18 19 第1章 11 111 四种命题

1、 1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题 学习目标：1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题(重点)2.会分析四种命题的相互关系(重点、难点)3.会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假(重点) 自 主 预 习探 新 知 命 题 教材整理1阅读教材P上半部分，完成下列问题 51定义：能够判断真假的语句叫做命题 2真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假 命题 3命题的一般形式为“若p则q”通常，命题中的p是命题的条件，q 是命题的结论 判断(正确的打“”，错误的打“”) 100是个大数”是真命题( 2 ) (1)“2x20”的条件是x1.(2)“若x1，则x

2、 ) (3)求证“四边形ABCD是平行四边形”是命题( ) 解析 (1).因为不能判断真假 (2).在命题“若p则q”中，p是条件，q是结论 (3).该语句不是陈述句且不能判断真假 答案 (1) (2) (3) 四种命题及其结构 教材整理2阅读教材P中间部分，完成下列问题 51四种命题的概念 一般地，对于两个命题： 页 1 第 (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题 (2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题 (3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否 定，那么

3、这样的两个命题称为互为逆否命题 以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命 题、否命题、逆否命题 2命题的四种形式 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”( ) (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题( ) 答案 (1) (2) 2命题“若x3，则x2”的否命题为_ 解析 由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x3，则x2”的否命题为“若x3，则x2” 答案 若x3，则x2 3命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为_. 【导学号：71392019】 解析 由命题“若p

4、则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行” 答案 若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行 四种命题的关系 教材整理3阅读教材P以下部分，完成下列问题 51四种命题之间的关系 图1-1-1 页 2 第 四种命题的真假2一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题；两 个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 给出下列命题：若一个四边形对角互则它不是正方形；若一个四边形的四条边不相等，补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角 不互补的四边形不内接于圆；若一

5、个四边形的四条边相等，则它是正方形互为逆否命题的；互为否命题的有_其中互为逆命题的有_ 有_；”“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 命题可改写为解析可；命题“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”命题可改写为因此互为逆命题的有则它不内接于圆若一个四边形的对角不互补，”改写为“，和；互为逆否命题的有和；互为否命题的有和，和和，. 和 和，和 和，和和，和 答案 难 重 探 究攻作合 命题及真假判定 判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假 (1)2是无限循环小数； 23x20(2)x； (3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数

6、列； (5)高中数学真难学啊！ (6)把门关上. 【导学号：71392019】 精彩点拨 首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题 页 3 第 自主解答 (1)能判断真假，是命题，是假命题 (2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”) (3)不能判断真假，不是命题 (4)是命题，当等比数列的首项a1时，该数列是递减数列，因1此是一个假命题 (5)感叹句不能判断真假，因此不是命题 (6)因为没有作出判断，所以不是命题 名师指津 1判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假一般情况下，感叹句，一般疑问句，开语句，祈使句都

7、不是命题 2判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可 再练一题 1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由 (1)求证2是质数； 24x70； (2)若xR，则x(3)你是高一学生吗？ (4)一个正整数不是质数就是合数； (5)xy是有理数，则x，y也都是有理数； (6)2x5. 解 (1)祈使句，不是命题 2230对于xR(7xx(2)是真命题，因为4x2)，不等式恒成立 页 4 第 (3)是疑问句，不涉及真假，不是命题 是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数(4)2.

8、，y(5)是假命题，如x2(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立 四种命题的概念 pq”的形式，并写出它们的逆命题、则 把下列命题改写成“若否命 题和逆否命题(1)相似三角形的对应角相等； 24x303(2)当x时，x； (3)正方形的对角线互相平分. 【导学号：71392019】 精彩点拨 先要找出条件和结论，写成若p则q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清楚它们的定义 自主解答 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等； 逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似； 否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对

9、应不相等； 逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似 24x30，则(2)原命题：若x3x； 24x30，则x3；逆命题：若x 24x30，则否命题：若x3x； 24x30，则x逆否命题：若x3. (3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分； 页 5 第 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分； 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形 名师指津 1由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互

