Selected圆锥曲线题型归类总结辅导专用

1、Useful Documents 高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例 1、动圆 M 与圆 C1:(G+1) 2+y 2=36 内切,与圆 C2:(G-1)2+y 2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 例 2 、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)： 1、椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 22 例 1 、已知方程 x y1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是

2、 m Useful Documents 2x2m y2 例 2、A 为何值时 ,方程 xy1的曲线： (1)是椭圆;(2)是双曲线 . 9 k 5 k 题型三：圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题 22 1、椭圆焦点三角形面积 S b2 tan ；双曲线焦点三角形面积 S b2 cot 22 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、 m n,m n,mn,m2 n2 四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 x2 y2 例1、 椭 圆 x2 y2 1(a b 0) 上 一点 P 与 两 个焦 点 F1，F2 的张 角 ab F1 PF2， 2 求证：F1P

3、F2 的面积为 b2 tan 。 2 例 2 、已知双曲线的离心率为 2 ，F1、F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且 ， 求该双曲线的标准方程 Useful Documents 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1 、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2 、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围； 3 、注重数形结合思想不等式解法 ; 典型例题 22 例 1、已知 F1、F2 是双曲线 x2 y2 1( a 0,b 0 )的两焦点，以线段 F1F2为 ab 边作正三角形 MF1F2 ，若边 MF1的中点在双

4、曲线上，则双曲线的离心率是 22 例2、 双曲线 x2 y2 1(a0,b 0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且 ab |PF1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 x2 y2 例 3、椭圆 G ： 2 2 1(a b 0) 的两焦点为 F1( c,0), F2(c,0) ，椭圆上存在 ab 点 M 使 F1M F2M 0 .求椭圆离心率 e 的取值范围； 22 例 4、已知双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 的直 ab 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 题型五：点、直线与圆锥的位置关系

5、判断 1、点与椭圆的位置关系 2222 点在椭圆内 x2y21；点在椭圆上x2y21 ； ax2 by2a b 点在椭圆外x2 y2 1; ab 2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： 0 相交 =0 相切 (需要注意二次项系数为 0 的情况) 0 ； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ K1 K2 0或 K1 K2）； “共线问题”（如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转 化法）； （如：A、O、B三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题” 坐标与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式的合 理选

6、择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略： 判别式是否已经考虑； 抛物线问题中二次项系数是否 会出现 0. Useful Documents Useful Documents 直线与圆锥曲线的基本解题思想总结： 1 、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2 、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3 、证明定值问题的方法： 常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结 果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4 、处理定点问题的方法： 常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系 数为零，求出定点；也可先取参数的特殊

7、值探求定点，然后给出证明 5 、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函 数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决； 6 、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具 有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7 、思路问题： 大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来， 即可自然而然产生思路。 典例1 、已知点 F 0,1 ，直线 l：y 1， P为平面上的动点，过点 P作直线 l的 垂线，垂足为 Q ，且QP QF FP FQ 1）求动点 P的轨迹 C的方程；（2）已

8、知圆 M 过定点 D 0,2 ，圆心 M 在轨迹 C上运动，且圆 M 与 x轴交于 A、 B两 点，设 DA l1， DB l2 ，求 l1 l2 的最大值 1 2l2 l1 例2、如图半圆， AB为半圆直径， O 为半圆圆心，且 OD AB，Q为线段 OD 的中点，已知 |AB|=4 ，曲线 C过 Q 点，动点 P在曲线 C上运动且保持 |PA|+| PB|的值不变.（1） 建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程； （2）过D点的直线 l与曲线C相 交于不同的两点 M、N，且M 在D、N之间，设 DM = ，求的取值范围. DN 例3、设F1 、 F2分别是椭圆 C： x2 y2 1 （

9、a b 0）的左右焦点 ab 22 Useful Documents Useful Documents （1）设椭圆 C 上点 （ 3, 3） 到点 F1 、F2 距离和等于 4 ，写出椭圆 C的方程和焦 2 点坐标； （2）设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 KF1的中点 B 的轨迹方程； （3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线 L与椭圆相交于 M ，N两点， 当直线 PM ， PN 的斜率都存在，并记为 kPM ， kPN ，试探究 kPM KPN的 值是否与点 P 及直线 L 有关，并证明你的结论。 例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆 C上的点到焦点

10、距离 的最大值为 3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l : y kx m 与椭圆C相交于A， B两点（ A， B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 2 例 5、已知椭圆两焦点 F1、F2在 y轴上，短轴长为 2 2 ，离心率为 2 ，P是椭 圆在第一象限弧上一点，且 PF1 PF2 1，过P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、PB分别交椭圆于 A、B两点。（1）求 P点坐标； 为定值； 典型例题： 例1、 2 ）求证直线 AB 的斜率 a 2 4 由、解得， x a 2 不妨设 A a 2,0 ， B a 2,0

11、 ，l l1 l2 l12 l22 2a2 16 2 l2 l1l1l2 得， l1 l2 2 1 l2 l1 当且仅当 a 1 a 2 4 ， 22 a2 8 21 16a ，当 a 0 时，由 a4 64 2 1 16 2 2 28 a4 64 4 64 16 a2 6422 8 l l 2 2 时，等a2号成立当 a 0时，由得， l1 l2 2 l2 l1 故当 a 2 2 时， l1 l2 的最大值为 2 2 l2 l1 例 2、解：（1）以 AB、OD 所在直线分别为 G轴、y 轴，O 为原点，建立平面直 Useful Documents 角坐标系，|PA|+| PB|=| QA

