结构力学教学课件-10-5结构动力响应

1、上节课内容回顾上节课内容回顾 多自由度体系的振动方程多自由度体系的振动方程 多自由度体系的自振频率方程；多自由度体系的自振频率方程； 多自由度体系的自振频率和振型；多自由度体系的自振频率和振型； 振型的正交性振型的正交性; ; 振型的标准化振型的标准化 )()()()(tftYKtYCtYM P n m i m j m 1 m n i j 1 0 )(tfPn )(tfPi )(tfPj )( 1 tfP , I i F ,S i F ,D i F 0 , iPiSiDiI fFFF )( )( )( I, 1 , 1 , tymF tycF tykF iii n j jijiD n j ii

2、jiS )()()()( 11 tftyktyctym Pi n j iij n j jijii 上节课内容回顾上节课内容回顾 多自由度体系的振动方程多自由度体系的振动方程 多自由度体系的自振频率方程多自由度体系的自振频率方程； 多自由度体系的自振频率和振型；多自由度体系的自振频率和振型； 振型的正交性振型的正交性; ; 振型的标准化振型的标准化 0: 2 MK刚度法 0 2 21 2 2 22221 112 2 111 nnnnn n n mkkk kmkk kkmk 0) 1 ( 2 ZIM 柔度法： 0 1 2 IM 0IM 力的平衡 变形的叠加 上节课内容回顾上节课内容回顾 多自由度体

3、系的振动方程多自由度体系的振动方程 多自由度体系的自振频率方程；多自由度体系的自振频率方程； 多自由度体系的自振频率和振型多自由度体系的自振频率和振型； 振型的正交性振型的正交性; ; 振型的标准化振型的标准化 只能得到位移的相对值只能得到位移的相对值 12 11121 21222 n12 n n n nnn XXXX xxx xxx xxx 上节课内容回顾上节课内容回顾 多自由度体系的振动方程多自由度体系的振动方程 多自由度体系的自振频率方程；多自由度体系的自振频率方程； 多自由度体系的自振频率和振型；多自由度体系的自振频率和振型； 振型的正交性振型的正交性; ; 振型的标准化振型的标准化

4、0 i T j XMX 0 i T j XKX 22 ji 弹性体系作自由振动时，第弹性体系作自由振动时，第i i振型的惯性力在第振型的惯性力在第j j 振型的位移上不做功。振型的位移上不做功。 上节课内容回顾上节课内容回顾 多自由度体系的振动方程多自由度体系的振动方程 多自由度体系的自振频率方程；多自由度体系的自振频率方程； 多自由度体系的自振频率和振型；多自由度体系的自振频率和振型； 振型的正交性振型的正交性; ; 振型的标准化振型的标准化 方根为基准以“加权平方和”的平 中元素大小，使）调整（ 最大的一个元素为）规定第一个、最后或（ 振型标准化12 11 j T ji XMXZ n i

5、ijij T jj xmXMXa 1 2 10.7 自振频率和振型的实用计算方法 10.7.1 瑞雷法求基本频率瑞雷法求基本频率 利用能量守恒原理计算体系第一频率的近似方法。 maxmax T ),(txy)(tyi 变形势能动能 应变能 2 2 Mx dx EI 2 2 EIy dx EI MEIy y 弯矩和截面曲率的关系 在小变形条件下可认为与曲率相等 2 1 T= 2 mV 2 max 0 1 ( )( ) 2 l EI x Yxdx 10.7 自振频率和振型的实用计算方法 10.7.1 瑞雷法求基本频率瑞雷法求基本频率 利用能量守恒原理计算体系第一频率的近似方法。 maxmax T

6、),(txy)(tyi )sin()(,txYtxy 形式设梁的自由振动取简谐 2 ,( )cos() ,-( )sin() y x tY xt y x tY xt l l n i ii dxxYxEI YmdxxYxmT 0 2 max 0 1 222 max )()( 2 1 )()( 2 1 l n i ii l YmdxxYxm dxxYxEI 0 1 22 0 2 2 )()( )()( 不妨用已知的结构自重W=mg作为荷载产生的静力位移曲线 ， 近似取代未知的振型函数 。 )(xY )(xY n i i i l YWdxxYxW 1 0 max )()( 2 1 l n i ii

