2.4《等比数列》课件-(共17张PPT)

1、 一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加 倍，问：分裂倍，问：分裂5次后有多少个细胞？（如图）次后有多少个细胞？（如图） 观察发现细胞分裂个数组成了下面的数列：观察发现细胞分裂个数组成了下面的数列： 细胞分裂次数与个数情况：细胞分裂次数与个数情况： 分裂次数分裂次数 细胞个数细胞个数 n 42n8 32 2 1 2 , 4 , 8 , 2 n 一、举例一、举例 4 32 5 16 庄子曰：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”.” 意思：意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也一尺长的木棒，每日取其一半，永远也 取不完

2、取不完.” .” 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，则每视为一份，则每 日剩下的部分依次为：日剩下的部分依次为： 1111 1 , , , , , 24816 这两数列的特点：从第这两数列的特点：从第2项起，每一项与前一项的比项起，每一项与前一项的比 都等于都等于同一常数同一常数. . 结合例结合例1得到的数列观察：得到的数列观察： 我们把这样的数列称为等比数列我们把这样的数列称为等比数列. 2 , 4 , 8 , 2 n 若若 q=0=0，根据定义，根据定义 则则 ，那么，那么 对对 ，则出现分母为，则出现分母为0 0，无意义，无意义. .故故q0 二、探究二、探究 1 1、等比数列

3、定义：、等比数列定义： 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫等比数列的公比，用字母这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（表示（q0 0） 1n n a q a 1 0 n a 2 1 n n a q a 若存在若存在 ，根据定义，根据定义 ，则分母，则分母 出现出现0 0，无意义，故一切项都不能为，无意义，故一切项都不能为0.0. 5 0a 6 5 a q a 注注: :等比数列的公比和任意一项都不能为等比数列的公比和任意一项

4、都不能为0.0. 用符号语言表示：在数列用符号语言表示：在数列 中，若中，若 则则 是等比数列是等比数列 n a n a 1n n a q nN a 例例1.1.已知数列已知数列 的通向公式为的通向公式为 ，试问这个数，试问这个数 列是等比数列吗？说明理由列是等比数列吗？说明理由. . 若若 呢？呢？ n a 32n n a 2 ,1 3 2 ,2 n n n a n 23 32 2 12 3 23 2 6,2 23 2 aa aa 这个数列不是等比数列这个数列不是等比数列 1 1 32 2,2. 32 n n n n a n a 解：这个数列是等比数列，以下证明：解：这个数列是等比数列，以下

5、证明： 所以，这个数列不是等比数列所以，这个数列不是等比数列. 所以，数列是以公比为所以，数列是以公比为2的等比数列的等比数列. 是常数是常数 注：证明一个数列是等比数列应从定义入手注：证明一个数列是等比数列应从定义入手 证明一个数列不是等比数列，只需举出证明一个数列不是等比数列，只需举出 三项不成等比即可三项不成等比即可. . 如果如果a与与b之间插入一个数之间插入一个数G , ,使使a, ,G, ,b成等比数列，那成等比数列，那 么么G叫做叫做a与与b 的等比中项的等比中项. . 2.2.等比中项等比中项 注：（注：（1 1）等比中项）等比中项G有两个；有两个； 2 Gb Gab aG ,

6、(0,b 0,G 0)aGab 根据等比数列的定义有根据等比数列的定义有 （2 2）因为）因为 , ,故故a与与b必须同号；必须同号； 2 0Gab （3 3）若去掉）若去掉 a0,b0且且G0, ,则由则由 得不得不 到到a, ,G, ,b成等比数列成等比数列. . 2 Gab 3.3.通项公式通项公式 首项是首项是 ，公比是，公比是 的等比数列的等比数列 的通的通 项公式为：项公式为： 1 a q n a 1 1 n n aa q 21 2 3211 23 4311 aa q aa qa q qa q aa qa qqa q 推导：方法一（不完全归纳法）推导：方法一（不完全归纳法） 1 1

7、 n n aa q 归纳得到：归纳得到： 方法二方法二 324 123 1 , , 2 n n aaa qqq aaa a qn a 1 1 n n n aa qN 把以上把以上( (n-1)-1)个式子左右相乘：个式子左右相乘： 3124 12321 1 nn nn n aaaaa qqqqq aaaaa 因为当因为当n= =1时时 也满足上式的结论也满足上式的结论 1 a 1 1 1 1 2 nn n n a q a aa qn （叠乘法叠乘法） 12345678910 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 x y x y 21,2,3,4,. n n an 数列数列 的的

8、 图像是函数图像是函数 的的 图像上的孤立点图像上的孤立点. . 2n n anN 2 x y 即数列即数列 中的各项是函数中的各项是函数 的图像上的图像上 的孤立点的纵坐标的孤立点的纵坐标. . 1 (1) x a yqq q 1n a q q 数列数列 的图像是函数的图像是函数 的的 图像上的孤立点图像上的孤立点. . 11 1 nn n a aa qq q 1 (1) x a yqq q 一般性结论：一般性结论： 例例2.已知等比数列已知等比数列 中，中， 求求 3 1 2 1 183 122 a q q a q n a 34 12,18,aa 12 ,a a 2 31 3 41 12

9、18 aaq aaq 方程思想：方程思想： 中有四个量首项中有四个量首项 ，公比，公比q ， 项数项数n, ,末项末项 , ,要能知三求一要能知三求一. . 1 1 n n aa q n a 1 a 121 16 ,8 3 aaa q 解：解： （1 1）定义法：）定义法： 4 4、一个数列是等比数列的方法归纳一个数列是等比数列的方法归纳： 是等比数列数列 n a 2 11 2 2 2 1 naaaaaa nnnnnn 或（2 2）等比中项法：）等比中项法： 的指数型函数是一个关于nq q a qaa nn n 1 1 1 （3 3）通项公式法：）通项公式法： 是等比数列数列 n a 0qq为

10、常数，且 2 1 1 nq a a q a a n n n n 或 是等比数列数列 n a 注：注：证明证明一个数列是等比数列要用定义证明一个数列是等比数列要用定义证明 1 1 n n aa q 5 5、性质：等比数列、性质：等比数列 首项首项 ，公比，公比 q n a 1 a , n m nm m nNaa q 11 11 , nm nm aa qaa q 11 1 11 1 nn n mn mm m aa qq q aa qq n m nm aa q (1)(1)广义通项公式：广义通项公式： 2 2 n a q n m m a q 证明：证明： n m nm aa q 例例3.3.等比数列等比数列 中，中， 则公比则公比q是多少？是多少？ n a 25 8,64,aa 35 2 64 8 8 2 a q a q 4 1 1 64 8 8 a q a q 3 8 2 q q 21 4 51 8 64 aa q aa q 3 52 aa q 解法一：应用广义通项公式解法一：应用广义通项公式 解法二：化成含有解法二：化成含有 和和q的式子，解方程组的式子，解方程组 1 a 三、课堂小结三、课堂小结 3 3、等比数列的通项公式及其推导方法，特别是、等比数列的通项公式及其推导方法，特别是 叠乘法要求掌握；叠乘法要求掌握； 4 4、判断