浙江专用高考数学大一轮复习第四章导数及其应用加强练__导数习题含解析

1、加强练一一导数19、选择题1. 函数f(x) = aln x+ x在x= 1处取到极值，则a的值为()1D.2A. 1C.0解析因为f (x) = aln x + x,所以 f (x) = a+ 1.x又因为f (x)在x= 1处取到极植，所以 f (1) = a+ 1 = 0? a= 1.经检验符合题意故选A.答案 A2. 函数y = x x .x 2 xx解析 y = (xe) = 2xe + x e = xe (x+ 2).因为 ex0，所以由 xex(x+ 2)0，得2x0 时，f (x) = xln x, f (x) = In x + 1，令 In x + 10,+上单调递增,则xe

2、；令in x+1o,则ox0,若I f(x)| ax,则a的取值范围是(A.( s, 0B.( s, 1D. 2, 0C. 2, 1解析 作出函数y=|f(x)|的图象，如图，当|f(x)| ax时，必有kw aO，则a的取值范围是()A.(2 ,+s )B.(1 ,+s )C. ( s, 2)D.( s, 1)解析a= 0时，不符合题意，az0时，f (x) = 3ax2 6x.2令 f (X) = 0，得 X= 0 或 x=.a若a0,则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意 则a0知，此时必有即ax8a33x4a2卜 io,化简得a 令 g(t) = 4t 3at 5,4.又a0,所以a

3、 0在R上恒成立.令 t = cos x, t 1, 1则一4t2+ at +10, 在t 1, 1上恒成立.2所以4t 3at 5 0,x w 2)的最大值为3，最小值为一5,则a=b=.解析 令 f (x) = 4ax3 8ax= 4ax(x2 2) = 0,解得 X1 = 0(舍去)，X2= 2, X3 = 2(舍去).又 f (1) = a 4a+ b= b 3a, f (2) = 16a 16a + b= b,f ( 2) = b 4a,b一4a= 一 5,所以=b = 3.所以 a= 2, b= 3.答案 23(x),且 f (0) = 1,则11. 定义域为R的可导函数y= f(

4、x)的导函数为f (x)，满足f(x)ff ( x )不等式 (1的解集为ex解析入f (x)令 g(x)= -ex-， ex f 则 g (x)=(x) (ex) f (x) = f(x) f (x)(ex) 2exf (x)由题意得g (x) 1，即 g(x)0,所以不等式的解集为x| x0.答案x|x0B两点，贝U | AE|的最x 112. 已知函数f (x) = ex, g(x) = In+ 2的图象分别与直线 y= m交于A小值为，此时m的值为.1 1解析 由题意 A(ln m, m , B(2e 2, m 其中 2em；ln m且 n0,1| AE| = 2e 2 In m1设

5、y= 2ex2 In x( x0),则 y= 2ex2 令 y= 0,解得当 x 0,y 0,当 x=1,| AE| 最小=2 + In 2，此时 m= 3.答案 2+ In 2113.已知x (0 , 2)，若关于x的不等式x 10.2即kx 2x对任意x (0 , 2)恒成立，从而k 0,ex因此由原不等式，得0 + X2-2x恒成立.令 f(x) = ex+ x2 2x,x令 f (x) = 0，得 x= 1,当x (1 , 2)时，f (x)0，函数f(x)在(1 , 2)上单调递增,当x (0 , 1)时，f (x)0，函数f(x)在(0 , 1)上单调递减,所以kf (x) min

6、 = f(1) = e 1,故实数k的取值范围是0 , e 1).答案0 , e 1)ax a14. 若函数f(x) =+ 1(a0)没有零点，则实数 a的取值范围为“ ,aex(ax a) ex a (x 2)解析 f (X)=-2x= ex(a0).当 x2 时，f (x)2 时，f (x)0,a当 x= 2时，f(x)有极小值 f(2) =+ 1.e2若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)=三+ 10,e2解之得a e2,因此一e2a1 .(1)求f (x)的导函数；求f(x)在区间1上的取值范围解(1) f (x) = (x 2x 1) ex+ (x 2x1)(e x)=1- 2：

7、1 ex (x 2x 1)e x=(1廿:=(1 x) 1一Fexx i( 2 、令 f (x) = (1 -x) 1x1 訂=0，解得x= 1或|.当x变化时，f (x) , f (x)的变化如下表:x121(1,劭52g十丿f (x)一0+0一f(x)1 12e 201 2e 2又 f 1 = 2e2, f(1) = 0, f 2 = 2e2则f(x)在区间+*上的最大值为2e12. _ 1 _又 f(x) = (x_ 2x 1)e _ x= 2( 2x 1_ 1)2e _x 0.综上，f(x)在区间2，+上的取值范围是0,12e1.e 2.718 2816. 已知函数f (x) = 一(

