2第2讲平面向量基本定理及坐标表示

1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 入，入2, 使 a= Jiei+ ?2g2.其中，不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底_2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a = (xi, yi), b= (x2, y2),则a + b= (xi + X2, yi+ y2), a b= (xi X2, yi y2),入 a=(入 x,入 yi), a |= x2 + yi.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为

2、向量的坐标； 设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 AB = (x? xi, y2 yi),|AB|= ；：(x2 xi) 2+( y2 yi) 2.3. 平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b=(X2, y2),其中 0, a / b? xiy2 x2yi= 0.导师提醒1. 理解基底需关注三点(1) 基底ei, e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.(2) 基底给定，同一向量的分解形式唯一.入 i= m1，(3) 如果对于一组基底 ei, e2,有a=入ei+泌2= Mei+ p2e2,则可以得到入 2=(J2.2. 应用共线向量定理应注意

3、两点xiyi一、，(1) 若a = (xi, yi), b= (x2, y2),贝U a / b的充要条件不能表示成 二=y2，因为x2, y2有可 能等于0，应表示为Xiy2 x2yi= 0.(2) 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.xi+ x2yi+ y22 ， 23. 牢记两个结论(i)已知P为线段AB的中点，若 A(xi , yi), B(x2, y2),贝U P点坐标为已知 ABC的顶点 A(xi, yi), B(x2, y2), C(X3, y3)，则 ABC的重心 G的坐标为xi + X2 + X3 yi + y2+ y33，3.fl判断正误（正确

4、的打“V”，错误的打“X”）（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（）（2）若 a, b 不共线，且 ?ia+ pb= ?ea + 比b，贝U ?i = ?2, 口 i =止.（）（3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（）xi yi右a = (xi, yi), b= (x2, y2)，贝U a/ b的充要条件可表示成 X2=()答案：(i)X(2) V (3) V (4) X (教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()A . ei= ( 2, 4), e2= (i, 2)B. ei= (4 , 3), e2= ( 3,

5、8)C. ei= (2 , 3), e2= ( 2, 3)D. ei= (3, 0), e2= (4, 0)3解析：选B.对于A, ei= 2e2,对于C, ei= e2,对于D, ei = 4e2,对于B,不存在 入 R，使ei=危，故选B.& 已知点 A(0, i), B(3, 2)，向量 AC = ( 4, 3)，则向量 BC=()A . ( 7， 4)B. (7, 4)C. ( i , 4)D . (i , 4)解析：选A.法一：设C(x, y),则AC= (x, y i) = ( 4, 3),x 4,所以y= 2,从而 BC= ( 4, 2) (3, 2) = ( 7, 4).故选

6、A.i),i) = ( 7, 4).法二：AB = (3, 2) (0, i) = (3,BC = AC AB = ( 4, 3) (3,故选A.日若向量 a= (2, 1), b= ( 1,52）, c= 0 , 2，则c可用向量a, b表示为（）iA . c=尹+ b3131C. c = qa+D. c= qa qb2x y= 0,1解析：选A.设c= xa + yb,贝U 0, 5 = (2x y, x+ 2y),所以5解得 2则x+ 2y= 2，y= 1,1 c= 2a+ b. (教材习题改编)向量a, b满足a+ b = ( 1, 5), a b = (5, 3)，贝U b=.解析：

7、由 a+ b = ( 1, 5), a b= (5, 3)，得 2b= ( 1, 5) (5 , 3) = ( 6 , 8)，所1以 b=只-6, 8) = ( 3 , 4).答案：(3 , 4)0 (教材习题改编)已知 A( 2, 3) , B(2 , 1) , C(1, 4) , D( 7 t),若 aB与CD共线，则 t =.解析：Ab = (2 , 1) ( 2, 3) = (4 , 4),CD = ( 7 , t) (1, 4) = ( 8 , t 4).因为AB与CD共线,所以 4(t 4) 4X ( 8)= 0.即 4t+ 16= 0,所以 t = 4.答案：4考点1平面向量基本

