专题2：待定系数法应用探讨(20200915070913)

1、，解出方程（组）即可求得答案。k=【】A.B. 9C. 9D. 3【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】2设 X2 +6x +k= (x+A ),贝y X2 +6x +k=x2 +2Ax+A2 ,I2A=6fA=3快=厂tk=9。故选A。七年级数学（下）教学教案（人教版）专题2:待定系数法应用探讨待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）典型例题:例：（2011云南玉溪3分）若x 2（2011湖北荆州3分）将代数式x +4x 1化成（x+ p） +q的形式为【+6x+k是完全平方式，则8练习题

2、:1.（2012江苏南通3分）已知x2 + 16x + k是完全平方式，则常数k等于【】2.3.A. 64B. 48C. 32 D. 16（2012贵州黔东南4分）（2011江苏连云港3分）二次三项式X2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是 。计算（X+ 2） 2的结果为x 2+（+ 4y “中的数为【】A. 2B. 2C. 4D. 44.A.(x -2)2 +3B.(x +2)24C.(x +2)2 5 D.(x +4)2 +4待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题:例：（2

3、012四川凉山b 5a b4分）已知-=，则的值是【】a 13A.3 B.-213a+b9C.-44D.-【答案】Do【考点】比例的性质。【分析】b 5b 5芥石设訂1rk，则b=5k，a ba=13k,把a, b的值代入,得,a-b 13k-5k 8ka+b 13k +5k 18k练习题：。故选Do9a1. （ 2012北京市5分）已知25a 2b（a+2b）（a-2b）一旳的值。a2. （ 2011四川巴中3分）若=-，则 b =_2ab 3 a待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于

4、三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3 6x2+11x 6, 3x2+5xy-2y2+x+9y-4，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题:【答案】(X 1) ( x+ 2) O【考点】因式分解。【分析】设 x2 +x -2 =(x +A )(x +B ),2A +B=1(X +A Xx +B )=x2 +(A +B +A B , (a B= _2A= 1，解得QB=2或严,= -12- x +x -2=(x 1 Xx +2 )o1注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例 2 :分解因式：3x2 +5xy -2y2 +x + 9y -4。【答案】(3x

5、 y +4 址 +2y -1 )o【考点】因式分解。例1 : （ 2012湖北黄石3分）分解因式:【分析】 3x2 +5xy -2y2 =(3x -y 5 +2y可设 3x2 +5xy -2y2 +x + 9y -4 =(3x -y + a )(x +2y +b )。/ (3x y + a Xx +2y + b )=3x2 +5xy -2y2 +(a +3b )x + (2a -b)y +ab , 3x2 + 5xy -2y2 +x +9y -4 =3x2 +5xy -2y2 +(a +3b 兴 +(2a b)y + ab。1.2.3.a+ 3b=1 比较两边系数，得2ab=9。ab= _ 4

6、 联立，得a=4, b= 1。代入式适合。 3x2 + 5xy -2y2 =(3x 一y + 4 )(x +2y -1 卜练习题:2（2012四川南充3分）分解因式：X -4x -12（2012山东潍坊3分）分解因式：X3 4X212x=。2（2011贵州黔东南4分）分解因式：X 2x-8=。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数， 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系， 将已知的条件代入方程,求出待定的系数与常数。这是平面解析

7、几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比k例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx, y=kx+b, y =上的形式（其Xy=ax2+bx+c（a、b、中k、b为待定系数，且kM 0）。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式c为待定系数），顶点式2 J、/y=a（X h） +k（a、k、h 为待定系数），交点式 y=a （xX1）（x X2）（ a、X1、X2 为待定系数）三类形式。根据题意（可以是语句形式，也可以是图象形式），确定出a、b、c、k、X1、X2等待定系数,求出函数解析式。典型例题:例1: （2012江苏南通3分）无

8、论a取什么实数，点 P（a 1, 2a 3）都在直线I上，Q（m, n）是直线I上的点，则（2m n+ 3）2的值等于 _【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线I上,则 P2 (0, 1 )。令 a=0,则 P1 ( 1, 3);再令 a=1,设直线I的解析式为y=kx+b （kM0 ,-k+b=3fk=2i b1，解得 ib 1。二直线I的解析式为：y=2x 1。/ Q (m, n)是直线 I 上的点， 2m 1=n，即 2m n=1。2(2m n + 3)2= (1+3) 2=16。例 2: (2012山东聊城7分)

