2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.2.1指数函数的性质与图像课件新人教B版必修第二册20210315260

1、4.1.2指数函数的性质与图像 第1课时指数函数的性质与图像 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.指数函数的解析式是什么指数函数的解析式是什么? ? 2.2.指数幂的大小比较及函数值域的求解指数幂的大小比较及函数值域的求解, ,主要利用了指数函数主要利用了指数函数 的哪个性质的哪个性质? ? 1.1.指数函数指数函数 函数函数_称为指数函数称为指数函数, ,其中其中a a是常数是常数,a0,a0且且a1.a1. 【思考【思考】 为什么指数函数的底数为什么指数函数的底数a0,a0,且且a1?a1? 提示提示: :如果如果a=0,a=0,当当x0 x0时时,a,ax x恒等于恒等于

2、0,0,没有研究的必要没有研究的必要; ;当当x0 x0时时,a,ax x无意义无意义. . 如果如果a0,a0,a0,且且a1.a1. y=ay=ax x 1 1 , 2 4 2.2.指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质 0a10a1a1 图像图像 定义域定义域实数集实数集R R 值域值域_ _ 性质性质 _ 减函数减函数增函数增函数 过定点（过定点（0 0，1 1） (0,) 3.3.指数函数图像和性质的深刻理解指数函数图像和性质的深刻理解 (1)(1)对于对于a1a1与与0a1,0a1a1时时,a,a值越大值越大, ,图像向上越靠近图像向上越靠近y y轴轴, ,上升速度越快上升速度越

3、快; ;当当0a10a0(a0且且a1)a1)的图的图 像关于像关于y y轴对称轴对称. . x 1 ( ) a 【思考【思考】 (1)(1)对于指数函数对于指数函数y=2y=2x x,y=3,y=3x x,y=,y= ,y=,y= , ,为什么一定过点为什么一定过点(0,1)(0,1)? ? 提示提示: :当当x=0 x=0时时,a,a0 0=1=1恒成立恒成立, ,即指数函数的图像一定过点即指数函数的图像一定过点(0,1).(0,1). x 1 ( ) 2 x 1 ( ) 3 (2)(2)对于指数函数对于指数函数y=ay=ax x(a(a00且且a1),a1),在下表中在下表中,?,?处处

4、y y的范围是什么的范围是什么? ? 底数底数x x的范围的范围y y的范围的范围 a1a1 x0 x0? ? x0 x0? ? 0a10a0 x0? ? x0 x1a1 x0 x0y1y1 x0 x00y10y1 0a10a0 x00y10y1 x0 x1y1 【基础小测【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)y=x(1)y=x5 5是指数函数是指数函数. .( () ) (2)(2)指数函数的图像都在指数函数的图像都在x x轴的上方轴的上方. .( () ) (3)(3)若指数函数若指数函数y=ay=ax x是减函数是减函数, ,则则

5、0a1. 0a0,0,且且a1)a1)经过点经过点(-1,5),(0,4),(-1,5),(0,4),则则f(-2)f(-2)的值为的值为 _._. 【解析【解析】由已由已知得知得 解得解得 所以所以f(xf(x)= +3,)= +3, 所以所以f(-2)= +3=4+3=7.f(-2)= +3=4+3=7. 答案答案: :7 7 1 0 ab5 ab4 ， ， 1 a 2 b3 ， ， x 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一指数函数的概念类型一指数函数的概念( (逻辑推理逻辑推理) ) 【题组训练【题组训练】 1.(20201.(2020济宁高一检测

6、济宁高一检测) )下列函数中是指数函数的是下列函数中是指数函数的是_(_(填序号填序号).). y=4y=4x x; ;y=xy=x4 4; ;y=-4y=-4x x; ;y=y= ; ;y=2y=2-x -x; ; y=2y=2x-1 x-1. . 2.(20202.(2020南宁高一检测南宁高一检测) )若指数函数若指数函数f(xf(x) )的图像经过点的图像经过点(2,9),(2,9),则则 f(xf(x)=_,f(-1)=_.)=_,f(-1)=_. 2x 1 ( ) 2 【解析【解析】1.1.y= ;y= ; y=2y=2-x -x= . = . 所以所以都是指数函数都是指数函数.

