二重积分部分练习题

1、题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（2 分）1（16小题,共53.0分）0 yW x2,0 x2上连续，则二重积分f (x, y) dxdy 可D化累次积分为0(A) dx11(C) 0dyx2-f(x,y)dyy2y f (x,y)dxy0(B) dx11(D) 0dyx2xf(x, y)dyy2y f (x, y)dx（3分）7设f（x,y）为连续函数，则二次积分；dy ；22yf （x, y）dx可交换积分次序为1、页:_x2(A)dx00 f (x,y)dydx10f (x,y)dy127、2133 x2(B)2dx00 f (x, y)dy1

2、dx20f(x,y)dy7dx 013 x2(C)dx0厶f（x,y）dy(D)?d032cos f (r cossin2,r si n)rdr（3分）8设f（x,y）为连续函数，则积分f (x,y)dydxf (x,y)dydxf (x, y)dy可交换积分次序为1y22 y(A)dy0丿0 f(x,y)dx1 dy 0 f(x,y)dx1x222 x(B)dy0 J0 f (x,y)dx1 dy 0 f (x, y)dx12 y(C)dy0 J曲 f (x,y)dx12 x(D)dy0丿x2 f (x,y)dx（4分）9若区域D为（x-1）2+y2 1,则二重积分2002cos2i（A）0

3、d10x2）f （x, y）dxdy化成累次积分为F(r, )dr(B)2cos0 F(r, )dr2cosF(r, )dr(D)；d2cosF(r, )dr其中 F(r, B )=f(rcos 9 ,rsin 0 )r.（3分）10若区域D为x2+y2w 2x,则二重积分(x 答（）y）.x2 y2 dxdy化成累次积分为(A) d22cos0 (cossin ) 2r cos rdr(B) 0 (cos sin )d2cos 3r3dr0(C) 2 02 (cossin )d2cos 3r3dr0(D) 2 2 (cos2sin )d2cos 3r3dr0(4分)11设丨1ln(xy)7d

4、xdy,l2 (x y)7dxdy3Dsi n7(xD答（y）dxdy其中由 x=0,y=0,x1-,x+y=1所围成的区域，贝U I1，I2，I3的大小顺序是2(A) |1 |2 |3;(C)l1 l3 l2;(B) |3V |2V Ii ；(D) I3 I1 v I2.(5 分)12设 Idxdy22 ，贝y I满足ix |y 11 cos X sin y2 ,(a)3 i(B)2 I 3(C) D I(D) 1 I 0(4 分)13设 x是由直线x=0,y=0工+歹=豆及x+y=1所围成的区域,则11,丨2,I3的大小顺序为(B)l1V I2 13；(D) I 3 I 1 I 2.(A)

5、 I 3 I2 I1;(C)I1 I30),当 a=时，Ja2 x2 y2 dxdy33(C4二、填空(4分)1设函数每一个小区域值为(6小题，共21.0分)f(x,y)在有界闭区域 D上有界，把D任意分成n个小区域厶d i(i=1,2,n),在 d i任意选取一点(E i, n i),如果极限lim0if ( i, i) i (其中入是 d i(i=1,2,n)的最大直径)存在，则称此极限1的二重积分。(4分)2若D是以(0, 0), (1 , 0)及(0, 1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1 x y)=.D(3分)3设D : 0 y . a2 x2,0 x 0 ,由二重积分

6、的几何意义知膚x2y2 dxdy .D(3 分)4设 D: x2+y2 0,则二重积分si n( x3y2)d 。D(4分)5设区域D是x2+y2w 1与x2+y2w 2x的公共部分，试写出 f (x, y)dxdy在极坐标系D下先对r积分的累次积分 .(3分)6设D: 0 xw 1,0 yw 2(1 x)，由二重积分的几何意义知x dxdy =2三、计算(78小题,共331.0分)(3分)1设f(x,y)为连续函数，交换二次积分2 y0dy ly f (x, y)dx2的积分次序。(3分)2设f(x,y)为连续函数，交换二次积分2 2x0dx x f(x, y)dy的积分次序。(3分)3设f

