线性代数：2.3可逆矩阵

1、(reversible matrix) 英军英军 美军美军德军德军 进攻进攻进攻进攻 2118 10 21 5718 5718 2118 0 bax bax 0 BAX )0( a a b x BAX )0( 1 ABAX 对比对比: : .:1 1 ABBA 也也可可逆逆，且且可可逆逆，则则若若注注 一、一、 可逆矩阵的概念与性质可逆矩阵的概念与性质 .:2可可逆逆，则则逆逆阵阵唯唯一一若若注注A ,BnA方方阵阵若若阶阶方方阵阵为为设设 .),(, 11 BAAAAA 逆逆记记可可逆逆或或是是可可逆逆阵阵则则称称 IBAABts . (reversible matrix) 阶方阵，阶方阵，

2、为为设设naA ij )( 组组成成的的方方阵阵由由 ij A nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 * T nnnn n n AAA AAA AAA 21 22221 11211 的的伴伴随随矩矩阵阵称称为为 A(adjoint matrix). nnnn n n aaa aaa aaa AA 21 22221 11211 * nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 A A A 00 00 00 . IA IAAAAA * ., * IAAA 同同理理 的的重重要要性性质质： * A 证证明明： 定理定理. 0 AAn可可

3、逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是阶阶方方阵阵 证证可可逆逆，设设A , 11 IAAA 使使则则存存在在 , 1 1 AA;0 A故故 , 0 A设设，得得由由IAAAAA * ,) 1 () 1 ( * IAA A A A A 由定义知，由定义知，.可逆可逆A 必要性：必要性： 充分性：充分性： * A时时，当当0 A 答答案案： 1 n A * A . 1 1 A A 则则可可逆逆，若若注注A:1 可可逆逆，若若注注A:2. 1 *1 A A A 则则 0 A 存存在在；注注： 1 A可可逆逆；A ；0 A是是非非奇奇异异矩矩阵阵A.为为同同一一说说法法 ; 1 )( 11 A k k

4、A ;)()( 11TT AA .)( 111 ABAB 1 1 1 2 11 21 )( AAAAAA kk ;)( 11 AA . 1 *1 A A A .IAB 二、求逆矩阵的方法二、求逆矩阵的方法 节节学学习习5 .2 可逆，可逆，得得 * A. 1 )( 1* A A A IAAA * 0 AA可可逆逆，又又 I A AAA 1 * ，得，得两边同除两边同除 .IAB 可逆，并求它们的逆矩阵可逆，并求它们的逆矩阵. . 设方阵设方阵A满足方程满足方程 证明：证明： , 02 2 IAA IAA2, , )( 2 1 1 IAA 4 3 )2( 1 AI IA . 1 A dc ba

5、A的的可可逆逆性性，并并求求讨讨论论矩矩阵阵 ,bcadA ,0时时当当 bcad可可逆逆；A ,0时时当当 bcad不不可可逆逆。A ac bd AA AA A 2212 2111* *1 1 A A A ac bd bcad 1 小结小结：对于二阶方阵,求逆阵满足 “两调一除”：将主对角线元素对 调，副对角元素符号调换，将各元 素用此方阵的行列式去除 dc ba A 1 A ac bd bcad 1 310 121 011 A设设 1 A求求 310 121 011 A, 2 310 110 011 * A 111 133 135 . 111 133 135 2 11 *1 A A A 3

6、32313 322212 312111 AAA AAA AAA 02 2 IA由由, 2 IIA ,)(IIAIA 即即 都都可可逆逆。和和所所以以IAIA ，满满足足若若方方阵阵0103 2 IAAA .,4并并求求其其逆逆都都可可逆逆和和证证明明IAA 课课堂堂练练习习 课堂课堂练习练习 IAIAA ，证证明明满满足足若若方方阵阵02 2 .都都可可逆逆和和IA 6 )4( 1 IA IA , )3( 10 1 1 IAA BAX )1( BXA )2( CAXB )3( 已知，CBA ：可可逆逆时时，它它们们有有唯唯一一解解，当当BA BAX 1 1 BAX 11 CBAX 三、简单的矩

7、阵方三、简单的矩阵方 程程 解解： 35 12 25 13 1 1 A 2 B 1 A 57 68 2 1 87 65 1 1 B 57 68 109 1614 35 12 2 1 11CB AX ,CAXB 已知已知X求求 109 1614 87 65 25 13 CBA，其中其中 例例1 1 ,2 51 BCBAA求求若若例例 310 121 011 A, 000 010 001 C其中其中 , 1 ACAB )()( 1115 ACAACAACAB则则 15 AAC , 1 CBAA 解解： 2 1 2 3 2 3 2 3 2 9 2 11 134 )( 5 CC 注意：注意： 0 A 一一. . 可逆阵的判定方法可逆阵的判定方法: : I找到找到B, 使得使得AB .A A A * 1 1 .IAB 二二. . 可逆阵的求法可逆阵的