7、. 答案答案: : 2xx 11 ( )( ) 24 x 1 ( ) 2 2.2.设设f(x)=af(x)=ax x(a(a00且且a1),a1), 因为因为f(xf(x) )的图像经过点的图像经过点(2,9),(2,9), 代入得代入得a a2 2=9,=9,解得解得a=3a=3或或a=-3(a=-3(舍去舍去),), 所以所以f(xf(x)=3)=3x x, , 所以所以f(-1)=3f(-1)=3-1 -1= . = . 答案答案: :3 3x x 1 3 1 3 【解题策略【解题策略】 1.1.判断一个函数是指数函数的方法判断一个函数是指数函数的方法 (1)(1)把握指数函数解析式的特

8、征把握指数函数解析式的特征: :底数底数a0,a0,且且a1;a1;a ax x的系数为的系数为1;1;自变量自变量 x x的系数为的系数为1.1. (2)(2)有些函数需要对解析式变形后判断有些函数需要对解析式变形后判断, ,如如y=y= 是指数函数是指数函数. . x x 11 ( ) 33 2.2.求指数函数解析式的步骤求指数函数解析式的步骤 (1)(1)设指数函数的解析式设指数函数的解析式f f( (x x) )=a=ax x(a(a00且且a1).a1). (2)(2)利用已知条件求底数利用已知条件求底数a.a. (3)(3)写出指数函数的解析式写出指数函数的解析式. . 【补偿训练

9、【补偿训练】 函数函数f(xf(x)=(2a-3)a)=(2a-3)ax x是指数函数是指数函数, ,则则f(1)=f(1)= ( () ) A.8A.8B.B. C.4C.4D.2D.2 【解析【解析】选选D.D.函数函数f(xf(x)=(2a-3)a)=(2a-3)ax x是指数是指数函数函数, ,所以所以2a-3=1,2a-3=1,解得解得a=2,a=2, 所以所以f(xf(x)=2)=2x x, , 所以所以f(1)=2.f(1)=2. 3 2 类型二与指数函数有关的定义域和值域问题类型二与指数函数有关的定义域和值域问题( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例【典例】求

10、下列函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域: : (1)y=(1)y= ;(2)y=;(2)y= ; ; (3)y=(3)y= ;(4)y=;(4)y= . . 【思路导引【思路导引】求与指数函数有关的函数的定义域时求与指数函数有关的函数的定义域时, ,只需使函数式有意义即可只需使函数式有意义即可, , 求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解. . x 1 3 1 x 4 2 |x| 2 ( ) 3 2 x2x 3 1 ( ) 2 【解析【解析】(1)(1)要使函数式有意义要使函数式有意义, ,则则1-31-3x x0,0,

11、即即3 3x x1=31=30 0, , 因为函数因为函数y=3y=3x x在在R R上是增函数上是增函数, ,所以所以x0.x0. 故函数故函数y= y= 的定义域为的定义域为(-,0.(-,0. 因为因为x0,x0,所以所以0303x x1,1,所以所以01-301-3x x1.0,0,且且y1.y1. (3)(3)要使函数式有意义要使函数式有意义, ,则则-|x|0,-|x|0,解得解得x=0.x=0. 所以函数所以函数y= y= 的定义域为的定义域为x|xx|x=0.=0. 因为因为x=0,x=0,所以所以 =1,=1, 即函数即函数y= y= 的值域为的值域为y|yy|y=1.=1.