8、定理的应用（师生共研）ABCD 中,AB= 2AD = 2DC , E例m （1）（一题多解）（2019郑州模拟）如图，在直角梯形为BC边上一点，BC = 3EC , F为AE的中点，贝U BF =（A. |AB ADB.Ab|adc. |aB + 3ad在梯形 ABCD中，AB / CD , AB = 2CD , M , N分别为CD, BC的中点.若AB=瓜M+ pAN ,则入 +尸【解析】 法一：如图，取AB的中点G,连接DG, CG,则易知四边形 DCBG为平行四边形，所以 EBC= GD = AD AG = AD 2aB，所以 AE = AB + EBE = AB + 3bC= AB

9、 + 22 33- 1 - 2 2 - - - 1 - - 12 2 -2 1AD 2AB = 3AB+ 3AD，于是BF= AF AB = qAE AB =3AB+ AD AB =AB + 3AD，故选C.法二：BF = BA + AF = BA + 丄AE2- 1 - 1 - -=AB+ AD+ QAB+ CE=AB+ 2 AD+ 2AB+ 3CB 1 1 1 =AB+ AD + 4AB + 6(CD + DA + AB)2 - 1 -一浮 + 3AD.- - - - - - - - - - - - 1 - -(2)因为 AB = AN + NB = AN + CN = AN + (CA

10、+ AN) = 2AN + CM + MA = 2AN 4AB AM 所以AB= 8AN 4AM，所以X= 4,= 8，所以入 +尸5 5555【答案】(1)C (2)4创固员囲平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算.(2) 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.提醒在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.- 2 - 1 -1. 在 ABC中，点P是AB上一点，且

11、CP = 3CA+ CB , Q是BC的中点，AQ与CP 的交点为M，又CM = tCP，则实数t的值为.解析：因为，,3 3所以 3CP = 2CA+ cb,即 2CP-2CA= CB -CP, 所以 2AP = PB.即P为AB的一个三等分点（靠近A点）, 又因为A, M , Q三点共线，设AM = ?AQ.所以 cm = Am Ac=瓜Q-Ac1 t 1 t t 入 t 入一2 t =入 2AB + qAC - AC= yAB +AC,又 cm = tcP = t（AP - AC） = t 1AB - Act -=AB - tAC止=L2 = 3， 故入-2丁 = - t，34t= 4，

12、3解得故t的值是3.14入=2.答案：32. 已知点A, B为单位圆0上的两点，点P为单位圆0所在平面内的一点，且0A与0B 不共线.（1）在厶OAB中，点P在AB上，且AP = 2PB，若AP= rOB + sOA,求r + s的值; 已知点P满足0P= mOA + OB（m为常数）,若四边形OABP为平行四边形，求m的值.解：（1）因为 AP = 2PB，所以 AP = |ab.所以 AP= |（Ob - OA）= |c）b-|OA,又因为 Ap = rOB + sOA,所以 r = 3, s=- 3，所以r + s= 0.因为四边形 OABP为平行四边形,所以 0B= Op+ OA,又因

13、为 Op = mOA+ Ob ,所以 0B= Ob+ （m+ 1）0A,依题意Oa, OB是非零向量且不共线，所以m+ 1 = 0,解得m=- 1.考点 1平面向量的坐标运算(多维探究)角度一已知向量的坐标进行坐标运算闵(1)已知向量 a= (5,2) ,b = ( 4, - 3), c= (x, y),若 3a 2b+ c= 0，则 c=()A. ( 23, 12)B. (23, 12)C. (7, 0)D. ( 7, 0)(2)平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1, 0), B(0, 1), C( 1, c)(c0)，且|OC|= 2，若OC=运)A+ QB，则实数h 的值为.【解析】

14、(1)3a 2b+ c = (23 + x, 12+ y)= 0,故 x= 23, y= 12,故选 A.(2)因为 |OC|= 2，所以 |OC|2= 1 + c2= 4,因为 c0,所以 c= 3因为 OC = QA + QOB ,所以(1，寸3)=入(1 0) + Q (0 1)，所以入=一 1 ,Q=,所以入+尸3 1.【答案】(1)A (2) .3 1角度二解析法(坐标法)在向量中的应用0O (1)向量a, b, c在正方形网格中的位置如图所示，若c=山+ pb(人q R),则Q(2)在矩形ABCD中，AB = 1, AD = 2，动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.若 AP