8、x0)，其中无理数 x(1)求证：f (x)ln x;若f (x) a2x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明 要证明f(x)ln x,只需证明exxln x,即证明 ex_ xln x0.xx当 x (0 , 1)时，e 1, xln x0;当 x 1 ,+s )时，令 g(x) = ex xln x,则 g (x) = ex_ 1 ln x.证法一：因为 e x + 1, ln xw x 1,所以 g (x)x+ 1 1 (x 1) = 10,则g(x)在1 ,+s )上是增函数，所以 g(x) g(1) = e0.证法二：令 m(x) = g (x) = ex 1 ln x,x 1m

9、(x) = e 一e 10,x则g (x)在1 ,+s )上是增函数，g (x) g (1) = e 10,所以g(x)在1 ,+R )上是增函数,g(x) g=e0.综上可知ex xln x0,所以f(x)ln x成立.2ex 2 解 不等式f (x) ax恒成立，即为 一ax恒成立,x2 ex又x0,则aw恒成立，ex 2记 h( x)=,则 a w h( x) min.人 ，ex (x2)ex3当 x (0 , 2)时，h (x)0 ,令 h (x) = 0，得e2所以 h(X)min= h(2)=,2 e2e e是 a w ，解得aw2 所以实数a的取值范围为J I，,a R.17.

10、(2019 学军中学模拟)已知函数f (x) = In x+ 1则f (x) = - a= 0在(1 ,+s )上有解，且 厶工0,x x2+ ax,其中x(1)若函数f (x)在1 ,+s )上不单调，求a的取值范围;2若函数f(x)在1宀)上有极大值e，求a的值.解(1) f(x) = In x+1+ ax, f (x) =1弓+ a,xx x2分离参数得1 1a= x2 -2(x-1) - 4,由知当a0时，函数f(x)在1 ,+ )上单调递增,二f (x)在1 ,)上无极值；当aw 4时，函数f (x)在1 ,+ )上单调递减,二f (x)在1 ,)上无极值；t1丄当4a0 得 ax

11、+ x 10,x x2其中a1 +1 + 4a2a1,3 =1-丄 22a2a 函数f (x)在1 , a 上单调递减，在a , 3 上单调递增，在3，+m )上单调递减,212由极大值 f( 3 ) = e，得 In 3+ + a3 = e， (*)e3e2 1又a3 +3 1 = 0,二 a 3 = 1,322代入(*)得 In 3 + 3 1 = e，3e22设函数 h(x) = In x+ x 1 -(x2),x12 x 2则 h(X)= J 口=玄， 函数h(x)在(2 ,+s )上单调递增，而 h(-) = 0,1 3 1 3 a 2 18. (2019 北京石景山区期末)已知函数

12、f(x) = ；x + -x 2x( a R). 2 =， a=K = -T，1 -2当a=时，函数f (x)在1 , +m )上有极大值-.-2-(1)当a= 3时，求函数f(x)的单调区间; 若对于任意x (1 ,+ )都有f (x)a 2成立，求实数a的取值范围；(3)若过点0,3可作函数y= f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围1 3 3 2解(1)当 a= 3 时，f(x) = 3X+ 2x 2x,2得 f (x) = x + 3x 2.2因为 f (x) = x + 3x 2 = (x 2)( x 1),所以当1x0，函数f(x)单调递增；当x2时，f (x)0，函数f(

13、x)单调递减所以函数f (x)的单调递增区间为(1 , 2)，单调递减区间为(一a, 1)和(2 ,+ ).1 33 22(2) 由 f (x) = 3X + x 2x，得 f (x) = x + ax 2.因为对于任意x (1 ,+a )都有f (x)a 2成立，即对于任意x (1 ,+a )都有x + ax2a 2成立，x2即对于任意x (1 ,+a )都有a成立.x I沁x2设 g(x) = x1，x (1 ,+a ),x21则 g( x) = x1= 2 + x 1+ x4,1当且仅当x 1=，即x= 2时，等号成立.x1所以实数a的取值范围为(一a, 4).(1 a 、(3) 设点Pt ,孑3 +尹2t是函数y= f(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率为 k2=f (t) = t + at 2,所以过点P的切线方程为y + t3 2t2+ 2t =( -12+ at 2)( x -1).因为点 j0, 3 在切线上，所以，一 3+ 3上322 + 2t = ( t2 + at 2)(0 t)，即-t3 2at21+ -