12、 1 x4 1 x 4 2 1 x 4 2 1 x 4 2 |x| 2 ( ) 3 |x|0 22 ( )( ) 33 |x| 2 ( ) 3 (4)(4)定义域为定义域为R.R. 因为因为x x2 2-2x-3= (x-1)-2x-3= (x-1)2 2 -4-4, -4-4, 所以所以 =16.=16. 又又 0,0, 所以函数所以函数y= y= 的值域为的值域为(0,16.(0,16. 2 x2x 34 11 ( )( ) 22 2 x2x 3 1 ( ) 2 2 x2x 3 1 ( ) 2 【解题策略【解题策略】 求指数型函数的定义域和值域的一般方法求指数型函数的定义域和值域的一般方法

13、 (1)(1)求指数型函数的定义域时求指数型函数的定义域时, ,先观察函数是先观察函数是y=ay=ax x型还是型还是y=ay=af(x f(x) )型 型. . 由于指数函数由于指数函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)的定义域是的定义域是R,R,所以函数所以函数y=ay=af(x f(x) )的定义域与 的定义域与 f(xf(x) )的定义域相同的定义域相同. . 对于函数对于函数y= y= (a0,(a0,且且a1)a1)的定义域的定义域, ,关键是找出关键是找出t=at=ax x的值域的哪些部分的值域的哪些部分 在在y=f(ty=f(t) )的定义域中的定义域中. .

14、求求y=y= 型函数的定义域时型函数的定义域时, ,往往转化为解指数不等式往往转化为解指数不等式( (组组).). x f(a ) x f(a ) (2)(2)求与指数函数有关的函数的值域时求与指数函数有关的函数的值域时, ,要注意指数函数的值域为要注意指数函数的值域为(0,+),(0,+),还还 需注意需注意: :在求形如在求形如y=ay=af(x) f(x)(a (a0,0,且且a1)a1)的函数值域时的函数值域时, ,先求得先求得f(xf(x) )的值域的值域( (即函即函 数数t=f(xt=f(x) )中中t t的范围的范围),),再根据再根据y=ay=at t的单调性的单调性, ,得

15、出得出a at t的范围的范围, ,即即y=ay=af(x f(x) )的值域 的值域. . 【题组训练【题组训练】 已知集合已知集合A=A= , ,则满足则满足AB=BAB=B的集合的集合B B可以是可以是( () ) A.A. B.B. C.x|-1x1C.x|-1x1D.x|xD.x|x00 【解析【解析】选选B.B.由题意由题意, ,可知集合可知集合A A为函数为函数y= ,xRy= ,xR的值域的值域. .令令t=xt=x2 2+1,+1,则函则函 数可化为数可化为y= ,y= ,由由xRxR, ,得得t1.t1.所以所以y= y= 的值域为的值域为 , ,即集合即集合 A=y|0y

16、 .A=y|0y .又又AB=B,AB=B,所以所以B BA.A. 2 x1 1 y| y( ),xR 2 1 0 2 ， 1 x|0 x 2 2 x1 1 ( ) 2 t 1 ( ) 2 t 1 ( ) 2 1 y|0y 2 1 2 【拓展延伸【拓展延伸】 二次函数与指数函数的综合问题二次函数与指数函数的综合问题 对于这类问题对于这类问题, ,本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题. .在处理在处理 方式上可以利用换元法将指数函数换成方式上可以利用换元法将指数函数换成t=at=ax x的形式的形式, ,再利用定义域和再利用定义域和y=ay=a

17、x x的单的单 调性求出调性求出t t的范围的范围, ,此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了. . 【拓展训练【拓展训练】 求函数求函数y=y= -3-3 +2,x-2,2+2,x-2,2的值域的值域. . 【解析【解析】y= -3y= -3 +2= -3 +2= -3 + +2,2,令令t= ,t= ,则则y=ty=t2 2-3t+2= -3t+2= 因为因为 x-2,2,x-2,2,所以所以 t= 4,t= 4, 当当t= t= 时时,y,ymin min= ; = ; 当当t=4t=4时时,y,ymax max=6. =6.所以所以 函数函

