割圆术教学设计

1、苍南中学 王加义 教学设计割圆术教学设计苍南中学 王加义一、教学内容解析本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修 3 第一章算法初步 的阅读与思考材料，“割圆术”是由我国魏晋时期数学家刘徽创立的， 263 年左 右，刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形的面积可无限逼近圆 面积；另一方面，这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到 正多边形的面积上， 则大于圆的面积， 这样就得到了圆面积的上限和下限。 当半 径为 1 时，圆面积就等于圆周率 ，可以求得圆周率 的近似值。本文的主要内容包括三点：（1）从算法的角度，解释“割圆术”的理论；（2）刘徽的割圆术由现在的计算

2、机可以求得更加精确的近似值；（3）通过对割圆术的学习，增强国人的自豪感。对圆周率的计算，我国有 两位非常杰出的数学家， 一是刘徽， 二是南北朝时期数学家祖冲之， 继承并发展 了刘徽的割圆术，求得 的范围为 3.1415926 3.1415927。二、教学目标设置知识与技能：了解割圆术的算法； 通过对“割圆术” 的学习，更好的理解“算 法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。过程与方法： 改变解决问题的思路， 将抽象的数学思维转变为具体的步骤化 的思维方式，提高逻辑推理能力。情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高 学生兴趣，激发其求知欲， 培养探索精神；

3、 体会中国古代数学对世界数学发展的 贡献，增强爱国主义情怀。三、学生学情分析高一的学生对圆周率 已经有了初步的了解， 知道圆周率主要用于解决有关 圆和球的问题； 学生已经具备了一定的计算能力， 能计算圆内接正六边形、 正十 二边形等的面积；具有一定的归纳推理，能在求圆内接正六边形的面积S6 ，圆内接正十二边形的面积 S12 ，圆内接正二十四边形的面积 S24 ，的过程中归纳苍南中学 王加义 教学设计出圆内接正 2n 边形的面积与圆内接正 n边形的面积之间的递推关系。但是学生 在思想方面的感悟及总结的能力还有待加强， 对“割圆术”中所蕴含着数学思想， 还需要学生去体会，并能与已有的数学知识进行融

4、会贯通。四、教学策略分析在整个教学过程中， 我做了一些调整， 首先开门见山， 就说本节课我们将共 同揭开圆周率 的神秘面纱；从圆周率的定义出发， 介绍圆周率的符号及其背景； 通过学生动手试验， 去测量圆周率 的近似值，发现误差，再去寻找科学的方法， 即引出刘徽的“割圆术” 。本节课始终以学生为主题，抓住学生思考方式，沿着 历史的足迹，探寻计算圆周率 的科学方法。五、教学过程（歌曲引入） 师 课间我们同学欣赏了由 为谱作成的曲子，堪称神曲！领略了 的神奇。 在数学史上有三个非常神秘的无理数，同学们知道是什么吗？ 生 一个是 ，一个是 e，一个是 （黄金分割比）。 师 今天这节课，我们将共同来揭开

5、 的神秘面纱 师 在此之前，老师想知道，关于圆周率，我们同学的了解有多少？生 13.141592653生 2圆周长=2 R，圆面积 = R2（追踪历史） 师 同学们可知道，人类是如何发现 这个无理数的吗？ 师 早在远古时期，人类就已经发现：一个圆的圆周长与直径的比始终为定值， 并将其定义为圆周率，后由欧拉于 1748年将其 命名为 ， 是希腊文圆周的 第一个字母。既然圆周率是一个客观存在的常数，那人们最早是如何找到这个常数的呢？ 生 测量的方法。（实践验证） 师 请同学们动手试一试，利用已有的工具材料，测量圆周率的值。（学生动手试验） 师 由上述试验结果的数据，同学们发现了什么？苍南中学 王加

6、义 教学设计生 1一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，与圆半径大小无关。生 2测量的结果存在误差。 师 那你的结果与 值比较是大还是小？ 生 不知道 师 可见，利用测量的方法不能准确找到这个常数， 同学们想想， 还有没有其他 更科学的方法？ 生 利用圆内接多边形的面积来逼近圆面积， 当圆内接正多边形的边数无限增加 时，正多边形的面积可无限逼近圆面积。（引出课题） 师 非常好，你的这个想法与我国魏晋时期的刘徽所想的完全一样， 我们把刘徽 的这个方法称作“割圆术” 。 师 给你一个圆，你会选择从圆内接几边形开始算？生 1圆内接正方形生 2圆内接正六边形。（理论探求） 师 据记载，刘徽当时是从圆内接

7、正六边形开始算的， 下面请同学求一下圆内接 正六边形的面积，令 R=1。1 3 3 3 生 S6 6 1 1 3 3 3 2.598 师 如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形的面积？ 生 圆内接正十二边形 师 怎么算？ 师 如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形面积？ 生 圆内接正二十四边形 师 怎么算？(x26)2 (1 h6)生 S24 S12 12 1 x12 (1 h12), h12 1 (x12)2，x1222苍南中学 王加义 教学设计 师 继续往下算，我们可以求？ 生 S48S242412x24(1h24 ), h241(x24 )，x24 ( x212 )2 (1 h12)

8、2 。 师 要求圆内接正四十八边形面积，只需求生 S24和 x24 师 要求圆内接正二十四边形面积，只需求 生 S12 和 x12 师 要求圆内接正十二边形面积，只需求 生 S6和 x6 师 依次类推，我们可以求得圆内接正 2n 边形面积，即生 S2nSnn12xn(1hn ), hn1(x2n )2 ，x2n(x2n)2(1hn)2。 师 这样我们就找到了 S2n与 Sn的递推关系式。刘徽一直算到， n=192时， 的 近似值为 3.14 ， n=3072时， 的近似值为 3.1416 ，为了纪念刘徽的伟大贡献， 我们将 =3.14 称作徽率。我国南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的割

9、圆术，算得 3.1415926 3.1415927。这不仅在当时是最准的，而且领先世界 达 1000 多年，是一项非常了不起的成就。 师 现在随着计算机的发展， 我们可以借助计算机来求圆周率的近似值。 不难发 现：随着 n 值的增大，圆内接正 2n 边形的面积也随之增大，当半径为 1 时，我 们可以用圆内接正 2n 边形的面积来近似代替 的值。但所求的值与 比较始终 来得 生 小 师 为什么？ 生 因为是用圆内接多边形来逼近的。 师 我们把这些值称作 的下限，那 的上限怎么求？ 生 利用圆的外切正多边形来无限逼近圆。苍南中学 王加义 教学设计 师 有没有更好的方法？ 生 利用余径乘以边长，可得

10、 S2nS2n （S2n Sn） 师 这个方法与上个方法相比较，好在哪里？ 生 一、计算的结果比它更精确，少求两个三角形的面积；二、涉及的计算量与 它比较少了一半，有一种事半功倍的效果。 师 我们用 excel 来感受一下。（思想归纳） 师 前面我们沿着刘徽的足迹，计算了圆周率的近似值，在计算过程中，同学们体会到了数学上哪些有用的思想方法。 生 无限趋近（极限），以直代曲，两边夹思想和数形结合的思想。 师 其实计算圆周率 的方法还有很多， 刘徽是从面积的角度出发， 也可以从圆 周长的角度出发， 最有代表性的是古希腊的阿基米德， 阿基米德利用内接多边形 和外切多边形逼近圆周，从而获得圆周率的近似值。阿基米德一直割到正 96 边 形，得