7、(x,y)为连续函数，交换二次积分1 0 0 02dy 严 f(x,y)dx 1dy 阳 f(x,y)dx的积分次序。（3分）4设f（x,y）为连续函数，交换二次积分11e 10dx 1 x2 f （x, y）dx 1 dx inx f （x, y）dy 的积分次序。（4分）5计算二重积分（x y2）dxdyD其中 D : 0 yw sinx,0 x n .（3分）6计算二重积分xydxdyD其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。（3分）7计算二重积分xydxdyD其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。（3分）8计算二重积分xydxdyD 其中 D : x yw| ；

8、Y x,1 w x2.（3分）9计算二重积分cos（x y）dxdyD其中D是由直线x=0,y= n和y=x围成的区域。（4分）10计算二重积分（x2y2y）dxdyD其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。（3分）11计算二重积分x cos（2xy）dxdyD其中 D:0 x -, 1 y 14（3分）12计算二重积分（x y）dxdyD其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。（3分）13计算二重积分（x 6y）dxdyD其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。xydxdyD1其中D是由双曲线y ，直线y=x及x=2所围成的区域。x（3分）15计算二重

9、积分ydxdyD x其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。（3分）16计算二重积分y dxdyD其中 D： |x|+|y|w 1.（3分）17计算二重积分xydD其中 D : |x|+|y|0）所围成的区域。（4分）20计算二次积分33 x0dx 0（2x y）dy（4分）21 计算二重积分xydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。（4分）22计算二重积分（x2 y2 x） dxdyD其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。（4分）23计算二重积分（x 1）ydxdyD4dxdyx其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）25计算二

10、重积分xy2dxdyD其中D为上=丿孑亏与x=0所围成的区域。（4分）26计算二重积分xdxdyD1 2其中D是由抛物线y - x2及直线y=x+4所围成的区域。2（4分）27计算二重积分ex ydxdyD其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）28计算二重积分2dxdyd y其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。（5分）29计算二重积分24y sin（xy）dxdyD其中D是由x=0, y,y=x所围成的区域。（4分）30计算二重积分（x y2）dxdyD其中 D : Ow yw sinx,sa（5分）31 计算二重积分x2 y cos（xy2 ）dxdyD

11、其中 D : OWkMy , Ow y w 2.J（4分）32计算二重积分x ydxdyDydxdyD2 2其中D:%笃1a b（4分）34计算二重积分xdxdyD其中 D:2 x y 11 x2,0 x 1（5分）35计算二重积分r2drdD其中 D: a cos r a,0（a 0）2（4分）36利用极坐标计算二次积分2dx o Jx y dy（5分）37利用极坐标计算二重积分arctg JdxdyD其中 D : 1 0,y 0,y 0,a 0,x=0 处广义。（5分）39试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线 x+y=3所围成三角形内的平均值。（6分）40试求函数f（x,y）=x

12、+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。（4分）41由二重积分的几何意义，求(.1 x2 y2 1)dxdyx2 y2 1（4分）42计算二重积分xdxdyD其中 D : x2+y2w 2 及 x y2.原式=12 y21dy xdx124.,0(2 y y )dy（3分）43计算二重积分dxdy其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。1 x2x0e dx 3dy0x(xex2x3e )dx（4分）44计算二重积分xdxdyD其中 D : x2+(y 1)2 1,x2+(y 2)2W 4,yW 2,x 0.24yy20dy xdxydy(5分)45计算二重积分x

13、y2 dxdyD其中 D : x2+y2 y2.(5分)46计算二重积分xydxdyD其中D是由（x 2）2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。3,4xx2 3xdx1 0ydy1 3 /2x(4x2 1x 3)dx43(4分)47计算二重积分x, y2 x2dxdy其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。（3分）48计算二重积分x3 y2dxdy其中 D : X2+y2W R2.（5分）49计算二重积分2dxdyd x yx2其中区域D 1 x 2, y x 2（4分）50计算二重积分2x7dxdyd y其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。（4分）51 计算

14、二重积分xdxdyD其中 D : X2+y2W a2,y 0.（5分）52计算二重积分xdxdyD2 2 其中 D:笃每1a2 b2（5分）53计算二重积分、.、4 x2 y2dxdyD其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。（5分）54计算二重积分yexydxdyD其中D是由y=ln2, y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。（5分）55计算二重积分xy2 dxdyD其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p0）所围成的区域。 （6分）56计算二重积分2（x y）dxdyD是由抛物线=X和y2=x所围成的区域。（6分）57计算二重积分xeydxdyD其中D是由抛物线y= . ：W（

