第9讲_二元一次方程的整数解(含答案)

1、（ 9）二元一次方程的整数解【知识精读】1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（ a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x 2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x 2y=1 都没有整数解，（ 9， 3） 3，而 3 不能整除10；（ 4， 2） 2，而 2 不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2、 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c

2、 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。 k 叫做参变数。方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解： x= 111y=1y 10 y1 y2y (1) ,5551y设k (k 是整数），则 y=1 5k (2) ,5把（ 2）代入（ 1）得 x=k 2(1 5k)=11k 2x11k2原方程所有的整数解是（ k 是整数）y15k方法二：公式法 ：设 ax+by=c 有整数解xx0 则通解是xx0bk （ x0,y0 可用观察法）yy0yy0ak3、 求二元一次方程的正整数解：i.出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值ii. 用观察法直

3、接写出。【分类解析】例 1 求方程 5x 9y=18 整数解的能通解解： x= 18 9 y15 10y 3 y3 2 y3 y555- 1 -设 3 yk （ k 为整数）， y=3 5k,代入得 x=9 9k5x99k原方程整数解是3（ k 为整数）y5k又解：当x=o 时， y= 2，x0x09y方程有一个整数解它的通解是y2（ k 为整数）y25k从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解解： x= 100 6 y20 yy(1)，55设yk (k 为整数 )，则 y=5k,(2)5把（ 2）代入（ 1）得 x=20 6k，x020 6k

4、0,k 的整数解是 1， 2，3，解不等式组5k0得 0 k 20y06正整数解是x14x8x2y5y10y15例 3 甲种书每本3 元，乙种书每本5 元， 38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38 （ x,y 都是正整数）x 1 时， y=7 ，x1y是一个整数解7x15k（k 为整数）通解是73ky15k0得解集是17整数 k=0， 1， 2解不等式组3k0k375x1x6x11把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解y7y4y1答：甲、乙两种书分别买1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。- 2 -【实战模拟】，

5、1、 求下列方程的整数解公式法： x+7y=4,5x 11y=3整除法： 3x+10y=1,11x+3y=42,、求方程的正整数解：5x+7y=87 ； 5x+3y=1103、一根长10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4、兄弟三人，老大20 岁，老二年龄的2 倍与老三年龄的5 倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）4x 2y=11, 10x 5y=70, 9x+3y=111, 18x 9y=98, 91x 13y=169, 120x+121y=324.6、一张试巻有20 道选择题，选对每题得5 分，选错每题反扣2 分，不答得0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7、用观察法写出方程3x+7y=1 几组整数解：y=14 217 yx=3- 3 -参考答案x4x47k1. 公式法由特解0得通解0kyy（ k 为整数）x5x511k由特解2得通解25kyy（为 k 整数）整除法 x=110 y=1y 3y, 通解是x10k3y1 3k（ k 为整数）33通解是x3k1（ k 为整数）y511kx2 x9x16x223k 22