2.3数列极限存在的条件

1、2.3数列极限存在的条件 2.3 数列极限存在的条件教学内容：第二章 数列极限 2.3 数列极限存在的条件 教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具 .教学要求： （1） 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（2） 初步理解 Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性 .教学重点：单调有界定理、 Cauchy 收敛准则及其应用 .教学难点：相关定理的应用 .教学方法：讲练结合 .教学过程：引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存 在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极

2、限值的计算问题） . 这是极限理论的两基本 问题. 在实际应用中，解决了数列 an 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极限a,故可用a.作为a的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题 . 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办 法是直接从数列本身的特征来作出判断 .从收敛数列的有界性可知：若 an 收敛，则 an 为有界数列；但反之不一定对，即 an 有界不足以保证a.收敛.例如（1）n.但直观看来，若a.有界，又a.随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极

3、限（或收敛） . 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称单调数列 .一、单调数列定义 若数列 an 的各项满足不等式 an an 1（a an 1） ，则称 an 为递增（递减）数列 . 递增和递减数列统称为单调数列例如：1为递减数列；nn2为递增数列；（1）不是单调数列.n二、单调有界定理问题（1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列an，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可 以了 .此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限几何解释 单调数列an只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点

4、an沿数轴移向 无穷远；（2）an无限趋于某一个定点A，即anA（n）.证明 不妨设an单调增加有上界，把an看作集合，有确界原理，supan存在即：（1） n ， an；（ 2）0 n N 使 3no由于an单调增加，故当n n。时有ano an即当n n时| an亦即nim an例i a 0，证明数列a3收敛，并求其极限证明 从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的易见an- a且a2；aaia3a2an2从而 ana an 1 a ananan两端除以an得故an有界即得极限存在I设卩an l，对等式2an a an 1两边取极限,则有lima； lim (a an 1)n

5、nnim an 1 a l2 l a因an为正数列，故l10，因此取1、1 4a2即为所求极限.lim 一例2求n a(k为一定数，a记Cnknan，则 CnCn 1Cn丄(g)k 丄(1 2)ka n a n a 1，贝q N，当 nN 时1(1l)ka n后,Cn单调递减,又有Cn0 极限一定存在，设为A,Cn-(1a1)kcn &两边取极限得例3设an111j(23n例4a 0, x10.Xn 11Xna2Xn法).解由均值不等式，有Xn11 二Xna2Xn有Xn-a,有Xn 11彳a11Xn122Xn2a2).证明数列an收敛.求 lim xn.(n计算.a的逐次逼近法，亦即迭代Xna

6、Xn1.a.Xn有下界，注意到对 n,xnL ,lim xn 、an三、柯西收敛准则(一)引言单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件 柯西收敛准则 .（ 二 ） Cauchy 收敛准则定理（C auchy收敛准则） 数列an收敛的充分必要条件是：对任给的0 ,存在正整数N,使得当n,m N时有|务am |.证明 “” an 收敛,则存在极限,设 lnim an a ,则 0, N ,当 n N 时有|an a| /2 当 n,m N 时有 |an am | |am a| |an a|“ ”先证有界性,取 1,则 N, n,m N|an am | 1.特别地

7、, n N 时 |an aN 1 | 1|an | |aN 1 | 1,设 M max| a1 |,|a2 |, ,|aN |,|aN 1| 1 ,则 n, |an | M .再由致密性定理知，冇有收敛子列%，设円弘a,0, N1, n,m N1|an am | /2,?JK ， k K | ank a| /2,?J取N ma（ K, NJ，当n N时有nN 1 N 1 N|an a| |an anN 1 | |anN 1 a| /2/2anamlik故Cauchy列、基本列（满足 Cauchy收敛准则的数列）Cauchy收敛准则的另一表示形式：0， N ，当 n N 时，对 P Z= 有 |

8、an P an |（ 三） 说明1、auchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题 .2、auchy收敛准则的条件称为C auchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到 后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意 小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起 3、auchy准则把 N定义中an与a的之差换成an与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性敛.例 如数列 an满足 | an 1 an | q|an an 1 |( n 2,3,）且0 qX证明数列an收证明

