—换元法,拆项法等

1、第八讲因式分解拓展 （待定系数法，换元法，拆项与添项法，实数范围内分解因式） 一、 在实数范围内分解因式 例 1 、在实数范围内分解因式： 1、 x2 x 2 2 2 、 a4 25 3 、x 4x 练习：在实数范围内分解因式 1) x2 2x 4 2)x2 2 3x 3 3) 4a2 4a 7 4) x2(x 3) 3(x 3) 换元法 引辅助未知元来代替重复出现的数或式子的解题方法称为换元法。 换元的实质是转化， 它是用一种变数形式去取代另一种变数形式， 使问题得 到简化的一种解题方法。 换元法的基本思想是通过变量代换， 使原问题化繁为简、 化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的

2、。 换元法的关键在于适当地选择“新元” ，引进适当的代换，把未知问题转化 为已知问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 换元法的一般步骤： 设元 转化 求解 等量代换 回代 等价原则 检验 2 2 2 2 例 1、分解因式： ( x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2 例 2、 (x2 5x 2)( x2 5x 3) 12 巩固练习 1： (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15 巩固练习 2: ( x2 x 1)(x2 x 2) 12 例 3、计算： 2000 20012001 2001 20002000 练习： 1)分解因式： (2a 5)(a2 9)(2 a 7) 91

3、 2)证明：四个连续正整数的乘积加 1 是整数的平方。 3) 2001 2004002 2003001 2002 4）若 x，y 是整数，求证： x y x 2y x 3y x 4y y4是一个完全平方数 一、待定系数法 待定系数法解题的关键是依据已知， 正确列出等式或方程。 使用待定系数法， 就是把具有某种确定形式的数学问题， 通过引入一些待定的系数， 转化为方程组 来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解， 主要是看所求解的数学问题是 否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等 . 即，如果anxnan 1xn 1an

4、2xn 2a1x1a0bnxnbn 1xn 1bn 2xn 2b1x1b0 那么 an bn ， an 1 bn 1 ， a1 b1 ， a0 b0 . 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 例 1 分解因式 2x2 xy 3y2 x 14y 15 思路 1 因为 所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等，求出 m, n, 的值。 解: 因为所以可设 比较系数，得 由、解得 把 代入式也成立。 练习：分解因式 22 1、3x2 5xy

5、2y2 x 9 y 4 2、 x4 x3 4x2 3x 5 例 2 、若多项式能被 整除，则 n= 练习： 1、多项式能分解为两个一次因式的积，则 k= 2、x2 axy by2 5x y 6的一个因式是 x y 2 ，则 a b的值是 3、多项式 2x 4 3x3 ax2 7x b 能被 x2 x 2 整除，则 a b 4、 已知 a,b,c均为实数，且多项式 x3 ax2 bx c 能够被 x2 3x 4 整除。 1）求 4a c的值；（2）求 2a 2b c 的值； 三、拆添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算 在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同 类项合并为一项， 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零 在对某些多项式 分解因式时， 需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成 两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项， 前者称为拆项， 后者称 为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解 例 1、分解因式： x3-9x+8 例 2 、分解因式 x3+3x2 4（拆添项法） 例 3、分解因式 x2-y 2+4x+2y+3（拆项后再分组） 例 4、分解因式 x4 4 （添项后再分组） 练习：分解因式 1、 x4 4y4（添项法 ）2 22 、4x2 4x y2 4y 3（拆项法） 3、 x4 x2 2a