9、如图，直线AB与x轴交于点 A (1, 0)，与y轴交于点B ( 0,- 2).(1)求直线AB的解析式;(2)若直线【答案】解:AB上的点C在第一象限，且(1)设直线AB的解析式为0)、点 B ( 0,- 2),直线AB过点A ( 1,爲0，解得:二。直线AB的解析式为y=2x- 2。(2、设点C的坐标为(x, y),1 Sboc=2 ,. 一 ?2?=8o2如图， AOC绕点C逆时针旋转90 CO落在CE所在的直(1)可知 OA= 1, OC=3,点A对应点G的坐标为(3, 2) O当 x= 3 时，y =-32+ 2X3+ 3= 0工2A0V DGB【考点】点G不在该抛物线上。二次函数综

10、合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】 在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出 C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。根据(1)的函数解析式求出A B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出 ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例6: (2012江苏无锡2分)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A (2, 1),且经过点B (1, 0),则抛物线的函数关系式为 【答案】y= - x2+4x -【考点】待定系数法，曲线上点

11、的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A (2, 1), 可设抛物线的解析式为y=a (x-2) 2+1。2 2又抛物线 y=a (x- 2) +1 经过点 B (1, 0), ( 1, 0)满足 y=a (x- 2) +1。将点 B (1, 0)代入 y=a (x- 2) 2得，0=a (1 - 2) 2 即 a=- 1。2 2 抛物线的函数关系式为y=-( x-2) +1,1卩y=- x +4x-3。例7: (2012浙江宁波12分)如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象交x轴于A (- 1, 0), B (2 , 0),交y轴于C ( 0, - 2),过A,

12、C画直线.求二次函数的解析式;点P在x轴正半轴上，且 PA= PC求OP的长;点M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H.若M在y轴右侧，且 CHMsA AOC (点C与点A对应)，求点M的坐标;若O M的半径为4J5，求点M的坐标.5x 轴于 A (- 1, 0) , B (2, 0)【答案】解：(1 )二次函数yna+bx+c的图象交设该二次函数的解析式为：y=a (x+1) (x- 2),将 x=0, y=- 2 代入，得-2=a (0+1) (0 - 2),解得 a=1。抛物线的解析式为y= (x+1) (x- 2),即y=x2-x-2。(2 )设 OP=x，贝

13、U PC=PA=x+1在RtA POC中，由勾股定理，得 x2+22= ( x+1)33解得，x=-，即 OP=3。22(3 ) CHM sA AOC, / MCH=/ CAO。(i)如图1，当H在点C下方时,/ MCH=/ CAO,. CM / x 轴， yM=-2。- x2 - x - 2= - 2，解得 X1=o (舍去),x2=10 M (1 , - 2)。(ii)如图2,当H在点C上方时,/ M CH=/ CAO,. PA=PC由(2)得，M为直线CP与抛物线的另一交点,设直线CM的解析式为y=kx - 2,3把P ( 3 , 0)的坐标代入,24- y=-x-2o3由-X- 2=x

14、2 - x- 2,解得3473得k-2=0，解得24k=。3x1=0 (舍去)，X2=7。3此时 y=- X7 _2= 10。933-M (-, 一)。39在x轴上取一点D,如图3,过点D作DE丄AC于点E,在 RtA AOC 中，AC= JaO 2 +CO 2 = J12 +22 =75。/ COA=/ DEA=90 / OAC=/ EAD,AC=OI，即警亍，解得AD=2o D (1, 0)或 D (- 3, 0)。An丄C使图310过点D作DM / AC,交抛物线于 M ,如图 则直线DM的解析式为：y=- 2x+2或y=- 2x- 6。当-2x- 6=x2- x- 2时，即x2+x+4

15、=0,方程无实数根，当-2x+2=x2 - x - 2 时，即 x2+x- 4=0，解得 x -V17 , X2 = -1号17。 点M的坐标为( 一1，7, 3+/17 )或( S+f7, 3717 )。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点 A、B的坐标,故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。（2 ）设0P=x然后表示出PC、PA的长度,在RtA POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根据相似三角形对应角相等可

16、得/MCH=/ CAO,然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CM/x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2,代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点 M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。在x轴上取一点D,过点D作DE丄AC于点E,可以证明 AED和 AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点 D在点A的左边与右边两种情况求出0D的长14度，从而得到点 D的坐标，再作直线DM / AC,然后求出直线 DM的解析式，与抛物线解析式联立求

17、解即可得到点M的坐标。练习题:1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本 y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示.（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量.（注：总成本=每吨的成本X生产数量）2.（2012山东荷泽7分）为边在第一象限内作等腰2如图，一次函数y=-x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB3RtAABC, / BAC=90.求过B、C两点直线的解析式.3.（2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反