15、= AB + pAD，贝U H q的最大值为 .【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则 A(1, 1), B(6, 2), C(5 , 1)，所以 a = AO = ( 1, 1) , b = OB= (6 , 2) , c= BC =AtF 6 p= 1 ,(一 1，一 因为 C=+Q，所以(一 X 一 3) = 一 1) +P6，2)，即入+ 2尸-3，解得匸一 2, p = 1,所以 = 4.2p(2)以A为坐标原点，AB, AD所在直线分别为平面直角坐标系，则A(0, 0), B(1 , 0), C(1 , 2),的方程为2x+

16、 y 2= 0,点C到直线BD的距离为41)2+ (y 2)2=-,因为P在圆C上,所以P(1 +5严0=5，圆 C： (x cos e , 2+ 255sin 0),x, y轴建立如图所示的DiAfD(0, 2)，可得直线 BDAB = (1 , 0), AD = (0 , 2), AP= AB + pAD =(人2 口)，所以1 + 255cos 0 =入5入 + p= 22 5 A2 + sin 0 = 2 p+0 + sin 0 = 2 + sin( e+ 0 1 J rf1t*111Ti:A:专 * r 卡w.w r _ - * 1 . V1、- Ji . 11C :1 1i1- T

17、 * T1 11142= ?d-卩,2= 2 人则 AD = (1 , 0), AC = (2 , - 2), AB= (1 , 2).因为 AC= AB+ maD，所以(2 , - 2) = ?(1 , 2) + 阳,0)=(卄 2 入)，所以解得= 1,所以H尸2故选A.M = 3,3. 在平行四边形 ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若AF = mAB+ nAD,则 g, 4) U (4,+ a).()A.3 m=；，41n = 一2C.1 m = 21n=2B.113D. m=-, n = 4解析：选A.在平行四边形 ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点,则AE= 1A

18、b+ AD , AF = AE + 2AB ,T 11 T T1 T故AF = 2 2AB+ AD + 2AB ,3 T 1 T=4AB + 2AD.由于 AF = mAB + nAD ,31所以 m= 33, n=-故选A.4.已知平面直角坐标系内的两个向量a= (m, 3m 4), b= (1, 2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=山+ pb(入m为实数)，贝U m的取值范围是()A. ( 8, 4)B. (4,+8 )C. ( 8, 4) U (4,+8 )D. ( 8,+8 )解析：选C平面内的任意向量 c都可以唯一地表示成c =山+ pb,由平面向量基本定理可知，向量a,

19、 b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a, b是不共线向量.又因为a=(m, 3m 4), b= (1, 2)，贝U m x 2 (3m 4)x 1工 0，即 m 4,所以 m 的取值范围为(一5. 在平面直角坐标系 xOy中，已知A(1 , 0), B(0, 1), C为坐标平面内第一象限内的点，且/ AOC=, |OC|= 2,若 OC= QA+ QB，贝V H 卩=()4A . 2 2B. . 2C. 2D. 4 2解析：选A.因为|OC|= 2,Z AOC =-4，所以C(. 2,2)，又因为OC =浹+ QB,所以(Z2,=心,0) + 山0 ,)=(人 口)，所以入=尸,入 +

20、 卩=2Q2.6. 在平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线，若AB = (2, 4), AC = (1 , 3)，则BD =解析：由题意得 Bd = AD Ab= Bc-Ab = (Ac AB)- ab= Ac 2Ab = (i, 3)2(2, 4) =(3, 5).答案：(3, 5)7. (2019昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量OA= (1 , 2), OB = ( 2, 1)，若 2AP = AB，则 |OP|=.解析：设 P 点坐标为(x, y), Ab = Ob OA = ( 2, 1) (1, 2) = ( 3, 3), AP = (x1x=t t2x 2 = 321,

21、y 2),由 2AP= AB得，2(x 1, y 2)= ( 3, 3)，所以，解得，2y 4= 31yy=2故 |Opi= 弓+ 4=#答案：2&已知A( 3, 0), B(0，雨),O为坐标原点，C在第二象限，且/ AOC = 30 OC = qA+ Ob，则实数 入的值为.解析：由题意知 OA= ( 3, 0), Ob= (0, 3),则OC= ( 3 入.3),由/ AOC= 30。知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150 所以tan 150.3=3 入，即t3=7，所以入=1,3 3 A答案：19.已知 A( 2, 4), B(3, - 1), C( 3, - 4).设

