高考数学函数专题习题集答案

1、函数专题练习（一）选择题 (12 个 )1.函数 yex 1 ( x R) 的反函数是 ()A y1ln x( x0)BC y1ln x( x0)Dy1ln x(x0)y1ln x( x0)f ( x)(3a 1)x4a, x1(,)上的减函数，那么a 的取值范围是已知是2.logax, x 1( A) (0,1)( B) (0,1)( C) 1,1)( D ) 1,1)37373. 在 下 列 四 个 函 数 中 ， 满 足 性 质 ： “ 对 于 区 间 (1,2)上 的 任 意 x1, x2 (x1x2 ) ，| f (x1)f (x2 ) | x2x1 | 恒成立”的只有( A) f

2、( x)1( B) f x| x |( C) f ( x)2x( D) f ( x) x2x4. 已 知 f ( x)是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0x 1 时 ， f (x)lg x.设635a f ( ), bf ( ), cf ( ), 则522(A) ab c(B) b ac(C) cb a(D ) ca b5.函数 f ( x)3x 21)的定义域是1lg(3 xxA. (1 ,)B. (1 ,1)C.( 1 , 1)D . (, 1 )333336、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. yx3, xRB.ysin x , x RC.yx , xRD.

3、y( 1 ) x, xRy2、函数 yf ( x)的反函数 yf1 ( x) 的图像与y轴交于点174yf( x)P(0,2)(如右图所示 )，则方程 f ( x) 0在 1,4上的根是 x2A.4B.3C. 2D .18、设 f ( x) 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是1O3x(A) f (x) f ( x) 是奇函数(B)f ( x)f ( x)是奇函数(C)f (x)f ( x) 是偶函数(D)f (x)f (x) 是偶函数9、已知函数yex 的图象与函数yf x 的图象关于直线y x对称，则A f2xe2 x (xR)B f2xln 2gln x( x0)C f2x2ex (

4、 x R)D f2xln xln 2(x0)10、设 f ( x)2ex 1, x2，则 f ( f (2)的值为log 3 ( x21)， x2.(A)0(B)1(C)2(D)311、对 a，b R，记 max a，b a,abR)的最小值,，函数 f(x) max| x 1|， |x 2|( xbb a是(A)013(D)3(B)(C)2212、关于 x 的方程 (x2 1)2x21k0 ，给出下列四个命题：存在实数 k ，使得方程恰有2 个不同的实根；存在实数 k ，使得方程恰有4 个不同的实根；存在实数 k ，使得方程恰有5 个不同的实根；存在实数 k ，使得方程恰有8 个不同的实根；

5、其中假 命题的个数是A 0B 1C 2D 3（二）填空题 (4 个 )1. 函 数 fx对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f x21， 若 f15, 则xff f 5_。2 设 g( x)ex , x0._lnx, x则 g ( g (1 )0.23.已知函数fxa1x为奇函数，则 a_。2x, ，若 f14. 设 a 0, a1，函数 f ( x)log a (x22x 3) 有最小值，则不等式log a ( x1)0 的解集为。（三）解答题 (6 个 )1. 设函数 f ( x)x 24x5 .(1) 在区间 2,6 上画出函数f (x) 的图像；(2) 设集合 Ax f ( x

6、)5 ,B(,2 0, 4 6,) . 试判断集合A 和 B 之间的关系，并给出证明；(3) 当 k2 时，求证：在区间1, 5 上， ykx3k 的图像位于函数f (x) 图像的上方 .b若， f(0) 0， f(1) 0，求证：2、设 f(x) 3ax 2bx c. a b c 0( )a 0 且 2 a 1；b( )方程 f(x)0 在 (0， 1)内有两个实根.3. 已知定义域为R的函数 f ( x)2xb 是奇函数。2x1a( )求 a, b 的值；( )若对任意的 tR ，不等式 f (t 22t)f (2t 2k) 0 恒成立，求 k 的取值范围；4.设函数 f(x)c22, 其

7、中 a 为实数 .xax a( )若 f(x)的定义域为 R，求 a 的取值范围 ;( )当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x) 的单减区间 .5. 已知定义在正实数集上的函数f ( x)1 x22ax ， g( x) 3a2 ln xb ，其中 a 0 设2两曲线 yf (x) ， y g( x) 有公共点，且在该点处的切线相同(I)用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；(II)求证： f ( x) g( x) ( x 0 )6.已知函数f ( x)x2x 1 ，,是方程 f(x) 0 的两个根 () ， f (x) 是 f(x)的导数；设a11 ， an 1anf ( an ) (

