教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1、1.3.2二项式系数的性质( 第一课时 )学校：新塘中学班级：高二 A8 班教师：段建辉教学目标（一）知识与技能1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.掌握“赋值法”，并会简单应用（二）情感与价值观1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识 .2.了解中国古代数学成就及地位教学重点： 二项式系数的性质教学难点 ：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解.教学方法 :发现法授课类型： 新授教学情境设计：一、复习回顾1二项式定理及其特例：（ 1） (ab)nCn0 anC 1nanbLC nr an r brLCnnbn (nN ) ，（ 2） (1x)n1

2、Cn1 xLC nr xrLxn .2二项展开式的通项公式：Tr 1Cnr an r br二、引入通项公式中的 C nr ，我们称其为二项式系数.当 n 依次取 1 ，2 ，3时，(ab) n 二项式系数，如下表所示：1111211331C 10 C11012C2C2C20123CCCC333301234CCCCC44444C0C1C2C3C4C5555555表 1此表叫二项式系数表 ,早在南宋数学家 杨辉所著的详解九章算法 一书中出现了又叫杨辉三角 .国外最早发现是在欧洲 ,叫帕斯卡三角， 比中国晚了 500 年下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质三、探究观察二项式系数表 ,根

3、据提示的方法 ,寻找表中的规律 .【注意】?1 ）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中?2 ）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点?3 ）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系1 、二项式系数表的规律每行两端都是 1除 1 以外的每 1 个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为 C rn 1 ,其肩上的数则为C rn 1 和 C rn ，由组合数知识可知：C rn 1 =C rn 1 +C rn2与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等中间的数值最大2 、二项式系数的函数观点(ab) n 展开式的二项式系数依次是： Cn0 , Cn 1 Cn

4、 rCn n .从函数角度看，C nr 可看成是以 r 为自变量的函数 y f ( r )其定义域是：0,1,2 n 当 n=5 及 n=6 时，分别作出其图象图 1图 2据图可分析出函数 f (r ) C nr ，图象的对称轴是 r n 23 、二项式系数的性质据图 1,2 和表 1 可得出二项式系数的性质【 1】对称性与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等（ C nm Cnn m ）直线 r n 是图象的对称轴23 典型问题 e.g1. 已知 C5910；15=a ， C 15=b ，那么 C 16 =【 2】增减性与最大值Cnkn(n1)(n 2)L (n k 1)Cnk 1 n

5、k 1 ，k !kCnk 相对于 Cnk 1 的增减情况由 n k1 决定， n k 11kn 1 ，kk2.当 kn1 时，二项式系数逐渐增大2当 k n 1 时，二项式系数逐渐增大2根据对称性可知，在中间取得最大值；n .当 n 是偶数时，中间一项Cn2 取得最大值；n 1n 1当 n 是奇数时，中间两项Cn 2 ， Cn 2 取得最大值 典型问题 e.g 2在 ( ab) 9 的展开式中，二项式的系数最大是第_项，最大值为 _e.g 3.若 ( ab) n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n _e.g 4 ( x31n展开式中的第 6项的系数最大，则不含的项等于 ()x

6、2 )xA. 210B.120C.461D. 416【 3】各二项式系数和 赋值法 (1 x) n1 Cn1 x L Cnr xrLxn ，令 x 1，则2nCn0Cn1Cn2LCnrLCnn 组合数公式 典型问题 e.g 5. C1C3+ + C11=_e.gCn0Cn1Cn2Cnn_；11 +11116.Cn1Cn2 1Cnn11Cn0 114四、经典例题例 1 在 (ab)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式 (a b)n Cn0an C1n an b L Cnr an r br L C nnbn (n N ) 中，令 a 1,b 1 ，则 (1

7、 1)n Cn0 C1n Cn2 Cn3 L ( 1)n Cnn ，即 0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ) ，Cn0Cn2LCn1Cn3L ，即在 (ab)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（ 3）及例 1 知 Cn0Cn2LC1nCn3L2n 1 .五、拓展训练1. 已知 (1 2x)7a0a1x a2 x2L a7 x7求：（ 1） a1a2La7 ；（ 2） a1 a3 a5a7 ；2.若 ( x1) n 展开式中前三项系数成等差数列24x求（ 1 ）展开式中含 x 的一次幂的项；（2）展开式中所有 x 的有理项；（3 ）展开式中系数最大的项。六、小结通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：5即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和. 注意灵活利用 .数学思想：函数思想（a 单调性； b 图象； c 最值）数学方法：赋值法、递推法、七、讨论? 1.中国古代数学的成就和地位? 2.东西方数学发展比较? 3.历史人物 1. 杨辉 2. 帕斯卡 ? 4.中国当代数学大师及其成就八、课后作业：完成课时作业九