2019届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文 新人教A版

1、3 3. .2 2导数与函数的单调性、导数与函数的单调性、 极值、最值极值、最值 1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内; 如果f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)=0 -4- 知识梳理双基自测自测点评231 检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近 的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得. f(x)=0 极大值 极小值 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在区间a,b上必有最大值与最 小值. (2)若函数f(x

2、)在区间a,b上单调递增,则为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在区间a,b上单调递减,则 为函数的最大值,为函数的最小值. (3)设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间 a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在区间(a,b)内的; 将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值. -5- 知识梳理双基自测自测点评231 f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 2 -6- 知识梳理双基自测3415自测点评 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递

3、增,则一定有f(x)0. () (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. () (3)导数为零的点不一定是极值点. () (4)函数的极大值不一定比极小值大. () (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小 值. () 答案 答案 关闭 (1)(2)(3)(4)(5) -7- 知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -8- 知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -9- 知识梳理双基自测自测点评23415 4.(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底 数.若f(a

4、-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -10- 知识梳理双基自测自测点评23415 5.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极 小值点的个数为. 答案解析解析 关闭 由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案解析 关闭 1 -11- 知识梳理双基自测自测点评 1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)内恒成 立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0

5、处有极值”的必 要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3 的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系. -12- 考点1考点2考点3 考向一讨论函数的单调性或求单调区间 (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? -13- 考点1考点2考点3 -14- 考点1考点2考点3 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=

6、-4. 当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数; 当-4x0,故g(x)为增函数; 当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增 函数. -15- 考点1考点2考点3 考向二已知函数单调性求参数的取值范围 例2已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围. 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么? -16- 考点1考点2考点3 -17- 考点1考点2考点3 (2)因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(x)

7、=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立. 因为3x20,所以只需a0, 即实数a的取值范围为(-,0. -18- 考点1考点2考点3 解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根 划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间 上的单调性. 2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当 f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,

8、+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+). -22- 考点1考点2考点3 -23- 考点1考点2考点3 -24- 考点1考点2考点3 例3已知函数f(x)=x-aln x(aR). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系? -25- 考点1考点2考点3 -26- 考点1考点2考点3 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极

9、 大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极 小值a-aln a,无极大值. -27- 考点1考点2考点3 解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是 单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在 此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程: -28- 考点1考点2考点3 (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. -29- 考点1考点2

10、考点3 令f(x)=0,解得x=-1或x=5. 由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数. 由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5;函数f(x)没有极 大值. -30- 考点1考点2考点3 例4(2017北京高考,文20)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; 思考求函数的最值可划分为哪几步? -31- 考点1考点2考点3 解:(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为f

11、(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=- 2exsin x. -32- 考点1考点2考点3 解题心得求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在区间(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. -33- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3设函数f(x)=ex-ax-2. (1)求f(

12、x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值. 解 (1)由题意知函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a. 若a0,则f(x)=ex-a0, 故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上单调递增; 若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)=ex-a0; 因此,f(x)在(-,ln a)内单调递减,在(ln a,+)内单调递增. -34- 考点1考点2考点3 (2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1. 由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上单调递增, 而f(1)0, 所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存 在唯一的零点. -35- 考点1考点2考点3 设此零点为,则有(1,2). 当x(0,)时,g(x)0; 所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(). 又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3). 由于式等价于k0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时