7、l i n i i YWdxxYxW YWdxxYxWg 0 1 22 0 12 )()( )( l n i iiY mdxxYxmT 0 1 222 max )()( 2 1 的选择。法，关键在于振型函数只是一种近似的求解方)(xY 凡属满足结构几何边界条件的连续函数均可 例10-9 用瑞雷法求等截面简支梁的基本频率 xxl l a xY 2 4 )( 解 （1）假设振型函数Y（x）为抛物线 2 8 )( l a xY l n i ii l YmdxxYxm dxxYxEI 0 1 22 0 2 2 )()( )()( 4 0 22 4 2 0 2 4 2 2 120 )( 16 64 ml

8、 EI dxxxl l a m dx l a EI l l m EI l 2 9545.10 例10-9 用瑞雷法求等截面简支梁的基本频率 433 2 24 )(xlxxl EI q xY 解 （2）假设振型函数Y（x）为满跨均布荷载q作用下的静力位移曲线 )( 2 )( 2 lxx EI q xY EI lq dxxYxEI l 120 )()( 52 0 2 2 92 0 2 630576 31 EI lmq dxxmY l m EI l 2 8767. 9 例10-9 用瑞雷法求等截面简支梁的基本频率 l x axY sin)( 解 （3）假设振型函数Y（x）为正弦曲线 l x l ax

9、Y sin)( 2 m EI l 2 8696. 9 正弦曲线）( 8696. 9 2 3 m EI l 自重位移曲线）( 8767. 9 2 2 m EI l 抛物线）( 9545.10 2 1 m EI l 按照多种不同振型函数的假设，用瑞雷法求的一系 列近似频率中，最小值总是最佳值 精确解 10.8 多自由度体系的强迫振动 振动体系的位移曲线形状，可由振型描述； n个振型都是独立的，彼此线性无关； 所有振型都是两两“M-正交”和“K-正交” 振型分解法 n个自由度体系的强迫振动问 题转化为n个彼此独立的单自 由度体系的强迫振动问题 解耦 10.8.1 主坐标的定义和实质 可表示为振动体系

10、位移向量对于各阶振型Y(t),X j 数学的理论基础： n个线性无关的振型； 关键在于振型系数的选择； 组合系数体系的主坐标 n2211 X)(X)(X)(Y(t)tatata n )(Y(t)taX矩阵形式： T n tatatata)()()()( 21 主坐标向量 10.8.1 主坐标的定义和实质 表示也可用几何坐标向量主坐标向量)(Y)(tta 左乘用MX T i n2211 X)(X)(X)(Y(t)tatata n taMtYMX ii T i )( taKtYKX ii T i )(同理 广义刚度 广义质量 i T ii i T ii XKXK XMXM i T jii T j

11、XMXXKX 2 iii MK 2 ji i i i M K 10.8.2 多自由度无阻尼体系的强迫振动 )()()(tftYKtYM P 分方程耦联的二阶非齐次常微个未知数,tyn i 性常微分方程个一个未知数的二阶线线性变换，解耦为n 体系的强迫振动个彼此无关的单自由度n 10.8.2 多自由度无阻尼体系的强迫振动 )()()(tfXtYKXtYMX P T i T i T i )()( )()( 2 taMtYKX taMtYMX iii T i ii T i i Pi iii M tF tata )( )()( 2 振型的广义荷载第itfXtF P T iPi )()( 法）振型分解法

