 2 工 2 . 解法二：设点T的坐标为（x, y）.当| pt | 0时，点（a，0）和点（一a , 0）在轨迹上 当|PT | 0且 |TF2 | 0时，由 PT TF2 0,得 PT TF2 . 又| PQ | | PF? |，所以T为线段F2Q的中点. x 设点Q的坐标为（x , y ），贝U y 因此 2x c, 2y. 将代入，可得x 2 2c|yo | b . y2 a2. 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2 y2 a2. 7分 2 (川)解法一：C上存在点M ( Xo,yo)

17、使S=b的充要条件是 2 2 2 Xoyoa -2c | yo | b2. 2 由得| y01 a，由得| yo | c 所以，当a X时，存在点 c M，使 S= b2 ； .2 当a L时，不存在满足条件的点 M. 11分 c b2 当 a 时，MF- ( c Xo，y),MF2 (c x, y), c 2 2 2 2 2 . 2 由 MF1 MF2 xo c yo a c b , MF- MF2 | MF- | |MF2 |cos F1MF2, 1 F2 S| MF1 | | MF2 |sin F1MF2 b，得 tan F1MF2 2. 2 解法二： C上存在点M ( xo, yo)使

18、S= b的充要条件是 2 2 2 Xo yo a 由得| yo | 上式代入得x2 b4 (a “)(a c c o. 于是，当a 时，存在点M，使S= b2 ; c 2 当a L时，不存在满足条件的点M. c 11分 当 a 时，记 k1kF1M,k2 kF2M cxo c yo Xoc 由 | F1F2 | 2a,知 F1MF29O，所以 tan F1MF2 |-kl 隍 | 2. 1 k1k2 14分 6.解：（I）如图，设M为动圆圆心，卫,0为记为F，过点M 2 作直线X 2的垂线，垂足为 N，由题意知: 动点M到定点F与定直线 义知，点M的轨迹为抛物线, 准线，所以轨迹方程为 y2 MF MN即 p X I的距离相等，由抛物线的定 其中F 2px(P (II)如图，设 A Xi, yi, B X2, y Xi 2 y1 -,X2 2p 由韦达定理知 （i）当 ,0为焦点，X 2 0)； ，由题意得 XiX2 （否则 且Xi,X20所以直线AB的斜率存在， 设其方程为y kx b，显然 2 y2 ,将 y kx 2p ,yi 2 b与y 2px(P 0)联立消去x ，得 ky2 2py 2pb 0 y2 时，即 2 yi 时，tan tan 1所以一 2 Xi 匕 1,XX2 yy2 0 , X2 0所以yiy2 2 4p由知: 罕4p