12、|+| QB|=2 22 12 2 5 |AB|=4. 曲线C为以原点为中心， A、B 为焦点的椭圆 . 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,a= 5 ,c=2, b =1. x2 曲线C的方程为 x +y2=1. 5 (2)设直线 l 的方程为 y=AG+2, x2 代入 +y2=1,得(1+5A2)G2+20 AG+15=0. 5 = (20A)2415(1+5 A22)0k0,得 由韦达定理得 将(1G1=)2xG222代(1入40得50kk2)2 x2215 x1 x22 1 5k 2 15 x1 x22 2 1 5k2 3 A23 .由图可知 5 22

13、两式2相除1 得5k(21 ) 400k 2 15(1 5k 2) k 2 3, 0 12 5, 5 2120 ,即4k 5 k2 3 k2 5 3 (1 )2 16DM1 4 , 0, 解得 3DN3 x1 DM ,M 在 D、N 中间，1 x2 DN 又当 A 不存在时，显然 80 1 23(05 k12 ) 3( 2 5) 3k 80 1 DM DN x1 x2 16 16 3 = DDMN 31(此时直线 l与y轴重合) 综合得： 1/3 1. ( 3)2 例 3、解：(1)由于点 ( 3, 3 )在椭圆上， ( 32)22 1 得 2 a=4, x2 y22a2b2 椭圆 C 的方程

14、为 x y 1 ，焦点坐标分别为 ( 1,0),(1,0) 4 分 43 (2)设 KF1的中点为 B(G,y)则点 K(2x 1,2 y) 5 分 把 A 的坐标代入椭圆 x y 1 中得 (2x 1) (2y) 1 7 分 4 3423 线段KF1的中点 B的轨迹方程为 (x 1)2 y 1 8 分 23 3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M ，N4 关于坐标原点对称 设M (x0,y0) N( x0, y0), p(x,y), 2 2 2 2 M ,N,P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 x02 y02 1 ，x2 y2 1 a b a b Useful Documents Usef

15、ul Documents 22 y2 y02 22 xx0 b2 2 a k K = y y0 y y0 kPM KPN = x x0 x x0 故：kPM KPN 的值与点 P的位置无关，同时与直线 22 例 4、解：（）椭圆的标准方程为 x y 1 43 L 无关 . ()设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)， y kx m， 联立 6x42m2ky22 16(3得 (43k2)4(km22)x23) 8m0，kx即43(m42k23)m20，0， 4 38mk1. ， x1 x23 4k2 ， 4(k(mx1 m3)(kx2 m) k2x1x2 mk(x1 x2) m2 22 3 4

16、k2 因为以 AB为直径的圆过椭圆的右焦点 D （2，0） ， 3(m2 4k2 ) ， 3 4k2 ， kADkBD1 ， 即y1y21 ，y1y2x1x22(x1x2)4 0 ， 2 2 2 1 3(m2 4k2) 4(m2 3) 3 4k23 4k2 解得： x1 2 x2 2 16mk 2 2 2 2 4 0 ， 9m2 16mk 4k2 0 3 4k2 3 4k2 2k 2 2 m2 2k ，且均满足 3 4k2 m2 0 ， l 的方程为 y k(x 2) ，直线过定点 (2，0) ，与已知矛盾； ， l的方程为 y k x 2 7 2 直线 l 过定点，定点坐标为 2 ，0 7

17、F1(0, 2), F2(0, 2)，设 P(x0,y0)(x0 0,y0 0) 22 22 PF1 PF2 x02 (2 y02 ) 1 x y 4 y2 点 P(x0,y0) 在曲线上，则 x0 y0 1. x0 4 y0 4 y2 2 4 2 从而 4 y0 (2 y02) 1，得 y02 ，则点 P的坐标为 (1, 2) 2 m12k ， 1、当 2、当 所以， m1 2k 时， m2 2k 时， 22 解( 1) y x 1 42 例 5 、 则 PF1 ( x0, 2 y0 ), PF2 ( x0, 2 y0), 22 ，直线过定点 2 ，0 7 2）由（1）知PF1 / x轴，直

18、线 PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k 0）， y 2 k（x 1） 则PB的直线方程为： y 2 k（x 1）由 x2 y2 1 24 (2 k2)x2 2k( 2 k)x ( 2 k)2 4 0 2k(k 2) 1 k2 2 22k 2 同理可得 x 设 B(xB, yB), 则 xB2 则x x 4 2k2y k y 则 xA xB 2 k2 yA yB 所以： AB的斜率 kAB yA yB xA xB k2 2 2k 2 2 k2 2 k2 8k k(xA 1) k(xB 1) 2 k2 2 为定值 Useful Documents Useful Documents 例 6、解：(1)由2 3 1|OF| |FP| sin ,得|OF| |FP| 4 3 ,由cosOF FP tsin ， 2 sin |OF | | FP| 4 3 得 tan 4 3 . 4 t 4 3 1 tan 3 0, 夹 角 的 取 值 范 围是 ( , ).(2)设P(x0,y0),则FP(x0 c, y0 ),OF (c,0). 4 3OFFP(x0c,y0 )(c,0)(x0c)c t ( 31)c2x03c S OFP 2|OF | |y0 | 2 3 y0c |OP| x02 2y02( 3c)2 (4c3)2