9、令 lx? Xian | q | anan 1 |2 |q 丨 an 1an2| L q| X2Xi |anp an | |anan1 | an p 1an p 2 |an |/ n p 2c(qn 1q )n 1 4cq (1qp1)00，（不妨设n 1.cq|an p an |1 q例证明数列证明要证:n 1qc-1C1 q），取i1In(cln qq)，则当nN时,对任给自然数p有.故由Cauchy收敛准则知数列Xn收敛.an1n发散.0，对，必有monoN使得an0 | am设m n则1n (mn)因此，如 m 2n，则 11一 1111-3. Xn 有界. am an 1 1 1/2

10、1/2这样，1/2不管N多大，如取 N 1 , m 2n 则 m N , nN| am0an0m,这说明an不是一个Cauchy数列.(四)应用5证明:任一无限十进小数0. b1b2bn(01)的不足近似值所组成的数列b1b110 10b22 ,1010b2bn收敛.其中bi(i,9)是 0,1,9中的数.证明令anb110电102bnanp anbn 110n 1bn10bn p10n p102910n 1110110p 1例6设 0 q 1, Xnqsinqq2sin qqn sinn q.n关于极限lim 1 1e(e 2.71828)的 证明留在下节进行nnn k“ kn例7lim 1

11、-,lim 11nnnnn kn3n141,lim 1例8lim 1 C,lim 1nnnnn2n例92n 3 nlim.n 2n 1作业教材 P38 39 1,3 , 5 ,6 , 10, 11;1n试证明数列Xn收敛.教材(1)( 3)，P40- 4113, 4(1)-(3)(6)(8)(0.1)p10n儲1910n 11 (0.1)p1 0.1,5, 10.(P38 3 (4)提示：考虑1bn丄,用双逼原理可求得bnan1,)n1附数列1丄单调有界证法欣赏nCauchy (1789 1857 )最先给出这一极限,Riemann ( 18261866)最先给出以下证法证法(Riemann最

12、先给出这一证法)设xnn11 -.应用二项式展开，得n1Xn1 n nn(n 1)1n(n 1)( n 2)12!n1 23!n3n(n 1)3 2 1n!丄1 12! n113!n!1111 2xn 11 11 -1 1 -2!n 13!n 1n 1注意到 1111J1-1 -,nn 1nn 1且xn 1比xn多一项1 11“n小1 0,(n1)!n 1n 1111 1 10Xn1 11 12!3!n!1 22 31 1+ 1 - (n 1)! n 1Xn 1 Xn,即 Xn / .1(n 1)n证法二(利用Bemo ulli不等式)注意到Bernoulli不等式(1x)nnx,(x1,n为

13、正整数),Xn 1Xn2n2 n-n 2n 11(n 1)21,利用Bernoulli 不等式，有Xn 1Xn(n 1)为证Xn上方有界,考虑数列YnYn 1Yn3 n3n331.3n 1.可类证yn .Xn / .事实上,n 11 1n132n 4n3nn2 2n4n 14n2 4n显然有XnYn.1,n,Xn1nTn 1n2nYn12n评注该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三（Xn 1利用均值不等式an 11nXn,2时诸ai =0 ,an(nan 1Xn / .an1,不能用均值不等式2n 2n2nn 112n（此处利用了 Bernoulli不等式Y14. 即数列 yn 有上界.在均值不等式n a2an1,1) 1ai,俗 0)就有n Xn,可仿上证得2时,/, ( n 1时无意1n1 1nXn评注 该证法很奇巧.以上证法二和证法三可参阅数学通报1980. M 4 P22.证法四（仍利用均值不等式）n1 1nn 1XnXn 1 ,有界性证法可参阅上述各证法评注该证法以简单而奇妙见长证法四可参阅数学教学研究1991. M1马德尧文“均值不等式妙用两则”证法五先证明：对 0 a b和正整数n，有不等式(n 1)bn.事实上,bn 1 an 1 (b a)(bn bn1aban 1n ann 1ban 1 an (n 1)bnb a该不等式又可变形为b auuab