15、x1）和直线y=x,y=2所围成的区域。（5分）58计算二重积分xy y2 dxdyD其中D是以0（0，0），A（10，1）和B（1，1）为顶点的三角形区域。（5分）59计算二重积分（12x2 16x3y3）dxdyD其中D是由x=1,y=x3,y=-、.f.i.所围成的区域。（8分）60计算二重积分x2 y2dxdyD其中D是以0（0，0），A（1，- 1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。（3分）61 计算二重积分sin x 1 ,dxdyD x其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）62计算二重积分si nxdxdyD x其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。（5

16、分）63计算二重积分ln（1 x2 y2）dxdyD其中 D : x2+y2w 4,x 0,y0.（5分）64计算二重积分x2 y2 dxdyD其中 D : x2+y2 2x,X2+y2W 4x.（5分）65计算二重积分、.x2 y2 dxdyD其中 D : x2+y2w 2x.（4分）66利用极坐标计算二重积分sin（x2 y2）dxdyD其中 D : n 2W x2+y2W 4 n 2（4分）67计算二重积分dxdyD其中 D : x2+y2w 1,x 0,y0.(7分)68设区域D: x2+y2w a2(a0),计算二重积分f (x, y)dxdyD2 2其中f(x,y)ex y 当 x

17、 0, y 00 其它点（4分）69利用极坐标计算二重积分ydxdyD其中 D : x2+y2 0,y 0.(a0)(3分)70利用极坐标计算二重积分2 2 1D(x y )3dxdy其中 D : 1 1,x2+y2 0.2 2（5分）73计算二重积分xye x y d ，其中区域D为x2+y2w 1在第一象限部分。D（5分）74将二重积分f （x, y）d 化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D : 0 x.（5分）76计算二重积分其中D : yw xwln（1 x2y2）dxdyD其中 D : x2+y2w R2 （R 0）,x 0,y 0.（5分）78利用极坐标计算二重积分sin

18、x2 y2 dxdyD其中 D : 1 0,y 0.=答案=答案部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）一、 选择（16小题,共53.0分）（2分）1答案B.（3分）2答案B.（3分）3答案A.（3分）4答案（B）.（3分）5答案（C）.（3分）6答案C.（3分）7答案B.（3分）8答案C（4分）9答案C.（3分）10答案D.（4分）11答案C.（5分）12答案A.（4分）13答案B.（3分）14答案（A）.（3分）15答案C.（4分）16答案B.二、 填空（6小题，共21.0分）（4分）1答案 函数f（x,y）在D上（4分）2答案1(3分)3答案(3分)4答案0.(4分

19、)5答案记 F(r, 0 )=f(rcosB ,rsin 0 )r,3d022cosF(r, )dr3d310F(r, )dr2cos2d F(r, )dr3(3分)6答案13三、计算(78小题,共331.0分)(3分)1答案1 2x原式=0dx x f (x,y)dy2dx12x f(x,y)dy(3分)2答案2 y原式=0 dy 1y f (x,y)dx2(3分)3答案0x2原式=dx 2 f(x,y)dy1 x 2(3分)4答案1 ey原式=dy 尸 f(x, y)dx(4分)5答案原式42dy21y f (x, y)dx2dxosin x0 (x y2)dy(xsin x1 .3、dx

20、 sin x)349(3分)6答案原式x2ydy2xdxox5dx163（3分）7答案原式4043 2x0 2xdx3847（3分）8答案原式2xdxiydyx3dx3-（3分）9答案原式o dx % cos(x y)dyo (sin(x )2sin 2x)dx（4分）10答案原式31dy；(x2y 1y)dxy3 (y1)3y2 y dy2y2 2y3dy101dx 1 xcos2xydy4sin2xdx012(3分)12答案原式1 x=0dy 0 (x y)dx(x0213 12y 0或解原式1 1y)2 0 dy 0(2y2 *y2)dy12 =0dx x(x y)dy1 13 2o(2

21、 x QX2)dx12(3分)13答案原式1 5xodx x (x 6y)dy1 276x dx0(3分)14答案原式2 x1 xdx 1 ydyx1 2 2 12 1x(xx)dx151In 28 24 1 2x2 dx x ydy43 H xdx2 29(3分)16答案 原式11 x4 dx ydy00122 0(1 x )dx23(3分)17答案 原式11 x3 xdx ydy001 22 Qx(1 x)2dx16（4分）18答案原式2xdx11 y2dyx1 2 4 11(x7)dx91 -10（4分）19答案原式3ay22dy (x2 y2)dxaya3aa(2ay2】a3)dy31