18、比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，贝U y与x的函数关系式为【100 1 y= D. y=xA 400c 1cA. y=B. y=C.x4x X 400x4. （ 2012广东佛山8分）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2 + bx+ c的解析式;y随x变化的部分数值规律如下表:x10123y034302有序数对(1, 0), (1, 4), (3, 0)满足 y=ax + bx+ c；2已知函数y=axX直接写出二次函数 y=ax2 + bx+ c的三个性质.5.（2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为（2, - 1）的抛物线y= aZ+bx* c（a丰0与

19、 y轴交于点C（0, 3）,与x轴交于A、B两点.（1）求抛物线的表达式;（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC AD,求 ACD的面积;点E为直线BC上一动点，过点 E作y轴的平行线EE与抛物线交于点 F.问是否存在点 E,使得以D、E、F为顶点的三角形与 BCO相似？若存在，求点.E的坐标；若不存在，请说明理由6.（2012山东潍坊11分）如图,O)、B(2, 0)、C(0, l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点.分别过点C、D（0, 2）作平行于x轴的直线|1、|2 .（1）求抛物线对应二次函数的解析式;求证以ON为直径的圆与直线11相切;MN的长.五

20、.待定系数法在求解规律性问题中的应用：近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题 型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推 法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式an =a1 +（n -1 ）d =dn七1 d （其中a1为首项，d为公差，n为正整数）,若将n看成自变量，為看成函数,则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,n满足a. an=kn +b （其中k,b为常数），则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。 它的通项an=an2+bn+c是关

21、 于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以 用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题:例1 : （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示:年份1896190019042012届数123n表中n的值等于【答案】30。【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】寻找规律：设奥运会的届数为X,年份为y,二者之间的关系为 y=kx+b 。将（1， 1896）， （2， 1900）代入，得严=1896，解得Jk=4 b=18922k+b=1

22、900 y=4x+1892。检验：（3,1904 ）符合。奥运会的届数与年份之间的关系为y=4x+1892。当 y=2012 时，2012=4x：1892，解得 x=30。n=30。例2 : （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是【答案】4n 2。【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。【分析】小三角形10个，即形成数对（1，2），（2，6），（3,10），。设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b ，将（1 , 2）, （2, 6）代入，得:二，解得2k+b=6卜=4b= -2 y=4x

23、 -2。检验：（3, 10）符合。阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x - 2。当 x= n 时，y=4n -2。第n个图案中阴影小三角形的个数是4n-2。例3: （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19, 33，就是个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2, 4, 6, 8, 10就是一个等差数列，它的公差为2.如由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形 6个，第三个图案有阴影1,果一个数列的后一个数与前一个数的差组成

24、的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1 , 3, 9, 19, 33,，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2, 6, 10, 14,，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1 , 3, 9, 19, 33,是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列3, 7, 13,的第五个数应是【答案】21。【考点】新定义，分类归纳(数字的变化类)，待定系数法。【分析】由已知，二阶等差数列1 , 3, 7, 13,-与次序之间形成数对(1 ,1),( 2, 3),( 3, 7),(4，13)。设二阶等差数列与次序之间的关系为y=ax2+bx+c ,将(1 , 1), (2, 3),f

25、a+b+c=1(3, 7)代入，得 也a+2b+c=3，解得I9a+3b+c=7la=1b= -1 。1c=12/. y=x -x+1。检验:(4, 13)符合。.二阶等差数列与次序之间的关系为y=x2X+1。当 x= 5 时，y=21。二阶等差数列1, 3,7, 13,的第五个数应是 21。例4； t :on韵HS仁4分)如图，第个图形中一共有1个平行四第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有H个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是【A / / -图A. 54110 C IP D.109【答案】D.【肴点】分粪归纳(S形的变化类h待定系数法.【分析】由图知，图中平行四辺形的个数

26、与空序之间形成数对C1, 1), (2, 5), (3. 11),-设平行四&形的个数与欢序之间的关系为尸异+b計C ,将(h 1),2, 5h (3, 11)代入，得a+b+尸 1 4a+2b+c5 * 9a3b+c=llaFl解得* 1 .二平行四辺形的个数与次序之间的关系为y=H=+x-l- 二当沪 10 时，7=109 二第个ffl形中平行四辺形的个数是1叩.故选D,练习题:1.（2012山东济宁6分）问题情境:用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子?第1个图形第:!个图形第3个图形266817建立模型:有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤:第

27、一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解.解决问题: 根据以上步骤，请你解答III3IIII diEiPlll.-Jiii-iII-b-* -F-T-=:T:i- dibiLMia：1：1II giEiClll=IlillVI! IIHItll! III-4IIIINIIVI! IINIt II! Ill-Jll II! Iligil II! 11*-11! Iir|l !l! IIHFia;1aTiiiijii亍ipL *6123456789 ICAVI! II；IFINit