18、数y= -3y= -3 +2,x-2,2 +2,x-2,2的值域是的值域是 . . x 1 ( ) 4 x 1 ( ) 2 x 1 ( ) 4 x 1 ( ) 2 2x 1 ( ) 2 x 1 ( ) 2 x 1 ( ) 2 2 31 (t). 24 x 1 ( ) 2 1 4 3 2 1 4 x 1 ( ) 4 x 1 ( ) 2 1 6 4 ， 类型三指数函数性质的简单应用类型三指数函数性质的简单应用( (逻辑推理、直观想象逻辑推理、直观想象) ) 角度角度1 1指数幂的大小比较指数幂的大小比较 【典例【典例】比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小: : (1)(1) ;(2

19、);(2) ; ; (3)0.2(3)0.20.3 0.3,0.3 ,0.30.2 0.2. . 1.82.5 55 ( )( ) 77 ， 0.50.5 23 ( )( ) 34 ， 【思路导引【思路导引】 【解析【解析】(1)(1)因为因为0 1,0 -1.8 -2.5,-2.5,所以所以 (2)(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数在同一平面直角坐标系中画出指数函数y= y= 与与y= y= 的图像的图像, ,如图所示如图所示. . 当当x=-0.5x=-0.5时时, ,由图像观察可得由图像观察可得 5 7 x 5 ( ) 7 1.82.5 55 ( )( ). 77 x 2 ( )

20、3 x 3 ( ) 4 0.50.5 23 ( )( ). 34 (3)(3)因为因为00.20.31,00.20.31,所以指数函数所以指数函数y=0.2y=0.2x x与与y=0.3y=0.3x x在定义域在定义域R R上均是减函数上均是减函数, , 且在区间且在区间(0,+)(0,+)上函数上函数y=0.2y=0.2x x的图像在函数的图像在函数y=0.3y=0.3x x的图像的下方的图像的下方, ,所以所以 0.20.20.2 0.20.3 0.30.2 0.2, , 又根据指数函数又根据指数函数y=0.2y=0.2x x在在R R上是减函数上是减函数, ,所以所以0.20.20.3

21、0.30.2 0.20.2 0.2, ,所以 所以0.20.20.3 0.30.3 0.30.2 0.2. . 角度角度2 2解指数不等式解指数不等式 【典例【典例】使不等式使不等式9 92x-1 2x-1 成立的成立的x x的集合是的集合是( () ) 【思路导引【思路导引】化同底后利用单调性解不等式化同底后利用单调性解不等式. . 【解析【解析】选选A.A.不等式不等式即即3 34x-2 4x-2 , ,可得可得4x-2 ,4x-2 , 解得解得x .x0,且且a1) ), , 即即a a2x-1 2x-1 1a1时时, ,指数函数指数函数y=ay=ax x是增函数是增函数, , 由由2x

22、-1 ,2x-1 ,解得解得x .x . 当当0a10a ,2x-1 ,解得解得x .x . 3 2 a 3 2 5 4 3 2 5 4 【解题策略【解题策略】 1.1.指数幂的大小比较问题的三种类型及解法指数幂的大小比较问题的三种类型及解法 (1)(1)底数相同、指数不同底数相同、指数不同: :利用指数函数的单调性解决利用指数函数的单调性解决. . (2)(2)底数不同、指数相同底数不同、指数相同: :利用指数函数的图像解决利用指数函数的图像解决. .在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中 画出各个函数的图像画出各个函数的图像, ,依据底数依据底数a a对指数函数图像的影响对指数函数图

23、像的影响, ,在在y y轴右侧轴右侧, ,从从x x轴开轴开 始由下往上观察始由下往上观察, ,底数在逐渐增大底数在逐渐增大, ,然后观察指数所取值对应的函数值即可然后观察指数所取值对应的函数值即可. . (3)(3)底数不同、指数也不同底数不同、指数也不同: :采用介值法采用介值法( (中间量法中间量法).).取中间量取中间量1,1,其中一个大于其中一个大于 1,1,另一个小于另一个小于1;1;或者以其中一个指数式的底数为底数或者以其中一个指数式的底数为底数, ,以另一个指数式的指数以另一个指数式的指数 为指数为指数. .如如, ,要比较要比较a ac c与与b bd d的大小的大小, ,可