22、4a4(4分)20答案原式(9 3x 3 x2 )dx2 2（4分）21答案原式3 x1 xdx i ydyXJx31)dxx10 丄 In32(4分)22答案原式dyy(x2y2 x)dx2 19 y3 3y2 dy0 248136(4分)23答案原式11 yydy1 y(x 1)dx1 1 22 0 y(y y)dy丄24(4分)24答案原式xdx 0 dy01dx1 1d(x2)2 01 x482 2 ”2ydyo XdXy2(4y2)dy6415（4分）26答案原式4xdx2x 41 2 dy-X2(x24x1 x3 )dx218(4分)27答案原式10 ex (ex 1)dx(4分)

23、28答案1交点为(1,1) 2,(2,4)2原式23（5分）29答案原式o2 ydyysin (xy)dx4sin x202dx 0 (x y )dy21302(xsin x sin x)dx3（5分）31答案原式2 2 2 202dx o x y cos(xy )dy2 Xsin 4xdx0 216（4分）32答案交点为（0,0）, （1, 1）原式0ydy ； xdx20（y ,y y4、y）dy655（4分）33答案由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|=y.原式a 2x24 ax a ydy0 0a b 222。丐(a x )dx a4 2ab

24、3（4分）34答案原式1 1 x2dy2 x1 x2 1)dx1xdxoi0x(x16(5分)35答案原式2d0acosr2dr1 3a33a02(1cos3 )d3(2 3)（4分）36答案原式%2dr02（5分）37答案原式rdrdD2rdi3236412(4 1)（4分）38答案原式rdrd1rdra2a卩1 a2)(5分)39答案f (x, y)dD(2xDy)dxdy 00 (2xy)dy30 2x12(3X)2 dx27292所求平均值（6分）40答案而D的面积=3.f (x, y)dxdyD1 2 2o(4x72x )dx763而D的面积5x0dxx (xby)dy1 5x=dx

25、dy0 x14xdxo22所求平均值=12纟3（4分）41答案原式=x2 y2 1X2x2 ydxdy112(4分)42答案(3分)43答案(4分)44答案(5分)45答案交点为(2, 1)与(2, - 1)1 2.5y2i y dy i2 xdx10y2（4 3y2 y4）dy62105（5分）46答案（4分）47答案；dy o产1 1 3-y dy3 0丄12（3分）48答案R 2原式= r y dyX2dx对于L 3,R2-y2 X dXR2 y2 2 x3dx被积函数x3R y为奇函数积分为零。故原式=0.（5分）49答案2dxTX2dy1原式=arcta n?）dxarcta n2l

26、n8（4分）50答案22 x 1x dx 1 飞 dy1 x yx2（x$dxX（4分）51答案aJa2 x22 xdx （00_ a 22 .2 x x dx0（5分）52答案由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分 Di上的积分的4倍，在第一象限|x|=x.ba Jb4 dy bo ob a222 2（b0 b24 2 a b3yxdxy2）dy（5分）53答案2 2x 22dx o、. 4x y dyx2dx（5分）54答案ln34dyln 22ln3 （e4yIn 2 3134xyye dxe2y）dy（5分）55答案-2p2 p-ydy y2 xdx 2p 玮、2p2p2/1

27、2 y（尹8,251 p（6分）56答案12 云0xdx dy0（x2、x x4）dxiy0xdy y2 dxy3）dy|yi dyeydx1 y21 (yey ye)dy2 3 e e2(5分)58答案110y 0dy y12018y dy6(5分)59答案1x3-010(12xx 8x55丄84(8分)60答案；dx x2 y2dy1 / y 2 2 o(2、x y1 2 .x dx0 2y2dx；|皿 Z310yydydx _(12x2 16x3 JX12x2(x3xy3)dy4x3(x12 x2) dx4x15)dx2x . y arcs in2xxdx)6(3分)61答案1 sin xdxdy0si nxdx1 cos(4分)62答案21 sin xxdx dy 0 x01xsin xdxsin1 cos1(5分)63答案o2 d o ln（1 r2 ）rdr5In udu4 1（5分）64答案_4cos2 d r3dr2cos22 60