28、II! Ill -Jllllgii I*11! I2. （ 2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是3. （ 2012广西桂林3分）F图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部第1个團第2个S4. （ 2012青海省2分）观察下列一组图形：*它们是按一定规律排列的,依照此规律,n个图形中共有5.（ 2012浙江宁波6 分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:* * 第1个 笫2个 笫3个（1）第5个图形有多少黑色棋子?（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.六.待定系数法在几何问题中的应用:在

29、几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题:例1 : （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片 ABCD中，/ A=600，将纸片折叠，点 A、D分别落在A D处，且A DS过B, EF为折痕,当DF CD时,CCFC匚的值为【】FD屈-1A.B. 一2屈-1C.73+1D.【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长DC与A D交于点M ,在菱形纸片 ABC

30、D中，/ A=60,/ DCB=/A=60 , AB/ CD。/ D=180-/A=120。根据折叠的性质，可得/ A D =D=120 ,/ FD M=18/A D F=60/ D 匹 CD,. / D FM=90 / M=90 -/ FD M=30。/ BCM=18 - / BCD=120，/ CBM=18 -/ BCM-/ M=30 o / CBM=/ M。-BC=CMo设 CF=x D F=DF=y 贝U BC=CM=CD=CF+DF=x+y FM=CM+CF=2x+y,在 RtA D FM中, tan / M=tan30 =DF _ y 43FM 2x+y 3CF _x _V3-1

31、FD _y _。故选Ao例2 : （2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果 些BC那么tan / DCF的值是【答案】45。219【考点】【分析】翻折变换（折叠问题），翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。四边形 ABCD是矩形， AB= CD, / D= 90将 矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，二CF= BC, AB =2 ,. CD=2。.设 CD= 2x, CF= 3x,BC 3 CF 3J 2-JDF yf5x J5 DF=VCF2 -CD2 =V5x o . tan/ DCF=-=。CD 2x 2例3

32、: （ 2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作etan a即etan沪黑的对边=A|，根据上述角的余切定义，解下列问题:(1) ctan30 3（2）如图，已知tan A=-，其中/ A为锐角，试求eta nA的值.4【签案】網丁血池仪5.BA尹缶/.盘c=Jab-bL = Jab? -1血 三 丰ab AC T能厂/.ctan30*=f羽EC IaB2*C3） .tanA=i* A设 BO加 AC=4 a.则 AB=5a. 4.ctanA=- = =BC 3a 3【若点】新定义，含的直ffi三形的性质，锐角三角函数的罡义，勾股定理

33、.【分析川1）根据狩角的直角三角形的性质和勾股定理求出BC和甌与AB的关系，根据余切求解即可 根据tanA=i,求出BC和AC,根据余切求解即可.4例4: （2012江苏镇江11分）等边 ABC的边长为2, P是BC边上的任一点（与 B、C不重合），连接AP,以AP为边向两侧作等边 APD和等边 APE,分别与边 AB、AC交于点M、N （如图1）。（1）求证：AM=AN ；(2)设 BP=% 若，BM=3，求x的值；8 记四边形ADPE与 ABC重叠部分的面积为 S,求S与x之间的函数关系式以及 S的最小值;连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）,当x取何值时，/ BAD=150

34、 ?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1 ）证明: ABCA APD和APE都是等边三角形, AD=AP,/ DAP=/ BAC=6(0，/ ADM= / APN=600o./ DAM=/ PAN。 ADM APN (ASA), / AM=AN。(2)BP易证 BPMs CAP, BMCP CA3/ BN=3 , AC=2, CP=2 x,.=x，即 4x2-8x+3=0 o82 X 21 3解得x=或x= o2 2四边形AMPN的面积即为四边形 ADPE与 ABC重叠部分的面积。 ADM = APN,. S/DM =SpN o

35、细边形AMPN =SPM + S出NP = S皿PM + S小dm =SdP o如图，过点P作PSI AB于点S,过点D作DT丄AP于点T,则点T是AP的中点。在 RtABPS中，/ P=60, BP=x, PS=BPsi侦二乡，BS=BPcos60=ixo/ AB=2,. AS=AB- BC=2- x。2- AF2 =aS +pS=Px +i二X =x22x+4 I 2 丿(211J3 2 Smdp =- AP DT = ”AP 丄 APnlr-C2 郢DP 2224AP。,_J3 2 J3S=S四边形ampn =Sdp = = Ap4当x=1时，S的最小值为 出42 =(x2 -2x+4)=(