2019版高考数学二轮复习 专题九 选做大题 2.9.2 不等式选讲课件 文

1、9.29.2不等式选讲不等式选讲( (选修选修45)45) -2- -3- -4- -5- -6- 1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成 立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b- c)0时,等号成立. -7- 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (

2、3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. -8- -9- 4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法. 求差比较法:由于aba-b0,aba-bb,只 要证明a-b0即可. 求商比较法:由ab0 1且a0,b0,因此当a0,b0时要证 明ab,只要证明 1即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使

3、它成立的充分条件,直 到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等). -10- (3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过 推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这 种证明不等式的方法称为综合法. 5.柯西不等式 -11- 考向一考向二考向三 解不等式、求参数范围解不等式、求参数范围(全方位探究全方位探究) 例1(2018广东梅州二模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x

4、|x1. -12- 考向一考向二考向三 -13- 考向一考向二考向三 解题心得解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零 点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴 上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而 将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参 数,通过求对应函数最值的方法获得. -14- 考向一考向二考向三 对点训练对点训练 1已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0). (1)当m=1时,解不等式f(x)3; (2)当xm,2m2时,不等式 f(x)|x+1|恒成立,求实

5、数m的取值范 围. -15- 考向一考向二考向三 -16- 考向一考向二考向三 例2已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围. -17- 考向一考向二考向三 解: (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当xa恒成立f(x)mina;f(x)a 恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解 f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina. -19- 考向一考向二考向

6、三 对点训练对点训练 2(2018河南濮阳三模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|x- 2|,g(x)=x2-x-a. (1)当a=5时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含2,3,求a的取值范围. -20- 考向一考向二考向三 解: (1)当a=5时,不等式f(x)g(x)等价于|x+1|-|x-2|x2-x-5, 当x0,且关于x的不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围. -26- 考向一考向二考向三 解题心得解题心得在不等式f(x)g(x)成立下,求不等式中所含参数的取值 范围,可对参数进行讨论,看参

7、数在哪些范围内不等式能成立,然后 把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可. -27- 考向一考向二考向三 对点训练对点训练 4已知f(x)=|x-a|+3x,其中aR. (1)当a=1时,求不等式f(x)3x+|2x+1|的解集; (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值. -28- 考向一考向二考向三 解: (1)a=1时,f(x)=|x-1|+3x,由f(x)|2x+1|+3x,得|x-1|-|2x+1|0, 故|x-1|2x+1|,解得-2x0, 不等式的解集为x|-2x0. -29- 考向一考向二考向三 不等式的证明不等式的证明 例5(2018山东潍坊三模,文23)已知函

8、数f(x)=|x+4|,不等式f(x)8- |2x-2|的解集为M. (1)求M; (2)设a,bM,证明:f(ab)f(2a)-f(-2b). -30- 考向一考向二考向三 (1)解: 将f(x)=|x+4|代入f(x)8-|2x-2|,得|x+4|+|2x-2|8. 当x-4时,不等式转化为-x-4-2x+28, 解得x- ,所以此时x-4. 当-4x8, 解得x-2,所以此时-4x8, 解得x2,所以此时x2. 综上,M=x|x2. -31- 考向一考向二考向三 (2)证明 因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|2a+4+2b-4|=|2a+2b|, 所以要证f(ab

9、)f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4|2a+2b|. 即证(ab+4)2(2a+2b)2, 即证a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2, 即证a2b2-4a2-4b2+160, 即证(a2-4)(b2-4)0, 因为a,bM,所以a24,b24, 所以(a2-4)(b2-4)0成立, 所以原不等式成立. -32- 考向一考向二考向三 解题心得解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法. 其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝 对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面 要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、 变形. -33- 考向一考向二考向三 -34- 考向一考向二考向三 -35- 考向一考向二考向三 求代数式的最值求代数式的最值 例6(2018河北唐山一模,文23)设函数f(x)=|x+1|-|x|的最大值为m. (1)求m的值; -36- 考向一考向二考向三 -37- 考向一考向二考向三 解题心得解题心得若题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数 和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大 值或两个正数和的最小值. -38- 考向一考向二考向三 对点训练对点训练 6(2018湖南衡阳二模,理23)已知a0,b0,