22、AB = a, BC = b, CA= c,且CM = 3c,CN = 2b.(1)求 3a+ b 3c；求满足a= mb + nc的实数 m, n;求M , N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知得 a= (5, 5), b= ( 6, 3), c= (1, 8).(1)3a + b 3c= 3(5, 5) + ( 6 , 3) 3(1, 8)=(15 6 3, 15 3 24) = (6 , 42).因为 mb + nc= ( 6m + n , 3m+ 8n),6m+ n = 5 ,m= 1,所以解得3m + 8n = 5 ,n = 1.设0为坐标原点，因为所以 OM = 3c + OC =

23、 (3 , 24)+ ( 3, 4) = (0 , 20).所以 M(0 , 20).又因为 CN = ON OC= 2b ,所以 ON= 2b + OC = (12 , 6) + ( 3, 4) = (9 , 2),所以 N(9 , 2).所以 MN = (9 , 18).10.如图，AB是圆O的直径,C , D 是圆 O 上的点，/ CBA = 60 , / ABD = 45 , CD=xOA + yBC ,求 x+ y 的值.1 解：不妨设OO的半径为1,则A( 1,0) , B(1 , 0) , D(0,1) , C彳,所以 CD= 1 , 1 + 亠3 ,2 2f 13 t t tB

24、C= 2, 2 .又 CD = xOA + yBC ,所以2 , 1 + 宁=x( 1 , 0)+y 1,于.2所以=x12y-，解之得1 +眷-吕所以x+ y= 3+严3+ 233=3+ .3X 33+ 2亍y=-亍综合题组练1.(创新型)若a, B是一组基底，向量 y= x a+ y Rx, y R),则称(x, y)为向量丫在基 底a, R下的坐标，现已知向量 a在基底p = (1, 1), q= (2, 1)下的坐标为(一2, 2)，贝U a 在另一组基底 m= ( 1, 1), n= (1, 2)下的坐标为()A . (2, 0)B. (0 , 2)C. ( 2 , 0)D . (0

25、 , 2)解析：选D.因为a在基底p , q下的坐标为(一2 , 2),即 a = 2p + 2q= (2 , 4),令 a = xm + yn= ( x+ y , x+ 2y),x+ y= 2 ,x= 0 ,所以即x+ 2y= 4 , y= 2.所以a在基底m, n下的坐标为(0 , 2).2 .(仓U 新型)已知 P = a|a=( 1 , 0)+ m (0 , 1) , m R , Q = b|b=( 1 , 1)+ n ( 1,1), n R是两个向量集合，则 PA Q等于()A.( 1 ,1)B. ( 1 , 1)C.(1,0)D. (0 , 1) 解析：选 A.设 a = (x ,

26、 y),贝U P = (x , y)|x= 1,y= m , m R),所以集合 P 是直线x =1上的点的集合.同理，集合 Q是直线 x + y = 2上的点的集合，即 P = (x , y)|x= 1, y R , Q= (x , y)|x+ y 2= 0,所以 PA Q= (1,1) 故选A.3.(应用型)已知非零不共线向量 OA , OB , 若 2(OP= xOA + yOB ,且PA= AB(入 R),则 点Q(x , y)的轨迹方程是()A . x+ y 2= 0B. 2x+ y 1 = 0C. x + 2y 2 = 0D. 2x+ y 2= 0解析：选 A.由 PA= ?AB

27、,得 OA OP= ?(OB OA),即 OP= (1+ 痂?Ob.又 2OP = xOA+yOB ,所以x= 2 + 2入消去入得x+ y 2= 0,故选A. y= 2 入4如图，A, B, C是圆O上的三点，CO的延长线与线段 BA的延长线交 于圆O外一点D，若OC= mOA+ nOB,贝U m+ n的取值范围是 .解析：由点D是圆O外一点，可设BD =入BA（心1）,则OD =OB + ?BA = -入一QA+ （1 为OB又 C, O , D 三点共线，令OD = - QCg 1），则 OC = - OA6(心 1，1)，所以 m=-, n 二则 m+ n 仁入一丄 (- 1, 0）.5.（一题多解）如图，在同一个平面内，向量 OA, OB, OC的模分别为1,1,2, 0A与OC的夹角为 a且tan a乙OB与OC的夹角为45若OC = mOA解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（1 , 0）,+ nOB（m, n R），求 m+ n 的值.a 0,亍，得sin a =箱由 tan a = 7,15COS a = ，设 C(Xc, yc), B(x