8、n 1，2， )f (an )(1) 求 , 的值；(2) 证明：对任意的正整数 n，都有 an a；(3) 记b ln annn。n(n 1， 2， )，求数列 b 的前 n 项和 Sana（四）创新试题1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A, B,C 的机动车辆数如图所示，图中x1, x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数 ( 假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) ，则( A) x1x2x3(B) x1x3x2(C) x2x3x1(D ) x3x2x12.设函数 f(x) 3sinx 2cosx 1。若

9、实数 a、 b、 c 使得 af(x)bf(x- c) 1 对任意实数 x 恒成立，则 b cosc 的值等于 ()aA.11D . 1B.C. - 122解答：一、选择题1 解：由 yex1 得：x1ln y,即 x=-1+lny，所以 y1ln x( x0)为所求， 故选 D 。解：依题意，有0a1 且 3a 10，解得 0a1 ，又当 x1 时， ( 3a 1) x 4a7a 1，3当 x 1 时， log a解得 x1 故选 Cx 0，所以 7a 1 07 解 ： |11x 2 x1|1|x1x 2 | Q x1， x 2 （1，2） x1x 21x 2|x1 x 211x1|x1x

10、2 |x1 x2| 1 1 | | x1 x2| 故选 Ax1x 2 解 ： 已 知 f ( x)是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0x 1 时 ， f (x)lg x. 设a6443f (1151f ( )f ()f ( ) ， bf ( )f ( ) ， cf ( )f ( ) 0，55522222ca b ，选 D .解：由1 x01x1，故选 B.3x103解： B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选 A.解： f ( x)0 的根是 x2，故选 C解： A 中 F ( x)f (x) f (x)

11、 则 F (x)f ( x) f ( x)F ( x) ，即函数 F (x)f (x) f (x) 为偶函数， B 中 F (x)f ( x)f (x) ，F (x)f ( x)f ( x) 此时 F ( x) 与 F (x) 的关系不能确定，即函数F ( x)f (x) f (x) 的奇偶性不确定，C 中 F (x)f (x)f (x) ， F( x)f (x)f ( x) F (x) ，即函数 F(x)f (x)f ( x) 为奇 函 数 ， D 中 F ( x)f ( x)f ( x) ， F( x)f ( x) f (x) F ( x) ， 即 函 数F ( x) f ( x)f (

12、x) 为偶函数，故选择答案D 。解：函数 yex 的图象与函数 yfx的图象关于直线yx 对称，所以 f (x) 是 y ex的反函数，即f ( x) ln x ，f2xln 2xln xln 2(x 0) ，选 D.解： f(f(2) f(1) 2，选 C解：当 x1 时， |x1| x 1， |x 2| 2 x，因为 ( x 1) (2x) 30，所以2 x x1；当 1x1 时， |x 1| x 1， |x 2| 2x，因为 (x 1) (2 x)2x 1 0，21x1 2 x；当x 2 时， x 1 2 x；当 x 2 时， |x1| x 1，|x 2| x 2，显然 x1 x2 2；

13、2x( x(,1)2x( x1)1,3故 f (x)21据此求得最小值为。选 Cx1(x, 2)22x1(x2,)x 的方程 x221 k0可化为 x2 121） (1)解：关于1x2（x21） k 0（x 1或x2（ x21） k0 ( 1x 1) (2)或 x2 1 当 k 2 时，方程 (1)的解为3 ，方程 (2) 无解，原方程恰有2 个不同的实根 当 k 1 时，方程 (1) 有两个不同的实根6 ，方程 (2)有两个不同的实根2，即原方422程恰有4 个不同的实根 当 k 0 时，方程 (1) 的解为 1，1， 2 ，方程 (2) 的解为 x 0，原方程恰有 5 个不同的实根当 k2

14、9时，方程 (1) 的解为15 ，2 3 ，方程 (2) 的解为3 ，6 ，即原方程恰3333有 8 个不同的实根选 A二、填空题。解：由 fx21x41f ( x) ，所以 f (5)f (1)5 ，则得 fx2f xff f 5f ( 5)f ( 1)f (12)1 。15解： g (g ( 1)g(ln 1 )ln 11e 2.222解：函数f ( x)a1.若 f (x) 为奇函数，则f (0) 0 ，即 a10 ， a 1.2x 12012解：由 a0, a1，函数f ( x)log a (x22x3) 有最小值可知a1 ，所以不等式log a ( x 1) 0 可化为 x 11，即

15、 x 2.三、解答题解： (1)(2) 方程 f ( x) 5的解分别是214,0,4和 214 ，由于 f (x) 在 (, 1 和 2, 5 上单调递减，在 1, 2 和 5,) 上单调递增，因此A,214 0,4214,.由于 2146,2142,BA .(3) 解法一 当 x1, 5 时， f ( x)x24x5.g( x)k( x3)(x 24x5)x 2(k4) x(3k5)4k2k 220k36x24，k2,4k1 .又1 x5 ，2当14k1 ，即 2 k6 时，取 x4k ，22g( x) mink 220k361264 .44k 1016(k10) 264,(k10) 26

