2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆理)

1、普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知集合 A = 1 , 2, 3 , B = 2 , 3，则（）A . A= BB . AAB= ?C . A亠 BD . B亠 A2. 在等差数列an中，若a2 = 4, a4= 2,则a6 =（）3 .重庆市 2013年各月的平均气温（C ）数据的茎叶图如下图,则这组数据的中位数是A.19C . 21.5012982003312B .20D .23

2、4. X 1 ”是 “log(x + 2) V 0”的()2A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）1C. + 2n2D.2 + 2n36.若非零向量22a, b满足|a|=|b|,且(a b)丄(3a+ 2b),则a与b的夹角为()B.2 +冗nAnn1A. +n/11J 一-2-3 nC.B.2D. n疔D.7 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是 ()&已知直线 I: x+ ay 1 = 0(a R)是圆 C: x2 + y2- 4x 2y+ 1= 0 的对称轴.过

3、点 A(4, a)作圆C的一条切线,切点为B,则AB|=(B. 4.2D. 2 ,10若 tan a 2tanf,53nCOS a则sina 5107=()C . 3D . 42 210.设双曲线 j 古=1(a0, b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双 曲线交于B, C两点，过B, C分别作AC, AB的垂线，两垂线交于点 D.若D到直线BC的 距离小于a+ a2 + b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )A . ( 1, 0)U (0, 1)B . (s, 1) U (1 , +)C . ( . 2, 0) U (0,.2)D .(-2) U ( ,2 ,+第n卷

4、二、填空题(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11.设复数 a+ bi(a, b R)的模为 羽，则(a+ bi)(a bi) =.12.+ 21x5的展开式中x8的系数是(用数字作答).13.在 ABC 中，B= 120 AB=Q2, A 的角平分线 AD = 3,贝U AC =考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前 两题给分.14.如图，圆0的弦AB, CD相交于点E,过点A作圆0的切线与DC的延长线交于点 P,若 FA = 6, AE = 9, PC= 3, CE : ED = 2 : 1，贝U

5、BE =.f x= 1 + t,15. 已知直线I的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴$= 1 +1为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 pcos 2 0= 4 Jp0,宁b0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F2的直a b线交椭圆于P, Q两点，且PQ丄PFi.(1)若|PFi|= 2 + .2, |PF2|= 2- 2,求椭圆的标准方程；若|PFi|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.22.(本小题满分 12 分)在数列an中，ai = 3, an+ ian+ 入 a i+u$= 0(n N +).(1)若匕0,尸一2,求数列an的通项公式；iii若 匸 k0(ko

6、N + , ko 2,) (i=- i,证明：2+ 3亦 iako+ i 1? log1(x+ 2) v 0 , log1(x+ 2) v 0? x+ 2 1?x 1 , x 1”2 2是“Ogi（x+ 2） v 0”的充分而不必要条件.25. 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积Vi = 3 2 2X1 X1 = 1,半圆柱的体积 V2= 2XnX122= n, V= 3 + n.2 26. 解析：选 A由(a b)丄(3a +2b),得(a b)(3a+ 2b) =0,即3a- ab- 2b= 0又Tla|=攀b|,设a,b=0,即3

7、|a|冗j冗冗冗sin (a 5 Jsinacos5 cosasin5tanatan7t . x 7t2ta n 匚 + tan 匚55又 t tan a= 2tan匚,/.原式=3.5n n2tan5tan510. 2|a| b| cos0-2|b|2= 0, /細解析：选A 由题作出图象如图所示.由 x2 y2= 1 , a b竽讦 cos 0 2|bf =0. cos 0=.又 T 00 n 二 0= 4.1 1 17. 解析：选C 由s= 0, k = 0满足条件，贝U k= 2, s= ?,满足条件；k= 4, s= ? + 4 =3, 满足条件；k= 6, s= 4 + 6 = 1

8、1,满足条件；k= 8, s=+ g= I5,不满足条件，输出 k=8,所以应填s1.128. 解析：选C 由于直线x+ ay 1 = 0是圆C: x2+ y2 4x 2y+ 1 = 0的对称轴，圆心 C(2, 1)在直线 x+ ay 1 = 0 上, 2+ a 1 = 0, a = 1, A( 4, 1). |AC|2= 36+ 4= 40.又 r = 2, |AB|2= 40 4 = 36. |AB|= 6.9.解析: cos a-器:=cos a+ f- n = sin a+n,7t7t.7t7tsin原式=5 isinacos5 +cosasin5tana+tan5可知 A(a, 0)

9、,F(c, 0).易得 B c,牛,C c,b2a (a c)c a a (c a)， CD b2b2aa cb2_ a (a - c) a (a-c)，kBD =-b2a (a- c)孑(x- c),即y=a (a c)ac ( a c)x+b2b21CD： y+ 字a(a)(x-c),即 y= 2(-)x- ac( a - c)2b_a xd = c+ 2(b4).(a c)点D至U BC的距离为Ja2 ( a- c)b4a2 (c- a) a+ (a+ bi)(a - bi) = a2+ b2= 3.答案：3+=a + c, b4b2.b2 0a1 或-1b 1 时,3x+ 2a 1 (

10、xa).作出f(x)的大致图象如图所示,由函数f(x)的图象可知f(a)= 5,即 a+ 1 = 5,二 a = 4.同理，当 a- 1 时，一a- 1 = 5, a= 6.答案：6或4三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 解：(1)令A表示事件 三种粽子各取到1个”则由古典概型的概率计算公式有P(A)C2Cs= 1 -C0 4.(2)X的所有可能值为0, 1, 2，且P(x = 0)=CC0=，P(x =1) = CC=15,C2C：1P(X = 2)=猛=宿综上知，X的分布列为X012P_7_7丄151515故 E(X)=O0+ 吒 + 2春5

11、个).18. 解：(1)f(x)= sin 寸-x sin x 3cos2x=cos xsin x-#(1 + cos 2x)知2x-于cos 2x-于=sin因此f(x)的最小正周期为n 最大值为2 2.当xn0电x-3w n从而当0xnwn，即n$Wn时，f(x)单调递增，当n|PF2|,得 xo0,从而 |PFi|2E + cf + 10,归纳可得3= a1a2 anan+1 0.因为an+1 =壬=土蛙an+ k0 an+ k01 1 1=an +k0k0 koan + 11所以对n = 1, 2,，ko求和得ako +1 = a1 + (a? a” + + (ako+ 1 akg)a1kg 1 + 十k0k0ka1 + 1ka2+ 11k0ak+ 1)2k0 3ko+ 1 3ko+ 1= 2ko+ 1 + 3ko+ 1.另一方面，由上已证的不等式知 aia2 akoako+ 12 ,得ako + 1ai1ko1koai+ 11koa2 + 11koako+1）2+11I1II1人订 2k0TT + 2kT7 + + 2k0