10、换的同时，进行否定即得逆否命题 2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变 再练一题 220，则x，y至少有一个不为0”是命题A2设“若x的逆否命题，y请写出命题A，并写出命题A的逆命题，否命题 220. 0，则xyx解 命题A：若0且y220，则x0且命题A的逆命题：若xyy0. 22y，则x0. 的否命题：若x0或y0命题A 四种命题真假的判断 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真 假22xq的方程x0有实根； (1)若q1，则关于x(2)若ab0，则a0或b0； 220，则x，y全为零. xy 【导学号：71392

11、019】 若(3)精彩点拨 依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定 22xq0有实根，则的方程逆命题：若关于 自主解答(1)xxq1.是 页 6 第 真命题 22xq0无实根是真命题的方程否命题：若q1，则关于xx 22xq0无实根，则逆否命题：若关于x的方程xq1.是真命题 (2)逆命题：若a0或b0，则ab0.是真命题 否命题：若ab0，则a0且b0.是真命题 逆否命题：若a0且b0，则ab0.是真命题 220.是真命题y逆命题：若x，y全为零，则x (3)220，则x，xyy不全为零是真命题 否命题：若220.y是真命题，y不全为零，则x 逆否命题：若x 名师指津 判断命题真假的

12、方法 1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证 2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可 再练一题 3判断下列四个命题的真假，并说明理由 (1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题； 22”的逆否命题；yy，则x (2)“若x2x60”的否命题；(3)若“x3，则x (4)“对顶角相等”的逆命题. 【导学号：71392019】 解 (1)命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否

13、命题具有相同的真假性，所以“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题 2222”y是xyx“xyx2y1x(2)令，满足，但y，所以若，则 页 7 第 2xy，则假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x2”的逆否命题也是假命题y 2x60”，令xx3，则x4，满足x3，(3)该命题的否命题为“若22x60，故该否命题是假命题 x660，不满足但xx(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角 四种命题的关系 探究问题 1给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗

14、？ 提示 先把原命题写成“若p则q”的形式，它的逆命题就是“若q则p”，它的否命题就是“若非p则非q”； 当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命22x30”若题同真同假如真命题“x1，则x的逆命题和否命题均为假；又如真命题“若ab，则acbc”的逆命题和否命题均为真命题 2四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？能对这几种情况归纳成结论吗？ 提示 有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真真 真 真真假 假 真 页 8 第 假真 假 真 假假 假 假 一个命题的逆命题和否命题同原命题和它的逆否命题同真同假；结论： 原命题和它的逆命题、否命题真假不一定

15、相同真同假；)(a)abff(x)(R，若， 证明：已知函数，上的增函数，是 0. ab(b)b)f(a)ff(，则 根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可精彩点拨上的增函)，(x)是(自主解答 原命题的逆否命题为“已知函数f ”)f(bf(b)f(a)(R数，a，b，若ab0，则fa) 证明如下：. ab，b若ab0，则a )上是增函数，f(x)在(又 ，a)f(b)f()f(a)f(b， )f(bf)f(b)(a)(fa 即原命题的逆否命题为真命题 原命题为真命题 由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证 名师指津可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地明某一个命题为

16、真命题有困难时，. 证明原命题为真命题 再练一题2202x的不等式a(21)xax为实数，判断命题“已知4ax若关于 1”的逆否命题的真假a的解集不是空集，则 法一：原命题的逆否命题： 解 页 9 第 222a0 x的解(2a1)xx已知a，x为实数，若a1，则关于的不等式集为空集 真假判断如下： 222开口向上，a x1)(2ax抛物线y222)4a4(a7， 判别式(2a1)若a1，则4a70. 222与x轴无交点1)xa即抛物线yx (2a2220 xa的解集为空集 所以关于x的不等式x(2a1)故原命题的逆否命题为真 法二：先判断原命题的真假 222a0的解集不是空的不等式x(2a1)

17、x且关于因为a，x为实数，x集， 7222)0，即4a70，所以所以(2a1)4(aa1. 4所以原命题成立 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真 当 堂 达 标固 双 基 1下列语句不是命题的个数有_个 2是R上的偶函数. f(x)x；函数2x21；1；若x，则x1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为_个 解析 原命题是真命题，逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”也是真命题根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题 答案 4 4与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为_. 【导学号：71392019】 解析 与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能