12、（振型叠加化整为零，各个击破 10.8.3 多自由度有阻尼体系的强迫振动 振型分解法) 1 )()()()(tftYKtYCtYM P )()()()(tfXtYKXtYCXtYMX P T i T i T i T i )()( )()( 2 taMtYKX taMtYMX iii T i ii T i 正交性暂时假定存在 正交性不存在 C C )(0jiXCX i T j i T ii ii T i XCXC taCtYCX )()( )()()()(tFtaKtaCtaM Piiiiiii )()()()(tFtaKtaCtaM Piiiiiii ii i i M C 2 振型的广义阻尼比

13、主坐标空间属于第 i i Pi iiiiii M tF tatata )( )()(2)( 2 瑞雷阻尼矩阵)2 KbMbC 10 iii MbbC)( 2 10 ii i i M C 2 )( 2 1 1 0 i i i b b 的选择非常关键和 10 bb实验确定 jj j ii i bb bb 2 1 2 1 10 10 22 1 22 0 2 2 ij iijj ij ijji ji b b i T ii XCXC 广义刚度 广义质量 i T ii i T ii XKXK XMXM 振型分解法的应用步骤) 3 ii X和振型求自振频率. 1 运动微分方程解耦建立. 2 i Pi iii

14、iii M tF tatata )( )()(2)( 2 Pi T iPi i T ii fXF XMXM )(. 3tai位移响应求主坐标空间中的动态 t aa taeta i i iiii ii t i ii sin )0()0( cos)0()( dteF M i t t Pi ii ii )(sin)( 1 )( 0 间内的动态位移响应坐标变换，求得几何空. 4 i n i i XtataXtY 1 )()()( )0( 1 )0( )0( 1 )0( YMX M a YMX M a T i i i T i i i kgmmlmImNE1050;10;105;/101 . 2 4421

15、1 计阻尼）自由振动位移响应（不例：利用振型分解法求 smY mY T T /15. 025. 010. 0)0( 012. 0015. 001. 0)0( mmm m5 . 2m5 . 2 m5 . 2m5 . 2 解：求自振频率和振型 T T T X X X s s s 1414. 11 101 1414. 11 416.06 96.951 49.33 3 2 1 1 3 1 2 1 1 3 3 3 2 3 1 606.41,596.19,933. 4 ml EI ml EI ml EI 1 3 10 s ml EI 求广义质量 kgXXM kgXXM kgXXM T T T 420010

16、5041050 2100105021050 4200105041050 333 222 111 3333 1050 IImM mIa 22 1 1008. 110 2 . 1 5 . 1 1 10501414. 11 4200 1 )0( t a tata i i i iii sin )0( cos)0()( ttta ttta ttta 3 2 3 4 3 2 4 2 3 2 1 2 1 2 1 sin1022. 6cos1097. 1)( sin1028. 1cos10)( sin10306. 0cos1008. 1)( )()(taXtY t t t t t t 3 3 2 2 1 1

17、4 sin cos sin cos sin cos 622. 097. 10000 0028. 11000 00006 .30108 111 414. 10414. 1 111 10 )()(taXtY t t t t t t 3 3 2 2 1 1 4 sin cos sin cos sin cos 622. 097. 128. 11060.30108 880. 079. 20027.43153 622. 097. 128. 1106 .30108 10 动力学小结 掌握弹性体系振动自由度的概念及其确定方法； 了解单自由度体系自由振动方程的建立及其解答， 振幅与初始条件的关系； 重点掌握结构自振周期（及频率）的公式及计算方 法。公式要记。 单自由度体系强迫振动中，重点搞清动力系数的概 念，掌握简谐荷载和突加荷载动力系数的求法。了 解瞬时冲量作用下“等效静荷载”的求法； 了解阻尼对自由振动的振幅及强迫振动动力系数的 影响 动力学小结（2) 多自由度体系自由振动，重点要掌握两个自由 度体系自振频率的计算，主振型的概念与求法， 主振型正交性原理； 会用能量法计算频率，了解集中质量法； 会计算两个自由度体系在简谐荷载下强迫振动 的振幅 动力学小结（3) 刚度形式方程和柔度形式方程可以互换。对于多 自由