数列与数学归纳法专题

1、数列与数学归纳法专题上海市久隆模范中学石英丽经典例题【例 1】已知数列的前项和为，且.（ 1）证明：是等比数列；（ 2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解： (1)当时，；当时，所以.又，所以数列是以 15 为首项，为公比的等比数列.(2)由 (1) 知：，得从而；由得，最小正整数.【例 2】 等差数列的前项和为（ 1）求数列的通项与前项和；（ 2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（ 1）由已知得，故（ 2）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【 例3 】 已 知公 差 不 为0 的 等 差

2、 数 列的 首 项为a, 设 数 列 的 前n 项 和 为成等比数列 .（ 1）求数列的通项公式及；（ 2）记，当时，试比较与的大小解：（ 1）设等差数列的公差为d，由，得.因为，所以所以.（ 2）因为，所以.因为，所以.当，即.所以，当.【例 4】 已知，点在函数的图象上，其中=1， 2， 3，（ 1）证明数列是等比数列；（ 2）设，求及数列的通项；（ 3）记，求数列的前项和Sn，并证明=1.解：（ 1）由已知，两边取对数得，即是公比为2 的等比数列 .（ 2）由（）知（ * ）=由（ * ）式得（ 3）.又.又.【例 5】 已知数列满足，且对任意都有.（ 1）求；（ 2）设，证明：是等差数

3、列；（ 3）设，求数列的前项和.解： (1) 由题意，再令.(2)当时，由已知 ( 以) 可得.于是，即.所以是以 6 为首项， 8 为公差的等差数列.(3) 由 (1)(2)解答可知.另由已知 ( 令) 可得.那么，于是.当时，；当时，.两边同乘以，可得.上述两式相减得.所以综上所述，.数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4 分，满分40 分）1.列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是.2.等比数列的前 n 项和为，已知，成等差数列，则的公比为 _ .3.函 数, 等 差 数 列的 公 差 为. 若, 则.4.知数列、都是公差为1 的等差数列， 其首项分别为、，且

4、，设（），则数列的前 10项和等于.5.知数列的首项，其前 项的和为，且，则.6.知 等 比 数 列满 足， 且， 则 当时 ，.7.差数列的前 n 项和为，已知，, 则.8. 全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 6789 10 按照以上排列的规律，第n 行（ n9.是公比为的等比数列， 3）从左向右的第，令3 个数为.，若数列有连续四项在集合中，则=.10. 知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为 _.二、解答题（本大题共有5 题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11. 设数列满足.（ 1）求的通项公式；（ 2）设，记, 证明.12. 等比数列中，分别是下表第

5、一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（ 1）求数列的通项公式；（ 2）若数列满足：，求数列的前 n 项和.13. 设 为非零实数，.（ 1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（ 2）设，求数列的前 n 项和.14. 设数列的前 n 项和为，且方程有一根为（ 1）求； （ 2）的通项公式15. 已知有穷数列：，(). 若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为 数列 . 对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除, 这样得到一个项的新数列( 约定 : 一个数也视作数

6、列 ).若还是数列， 可继续实施操作过程，得到的新数列记作，, 如此经过次操作后得到的新数列记作.（ 1）设请写出的所有可能的结果；（ 2）求证：对于一个项的数列操作 T 总可以进行次；（ 3）设求的可能结果，并说明理由 .数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1. 2 ； 2.； 3. 6； 4. 85； 5.； 6.； 7.10；8.；9. 9 （提示 81 ， 54， 36， 24）； 10.4 5 32；二、解答题11. 设数列满足（ 1）求的通项公式；（ 2）设，记, 证明解：（1）由题设即是公差为 1 的等差数列。又，故所以（ 2）由（ I ）得，12. 等比数列中，分别是下表第

7、一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（ 1）求数列的通项公式；（ 2）若数列满足：，求数列的前 n 项和解：（1）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意 .因此所以公式， 故（ 2）因为=所以当 n 为偶数时，当 n 为奇数时，综上所述，13. 设 为非零实数，（ 1）写出（ 2）设解：（1），并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；，求数列的前 n 项和，因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（ 2）(1)错位相减法得14. 设数列（ 1）求解： (1)的前 n 项和

8、为； （ 2）当时，.，且方程的通项公式有一根为有一根为，于是，解得.当时，有一根为于是，解得(2) 由题设当时，代入上式得，.由 (1) 知由可得由此猜想下面用数学归纳法证明这个结论(i) 时已知结论成立(ii)假设时结论成立，即.当时，由得故时结论也成立综上，由 (i)、 (ii)可知对所有正整数都成立于是当时，.又 n 1 时，所以的通项公式15. 已知有穷数列：， (). 若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列 . 对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除, 这样得到一个项的新数列( 约定 : 一个数也视作数列).若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，, 如此经过次操作后得到的新数列记作.（ 1）设请写出的所有可能的结果；（ 2）求证：对于一个项的数列操作 T 总可以进行次；（ 3）设求的可能结果，并说明理由.解：（ 1）有如下的三种可能结果：（ 2），有且所以，即每次操作后新数列仍是数列 .又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）（ 3）由（ 2）可知中仅有