16、40 ，则 g( x) min 0 . 当 4 k1，即 k 6 时，取 x1 ，g( x) min 2k 0 .2由 、可知，当k 2 时， g(x) 0 ， x1, 5 .因此，在区间 1, 5 上， yk(x3) 的图像位于函数f (x) 图像的上方 .解法二 当 x1, 5 时， f ( x)x 24x5 .由 yk( x3),得 x 2(k4) x(3k5)0 ，yx 24x5,令( k4) 24( 3k 5)0 ，解得k2或 k18 ，在区间 1,5 上，当 k2时， y2( x3) 的图像与函数f ( x) 的图像只交于一点( 1, 8 ) ； 当 k18 时， y18( x3)

17、的图像与函数f ( x) 的图像没有交点 .如图可知，由于直线yk (x3) 过点 (3,0) ，当 k2 时，直线 yk (x3) 是由直线 y 2( x3)绕点 (3,0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间 1,5 上， yk ( x3) 的图像位于函数f ( x) 图像的上方 .2(I)证明：因为f (0)0, f (1)0 ，所以 c0,3a 2b c 0 .由条件 abc0，消去 b ，得 ac0 ；由条件 abc0 ，消去 c ，得 ab0 ， 2ab0 .b1.故 2a(II)抛物线 f ( x)3ax22bxc 的顶点坐标为 (b , 3acb2) ，3a3ab111b2.

18、在 2的两边乘以，得33a3a3又因为 f (0)0, f (1)0, 而 f (b)a2c2ac0,3a3a所以方程 f ( x)0 在区间 (0,b ) 与 (b,1) 内分别有一实根。3a3a故方程 f ( x)0 在 (0,1) 内有两个实根 .3 解： ( )因为 f ( x) 是奇函数，所以f (0)b10b1 f (x)12x 0，即a2x 1a21211又由 f(1) f( 1)知2a2.a4a1( )解法一：由 ( )知 f ( x)12x11，易知f (x) 在 (,) 上22x122x1为减函数。又因f ( x) 是奇函数，从而不等式：f (t 22t)f (2t2k )

19、0等价于 f (t 22t )f (2t 2k )f (k 2t 2 ) ，因 f( x) 为减函数，由上式推得：t 22t k2t 2 即对一切 tR 有： 3t 22tk0 ，从而判别式412k0k1 .3解 法 二 ： 由 ( )知f ( x)12 x 又 由 题 设 条 件 得 ：22x 112 t 22 t12 2 t 2k22 t 22 t 122 2 t 2k 10 ，即： (22t 2 k 12)(1 2t2 2 t )(2t 2 2t 12)(1 22 t 2 k ) 0 ，整理得23t2 2 t k1,因底数 21, 故: 3t 22tk0上式对一切 tR 均成立，从而判别

20、式412k0k1 .34 解： ( )f ( x) 的定义域为 R ，x2axa0 恒成立，a24a 0，0a4 ，即当 0a4 时 f ( x) 的定义域为 R ( ) f ( x)x( xa2)ex(x2ax2 ，令 f (x) 0 ，得 x( x a 2) 0 a)由 f (x)0 ，得 x0 或 x 2 a ，又 Q 0 a4 ，0a2 时，由 f( x)0 得 0x2a ；当 a2时， f( x) 0 ；当 2 a4 时，由 f( x)0得 2a x0 ，即当 0a2 时， f ( x) 的单调减区间为 (0，2a) ；当 2a4 时， f ( x) 的单调减区间为(2a，0) 5

21、解： ( )设 yf (x) 与 yg(x)( x0) 在公共点 ( x0，y0 ) 处的切线相同 f( x)x 2a ， g ( x)3a2g (x0 ) ， f (x0 )g ( x0 ) ，由题意 f ( x0 )x1222x02ax03aln x0b，2a3a2a ，或 x03a (舍去 )即2由 x得： x03a0x0x02a，x0即有 b1 a22a23a2 ln a5 a23a2 ln a 22令 h(t )5t 23t 2 ln t(t0) ，则 h (t)2t (13ln t) 于是21当 t(13ln t)0 ，即 0te3 时， h (t )0 ；1当 t(13ln t)0 ，即 te3 时， h (t )0 11故 h(t ) 在， 3为增函数，在e3， 为减函数，0e12于是 h(t) 在 (0， ) 的最大值为 h e33 e3 2( )设 F (x)f