大学物理：力学9波动

1、波动 波动 波源在连续弹性介质中振动，与介质发生相 互作用，使振动由近及远发生传播形成波动。 波动的两个基本条件：波源与介质。 横波与纵波 横波：介质中质元的振 动方向与波传播的方向 正交。 纵波：介质中质元的振 动方向与波传播的方向 平行。 在气体或液体介质中主要成分是纵波，在固体介 质中横波和纵波两种成分同时存在。 平面简谐波 空间每一点都作简谐振动， 不同点之间有确定的相位 差。 相位以一定的速度传播， 此即波的相速度，简称波 速v。 对于波包来说，波包中心 前进的速度称为群速 vg。 平面简谐波 假设波向右传播，波速 v，考虑 x = 0 点的振动： )cos(), 0( 0 tAtu

2、 而位于x点在t 时刻的振动，则是由 x = 0的点在 t (x/u) 时刻的振动传播而得到的振动： 0 cos),( v x tAtxu 平面简谐波具有时空双重周期性，波场中各点随 时间作简谐振动，同一时刻位移函数随空间周期 性分布。将其空间周期计为波长，也就是一次振 动在空间中展开的长度。 平面简谐波 0 cos),( v x tAtxu 波的相速度就应该是频率f与波长的乘积： fv 定义波数： 2 k 对于相速度： k f T v 平面简谐波又有以下表达式： 0 cos),(kxtAtxu 波面与波线 波场中相位相同的点组 成的轨迹称为波（阵） 面，或者波前。波面上 各点具有相同的振动状

3、 态。 与波面正交的一族线称 为波线，在各向同性介 质中波线代表了振动的 传播方向，也就是相速 度的方向。 平面波、柱面波与球面波 平面波的波阵面为平面，对应波函数： 0 cos),(kxtAtxu 柱面波的波阵面为柱面，对应波函数： 22 0 cos),(yxrkrt r a txu， 球面波的波阵面为球面，对应波函数： 222 0 cos),(zyxrkrt r b txu， 平面波、柱面波与球面波 一维波动方程及其通解 波函数满足的方程称为波动方程，经典波动方程 为二阶线性偏微分方程： 0 1 2 2 22 2 t u vx u 方程有两个线性无关的解： )(),( )(),( 21 v

4、 x tGtxu v x tFtxu， 两者的线性组合为方程的通解： )()(),(),(),( 212211 v x tGc v x tFctxuctxuctxu 弹性介质的基本性质 杨氏弹性模量 对应拉伸应变： l l E S F F S l l 1 x 2 x 2 u 1 u u x l l l l 应力与应变关系： x u ESF d d 弹性介质的基本性质 体积弹性模量 对应体形变： K V V Kp p 切变模量 对应剪切应变： b b G S F F b b )1 (2 E G 一般杨氏模量与剪切模量之间有以下关系： 泊松比 一般在0.30.4，与具体材料有关，可见E 总是大于G

5、两倍以上。 波动方程与相速度的导出 假设波沿x轴传播，质元dm偏移平衡位置的位移为 u。质元dm两端位移量相同代表没有拉伸，对应u 的一阶导数为零。u 的一阶导数为正，介质处于拉 伸状态，为负则为压缩状态，大小正比于受力。 那么质元dm所受合力正比于u的二阶导数。 波的传播方向 横波位移 纵波位移 质元dm 平衡位置 v v 均匀弹性棒中纵波和横波的波动方程 均匀弹性棒的横截面积为S，密度，沿棒取为x方 向。设沿纵向（横向）偏离平衡位置的位移为u。 分析其中任一质元在x-x+dx段，其质量dm=Sdm。 Oxx+dxx FF+dF 根据牛顿第二定律： )()d(d 2 2 xFxxF t u

6、m 根据杨氏/剪切模量的定义，在x处的拉伸/剪切应 力应当为： xx S x u GxFS x u ExF )( ,)( 均匀弹性棒中纵波和横波的波动方程 Oxx+dxx FF+dF 质元所受合力 x x u GSx x u ESS x u ES x u ExFxxF xxx d ,d)()d( 2 2 2 2 d 根据杨氏/剪切模量的定义，在x+dx处的拉伸/剪切 应力应当为： xxxx S x u GxFS x u ExF dd )( ,)( 由此可得运动方程： x x u GS t u xSx x u ES t u xSdd ,dd 2 2 2 2 2 2 2 2 均匀弹性棒中纵波和横波