24、取可取a ad d为中间量为中间量,a,ac c与与a ad d利用指数函数利用指数函数y=ay=ax x的的 单调性比较大小单调性比较大小,b,bd d与与a ad d利用函数的图像比较大小利用函数的图像比较大小. . 2.2.指数不等式的三种类型指数不等式的三种类型 (1)(1)形如形如a ax xaab b的不等式的不等式, ,借助于函数借助于函数y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解, ,如果如果a a的取值不确定的取值不确定, ,需需 分分a1a1与与0a10abb的不等式的不等式, ,注意将注意将b b转化为以转化为以a a为底数的指数幂的形式为底数的指数幂的形式, ,再借助函

25、数再借助函数 y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解. . (3)(3)形如形如a ax xbbx x的不等式的不等式, ,利用函数图像求解利用函数图像求解. . 【题组训练【题组训练】 1.(20201.(2020济宁高一检测济宁高一检测) )若若a=2a=20.7 0.7,b=2 ,b=20.5 0.5,c= ,c= , ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是 ( () ) A.cabA.cabB.cB.cbaba C.abcC.abcD.bD.bacac 【解析【解析】选选A.A.由由y=2y=2x x在在R R上是增函数上是增函数, ,知知1ba2,c= =2,1baa

26、b.cab. 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 2.2.求满足下列条件的求满足下列条件的x x的取值范围的取值范围: : (1)3(1)3x-1 x-19 9x x;(2)0.2;(2)0.2x x25;a ax+7 x+7(a0, (a0,且且a1).a1). 【解析解析】(1)(1)因为因为 3 3x-1 x-19 9x x, ,所以所以3 3x-1 x-13 32x 2x, , 又又y=3y=3x x在定义域在定义域R R上是增函数上是增函数, , 所以所以 x-12x,x-12x,所以所以 x-1.x-1. 即即x x的取值范围是的取值范围是(-,-1).(-,-1). (2)(

27、2)因为因为 00.21,00.21, 所以指数函数所以指数函数f(xf(x)=0.2)=0.2x x在在R R上是减函数上是减函数. . 又又25=0.225=0.2-2 -2, ,所以 所以 0.20.2x x0.2-2,x-2,即即x x的取值范围是的取值范围是(-2,+).(-2,+). (3)(3)当当a1a1时时, ,因为因为 a a-5x -5xa ax+7 x+7, ,所 所 以以 -5xx+7,-5xx+7,解得解得x ;x ; 当当0a10aa ax+7 x+7, , 所以所以 -5xx+7,-5x .x . 综上所述综上所述, ,当当a1a1时时,x,x的取值范围是的取值

28、范围是 ; ; 当当0a10a1时时,x,x的取值范围是的取值范围是 . . 7 6 7 6 7 () 6 ， 7 () 6 ， 【补偿训练补偿训练】 已知已知a=a= ,b=,b= ,c=,c= , ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( () ) A.cA.cababB.aB.abcbc C.bacC.bacD.cD.cbaba 1 3 3 ( ) 5 1 4 3 ( ) 5 3 4 3 ( ) 2 【解析解析】选选D.0 1, 1.D.0 1, 1. 又因为函数又因为函数y= y= 在在R R上是减函数上是减函数, , 且且 , ,所以所以 综上知综上知, , ,即即cba.cb00且且a1a1 【解析【解析】选选C.C.由指数由指数函数定义知函数定义知 所以解得所以解得a=3.a=3. 2 a21 a0,a1 （）， 且， 2.2.函数函数f(xf(x)=)= 在区间在区间-2,2-2,2上的最小值是上的最小值是( () ) A.A. B. B. C.4C.4D.-4D.-