概率论：2.4 R.V.相互独立

1、1.1.二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 2.2.二维连续型随机变量的边缘分布密度二维连续型随机变量的边缘分布密度 3.3.两个随机变量相互独立两个随机变量相互独立 4.4.多个随机变量相互独立多个随机变量相互独立 5.5.两组随机变量相互独立两组随机变量相互独立 相相互互独独立立.4 . 2VR 1.二维离散型二维离散型R.V的边缘分布律的边缘分布律 , ijij P Xx Yyp 如果二维离散型随机变量如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合的联合 分布律为分布律为 ij j ii pP Xxp jij i j pP Yyp 关于关于X的边缘分布的边缘分布: :

2、关于关于Y的边缘分布的边缘分布: : X Y 1 x 2 y 2 x i x j y 1 y 11 p 12 p 11 p 11 p 11 p 11 p 11 p 11 p 11 p p i. p 1. p .j p 2. p i. p .1 p .2 p .j 21222j i2 ij i1 p1 p2 p k P x1 x2 xk X 1j 例例 设设(X,Y)的分布律如下，的分布律如下， 求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布律。的边缘分布律。 0 12 1 12 3 2 12 1 12 1 12 2 1 12 3 0 12 1 0 211YX 解解 0 12 1 12 3 2 12

3、1 12 1 12 2 1 12 3 0 12 1 0 211YX i P 12 4 12 4 12 4 j P 12 6 12 2 12 4 3 1 3 1 3 1 210 i p X 故边缘分布律分别故边缘分布律分别是是 3 1 6 1 2 1 211 j p Y 2. 二维连续型二维连续型R.V的边缘分布密度的边缘分布密度 随机事件随机事件Xx与与 等价，等价，,YxX 随机事件随机事件Yy与与.,等价等价yYX )(xXPxFX x dydxyxp),( (X,Y)关于关于X的边缘分布函数：的边缘分布函数： (X,Y)关于关于X的边缘分布密度：的边缘分布密度： dyyxpxPX),()

4、( )(yYPyF Y dydxyxp y ),( (X,Y)关于关于y的边缘分布函数：的边缘分布函数： (X,Y)关于关于y的边缘分布密度：的边缘分布密度： dxyxpyP Y ),()( 例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布密度为的分布密度为 其它其它, ,),( ),( 0 10201 8 3 2 yxyx yxp 求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布密度。的边缘分布密度。 解解 其它其它, 0 20, 2 )( x x xPX 其它其它, 0 10),1( 4 3 )( 2 yy yP Y 2 1 练习练习已知二维随机变量已知二维随机变量（X，Y）服从区域服从区域D上

5、的上的 均匀分布均匀分布，D为为x轴轴，y 轴及直线轴及直线 y=2 2x+1+1所围成。所围成。 解解: : （X,Y）的的联合分布密度联合分布密度为为 1 4 0 2 021 ( , ) 0 x yx f x y 且 且 其其他他 x y o 1 2/ 1 12 xy 求联合分布密度及关于求联合分布密度及关于X及及Y的边缘分布密度。的边缘分布密度。 1 0: 2 x当当时时 21 0 ( )4 x X fxdy 4(21)x 所以，所以， 1 4(21), (0) ( )2 0, X xx fx 其其它它 ( )( , ) X fxf x y dy 关于关于的边缘分布密度为的边缘分布密度为

6、 x y o 1 2/ 1 12 xy x 2 y=0 y=2x+1 01:y2 当2 当时时 0 1 2 ( )4 y Y fydx 2(1)y 所以，所以， 2(1), (01) ( ) 0, Y yy fy 其其它它 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , ) Y fyf x y dx x y o 1 2/ 1 12 xy y 2 x=(y-1)/2 x=0 课本课本P71P71例例4.64.6 如果如果（X，Y） 22 1212 ,N 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 2 11 ,XN 2 22 ,YN 与相关系数与相关系数 无关无关. 可

7、见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布. . 3.两个随机变量的相互独立两个随机变量的相互独立 ( ,)( )( ) XY f x yfxfy 定义定义: :若对任意若对任意都有都有 则称则称相互独立。相互独立。 离散型离散型: : 连续型连续型: : 注注: : 独立时独立时, ,边缘分布可以确定联合分布边缘分布可以确定联合分布. . 并并记记录录球球的的数数字字 X，不不放放回回再再任任取取一一球球并并记记录录球球的的数数字字 Y，讨论讨论 X,Y 的的独立性独立性。 X Y 1 2 1 2 0 3 1 3 1

8、3 1 不独立不独立 若若将将例例中中取取球球方方式式改改为为取取 后后放放回回， X Y 1 2 1 2 9 1 9 2 9 2 9 4 独立独立 相相互互独独立立性性。）边边缘缘分分布布密密度度。求求 所所围围设设例例 YX yxyxDDUYX ,2)1 1, 0, 0:),(),(2 ， 其其它它 ， 0 ),(2 )( Dyx yxp 解解 dyyxpxp X ),()( 10 x x dy 1 0 2 其其它它 )1(2x 0 dxyxpypY),()( 10y y dx 1 0 2 其其它它 )1(2y 0 不不独独立立 )()(),(ypxpyxp YX 吨吨的的概概率率。相相差

9、差不不超超过过试试求求两两种种产产品品的的需需求求量量 需需求求量量是是独独立立的的，吨吨之之间间，且且两两种种产产品品的的 求求量量均均匀匀分分布布在在吨吨之之间间，乙乙种种产产品品的的需需 品品需需求求量量均均匀匀分分布布在在在在国国际际市市场场上上，甲甲种种产产例例 1000 60003000 40002000 3 YX,求求量量分分别别为为设设甲甲、乙乙两两种种产产品品的的需需解解 )6000,3000(),4000,2000(UYUX则则 ， 其它其它 0 )4000,2000(10 2 1 )( 3 x xpX ， 其它其它 0 )6000,3000(10 3 1 )( 3 x ypY ， 其它其它 0 )6000,3000(),4000,2000(10 6 1 6 yx )()(),(,ypxpyxpYX YX 独独立立， 1000 3000 6000 100020004000 y=x+1000 y=x-1000 积分区域积分区域 D dyxpYXP ),(1000 1 6 10 6 1 D d 3 1 4.多个随机变量相互独立多个随机变量相互独立 nXXXn xFxFxFxxxF n 2121 21 , nn nn xXPxXPxXP xXxXxXP 2211 2211 , nXXXn xpxpxpxxxp n 2121 21 , 离散型离散