7、的波动方程 化简后得： 0 , 0 2 2 2 2 2 2 2 2 t u Gx u t u Ex u 对应的纵波/横波相速度： G v E v , 弦的横波方程 一弹性弦张力为T，质量线密度为，当其局域有 横向扰动时，便产生一沿弦传播的横波。 1 T 2 T 1 2 x y O 弦在x方向上总是没有位移，故有： TTT 2211 coscos 弦的横波方程 弦所受合力： x x u T x u T x u TTT TTTTF xxx dtantan tancostancossinsin 2 2 d 12 1112221122 1 T 2 T 1 2 x y Oxxxd 弦的横波方程 根据牛顿

8、第二定律： 2 2 2 2 dd t u xx x u TF 波动方程： 0 2 2 2 2 t u Tx u 相速度： T v 波场中的动能 由平面简谐波波函数： )cos(),(kxtAtxu 体积元的动能： )(sind 2 1 d 2 1 d 222 2 k kxtAV t u mE 对比波动方程，可见动能在平衡位置处动能最大， 在波峰和波谷处动能为零。 波场中的势能 l l ESF 1 kxF k l ES 1 xl 2 p 2 1 kxE V l l EE 2 p 2 1 体积元： VV x u l l d, V x u EEd 2 1 d 2 p 弹簧 介质棒 波场中的势能 根据

9、相速度： k v V x u EEd 2 1 d 2 p )cos(),(kxtAtxu )(sind 2 1 d 222 p kxtAVkEE E v p dE k 222 d)(sind 2 1 EkxtAV 波场中的能量 可见在弹性介质中的波动场，其势能与动能的变 化同相，都是在平衡位置势能最大，在波峰和波 谷处势能为零。 对于dV这段弹性介质的总能量为动能和势能之合： )(sindddd 222 kxtAVEEE pk 平均能量密度与平均能流密度 定义波场中单位体积蕴含的能量称为能量密度： 222 2 1 AvAvwI 定义单位时间内通过单位截面的能量为平均能流 密度,其单位为W/m2

10、（瓦/米2）： )(sin d d )( 222 kxtA V E x,tw 平均能量密度为一个振动周期内能量密度对时间 的平均值，其单位为J/m3（焦/米3）： 222 0 2 1 dt),( 1 AAtxw T w T 波的反射 （1）固定端反射 弦的固定端所受合力为零， 当波传播到固定端时，对端 点施加一个作用力，墙要施 加一个等值、反向的作用力 ，从而产生一个从右向左传 播的反射波：振幅与入射波 相同、但是相位正好相差。 （2）自由端反射 此情况下弦的另一端不受约 束，反射波的相位与入射波 同相。 波的反射 一维驻波 设有两列同频简谐波，传播方向相反： )cos(),( )cos(),

11、( 02 01 kxtAtxu kxtAtxu 它们的叠加场： tkxAtxutxutxucoscos2),(),(),( 021 将其改写为： kxAxA txAtxu cos2)( cos)(),( 0 驻波的振幅驻波的振幅 与位置有关与位置有关 各质点都在作同各质点都在作同 频率的简谐运动频率的简谐运动 波节 波腹波腹波腹 波节 kxAxA txAtxu cos2)( cos)(),( 0 当： ）（ ）（ 2, 1, 0 2 2, 1, 0 nn k nx nnkx 振幅有最大值Amax=2A0 当： ），（ ），（ 21 0 2 2/1 2/1 21 0 2/1 nn k nx nn

12、kx 振幅为零。 相邻波腹或波节之间的间距为/2。 波腹 波节 两端固定弦振动的简正模式 两端固定的弦，在某处垂直方向给予 一定的激励，就会产生方向相反的两 列行波，反复传播于弦上最终产生驻 波。 由于弦两端必须是波节，又相邻波腹 或波节之间的间距为/2，因此长为l 的弦上的稳定波长只能有以下离散值： ），（ ），（ 3 2 1 2 3 2 1 2 n l v n v f n n l n n n f1=v/2l 称为基频为最低频率， f2=2f1、f3=3f1 为二次谐频、三次谐频 基频基频 二次谐频二次谐频 三次谐频三次谐频 太古遗音琴 唐初贞观年间斫制,长122cm,中央音乐学院藏,师旷式

