高中数学平面向量知识点总结

1、高中数学必修4 之平面向量知识点归纳一 .向量的基本概念与基本运算1 、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行单位向量：模为1 个单位长度的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量2 、向量加法：设uuurr uuurrruuuruuuruuurABa, BCb ，则 a +b = ABBC = AC（ 1） 0 aa0a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；uuuruuuruuurLuuuruuuruuurABBCCDPQQRAR ，但

2、这时必须“首尾相连” 3 、向量的减法： 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做a 与 b 的差， 作图法： ab 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4 、实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度与方向规定如下：（）aa ； （）当0 时， a的方向与 a 的方向相同；当0时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时， a0 ，方向是任意的5 、两个向量共线定理：向量b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a6、平面向量的基本定理： 如果 e1

3、, e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 ,2 使： a1 e12 e2 ，其中不共线的向量e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量rrrrra可表示成 axiyj，记作 a =(x,y)。2 平面向量的坐标运算：(1)rx1, y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2若 a,b，则 abuuurx2x1 , y2y1(2)若 A x1, y1, B x2 , y2，则 AB(3)r=(x,y)，则rx,y)若 aa =(4)rrx2 , y2rrx1 y2x2 y1

4、 0若 ax1, y1 ,b，则 a / b(5)rx , yrx , yrrxxyy若 a,b2，则 ab1121212rry1 y2 0若 ab ，则 x1 x2三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：rrr rrr已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角为，则 a b = a b cosrrrr叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定 0a 0rr rrr2=a b向量的投影：b cosrR，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3数量积的几何意义：rrrrra b 等于a 的长度与 b在 a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：rrr2r 2aaa|

5、a |5 乘法公式成立：rrrrr2r2rabababarr 2r2rrr2raba2a bba2 r 2b ；2rrr 22abb6 平面向量数量积的运算律：交换律成立：rrrrabb a对实数的结合律成立：rrrrrrRaba bab分配律成立：rrrrrrrrrrabcacbccab特别注意：（ 1）结合律不成立：rrrr rr；abca bcrrrrrr（ 2）消去律不成立 a bac不能得到 bcr r不能得到rrrr（ 3） a b =0a =0 或 b = 07 两个向量的数量积的坐标运算：rrr r已知两个向量a ( x1, y1), b ( x2 , y2 )，则a b = x1 x2y1 y2rruuurruuurr00rr8向量的夹角： 已知两个非零向量与 b ，作 OAOB= b ,AOB=0180与 b 的a= a ,（）叫做向量a则夹角rr rrx1 x2y1 y2a?b=cos = cos a, brrx12y1 2x2 2y2 2a? brrrrr当且仅当两个非零向量b同方向时，0，同时 0 与其它任何非零向量a 与=00，当且仅当 a 与 b 反方向时 =180之间不谈夹角这一问题rr