13、。原黑 漆，大流水断纹。背面龙池上方刻行书“太古遗音”，池下刻篆书“清 和”印，左侧刻“吴景略重修甲子中秋”。古琴音乐主要受儒家中正和 平、温柔敦厚、德音之谓乐和道家顺应自然、大音希声、清微淡远 等思想的影响。 例：古琴 ,2, 1 2 nnl l nvv f 2 频率频率 T v 波速波速 基频基频 Hz262 2 1 1 1 T l fn T l n fn n 2 1谐频谐频 解：解：弦两端为固定点，是弦两端为固定点，是波节波节. 千斤千斤 码子码子 l 如图二胡弦长如图二胡弦长 ，张力，张力 . 密度密度 mkg108 . 3 4 m3 . 0lN4 . 9T . 求弦所发的声音的基频和

14、谐频求弦所发的声音的基频和谐频. 例：例： 附：无限深势阱中的德布罗意波 h p 驻波条件： ,.3 , 2 , 1,2nln 2 22 2 22 822ml hn m h m p E 能量量子化： 两端开口的管 l vv fl 2 ,2 1 11 122 2,f l v fl 133 3 2 3 , 3 2 f l v fl l 一端开口的管 l vv fl 4 ,4 1 11 122 3 4 3 , 3 4 f l v fl 133 5 4 5 , 5 4 f l v fl 驻波的能量 波节只有势能，波腹只有动能。波节只有势能，波腹只有动能。 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能。当所有

15、各点达到最大位移，全部能量为势能。 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能。当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能。 经经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能。波节附近势能转化为波腹附近动能。 但无长距离的能量传播。但无长距离的能量传播。驻波！驻波！ 盘上的驻波 律学 谐和的音谐和的音：8度 频率比2: 1 5度 频率比3: 2 符合较小的整数比 五音律：五音律：1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4 折合进8度 1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la） 七音律：七音律： (2/3), 1, (

16、3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5 折合进8度 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128 音名 C D E F G A B C 频率 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 ?2)2/3( nm 朱载堉（朱载堉（15361611年），字伯勤，号句年），字伯勤，号句 曲山人，青年时自号狂生、山阳酒狂仙客。曲山人，青年时自号狂生、山阳酒狂仙客。 生于怀庆府河内县（今沁阳市），系生于怀庆府河内县（今沁阳市），系明太明太 祖祖朱元璋朱元璋九世孙，仁宗帝的第六代孙，郑九世孙，仁宗帝的第六代孙，郑

17、藩王族嫡世，明代著名的律学家、历学家、藩王族嫡世，明代著名的律学家、历学家、 数学家。数学家。 182559295264560594630943. 12 12 李约瑟称誉朱氏为李约瑟称誉朱氏为“东方东方文艺复兴文艺复兴式人物式人物”。不过由。不过由 于当时乐器制作的条件限制，他的发明并不能用于音于当时乐器制作的条件限制，他的发明并不能用于音 乐实践之中，到后来，连他的学说也或者渐渐给人遗乐实践之中，到后来，连他的学说也或者渐渐给人遗 忘了，或者并不能看出它里面深刻的革命意义。忘了，或者并不能看出它里面深刻的革命意义。 十二平均律 多普勒效应 当波源当波源s和接收器和接收器r有有相对运动相对运动

18、时时, 接收器所测得的频接收器所测得的频 率率 fr 不等于不等于波源振动频率波源振动频率 fs 的现象。的现象。 机械波的多普勒效应机械波的多普勒效应 参考系：媒质参考系：媒质 符号规定：符号规定： s和和r 相互靠近时相互靠近时vs , vr为正为正 f：波源振动频率，波源振动频率，fr：接收频率接收频率 r s s v r v 波源静止，接收器运动(vS=0) s v r v 单位时间接收到完整波的个数单位时间接收到完整波的个数 f v vvvv f rr r 相当于单位时间内相当于单位时间内 波通过接收器的总距离为波通过接收器的总距离为 r vv 波源运动，接收器静止(vr=0) f v f v s r 相当于波通过接收