《微积分基本定理与应用》试题

1、微积分基本定理与应用定积分微积分基本定理与应用【知识网络】1. 直观了解微积分基本定理的含义。2. 会求简单的定积分。3. 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。 【典型例题】例1 (1 )由抛物线y2二x和直线x=1所围成的图形的面积等于42A . 1B.c.-33(2)如图，阴影部分的面积是A . 2.3B.9-2,3C.32D.35331 2(3)x24|dx：=21222325A .B .C.D3333(4)- cos2 xdx =2 2例 1 ( 2)(5)按万有引力定律，两质点间的吸引力离，若两质点起始距离为a) a，质点 m 1F, k为常数,r沿直线移动至离m1, m2为两质

2、点的质量，r为两点间距m2的距离为 b处，试求所作之功(b例2如图，求由两条曲线-X2 , 4y = -X2及直线y= -1所围成图形的面积.x2与抛物线C2: y=x2-2ax(a0)交于0、A两点.若迸原点的直泓少S与抛物线例3如图，抛物线C1： y=9 3C2所围成的图形面积为 一a，求直线I的方程.2例4已知A (-1, 2)为抛物线 C: y=2x2上的点直线 “过点A,且与抛 物线C相切.直线12： x=a(a丰-1)交抛物线C于点B，交直线h于点D .(1)求直线l1的方程；-1 C D ,(2)设也ABD的面积为 和求BD及S的值;(3)设由抛物线C、直线11、12所围成的图形

3、的面积为 S2,求证：S1 : S2 的值为与a无关的常数.【课内练习】(51. o(2x4)dx =例2图例3图A . 5r212.In xdx =1 xC。33.4.5.6.7.1ln222aB。In ,2C。ln22D。In21(2x + )dx=3+ln2，且 a 1,贝V a 的值为 1 x6A .已知自由落体运动的速率gto4Cov=gt，则落体运动从gtfC.3t=0到 gtfD。2t=t0所走的路程为D .或6曲线y = x2与直线x0 F t dt =y = x 2所围成的图形(阴影部分)aa (xcosx -5sin x 亠 2)dx =计算下列定积分的值32(1)(4x-

4、x)dx ；( 2)的面积等于n2p2(x sin x)dx ;(3)2 cos xdx。平地上有一条小沟，沟沿是两条长 段抛物线，抛物线的顶点为 o,(I)求水面宽；(n)如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以 高，沟中的水有多少立方米？9.曰疋100m的平行线段，沟宽 AB为2m,与沟沿垂直的平面与沟的交线 对称轴与地面垂直，沟深1.5m,沟中水深1m.10 .设y二f(x)是二次函数，方程f(x) =0有两个相等的实根，且f (x) =2x 2.(1 )求 f (x)的表达式.(2)若直线x - -t(0 : t : 1)把y = f (x)的图象与坐标轴所围成的图形的

5、面积二等分，求t的值.微积分基本定理与应用1.F列有定义的定积分为1 1A. dx-1x2 1 dx2 cosxC。.04 dx(x-2)220lnxdx2.0(ex edx =2e2C.- e1e -e曲线y =cosx,x 0,3二与坐标轴围成的面积2(1)求使PAB的面积为最大时 P点的坐标(a, b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线 x= a分为面积相等的两部分微积分基本定理与应用丈23 (2cosA .2320|3x -12|dx =x2 -1)dx =C。4p -4 -2A-12-6-8-104 x02A . 21下列命题:22Co2324若f(x)是定义在R上的奇

6、函数，则xo f (t)dt为R上的偶函数;若f(x)是周期为T ( 0)的周期函数，贝 U Lf(x)dx = f (x)dx ;4.5.6.7.&1.2.3.4.5.6.7.5A . 4B. 2C.D . 32a 23若 o(3x 4x _5)dx=a-2 (a 1),贝U a=。4 .x(1 亠 x)dx=2 1求定积分：x2(9x3)2dx。求曲线y = _x3 x2 2x与x轴所围成的图形的面积.2A向B运动。其中正确命题的个数为A . 0Co 2由曲线y =2 -x2与直线y=-x所围成的平面图形的面积为已知弹簧每拉长0. 02米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为

7、求由曲线y =x2 -2x与x轴所围的封闭区域的面积。设某物体一天的温度 T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a丰0)，其中温度的单位是时间的单位是小时，t=0表示12 : 00, t取正值表示12 : 00以后.若测得该物体在8 : 00的温度为,12 : 00的温度为60 C , 13 : 00的温度为58 C，且已知该物体的温度在 8 : 00和16 : 00有相同的变化率.(1)写出该物体的温度 T关于时间t的函数关系式;如图，抛物线y=：4-x与直线y= 3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从温度;(3)如果规定一个函数1X2f (x)在x1,x2(x：

8、 x2)上函数值的平均为f (x)dx ,求该物体在x2 为 8 : 00到16 : 00这段时间内的平均温度.& 一物体按规律x = bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方.试 求物体由x= 0运动到x= a时，阻力所作的功.参考答案微积分基本定理与应用【典型例题】1 3x2%牛2x2例 1 (1) B ( 2) C.所求图形的面积例2由图形的对称性知,f2y = X 得 Cy = 12dx-1dx1dx)=2(；31 x 20 - 112+xi)例3设过原点的直线方程为y=kx,解方程组丿二 kx2 二 x，得 xm, X2=k+2a.-2axk H2a2

9、k -2a2当 k+2a 0 时，S(kxx 2ax)dx(k 2a)xx dxk 2a2ki：2a0(k 2a)36于是(k+2a)3=27a3,解得k=a .所以，直线I的方程为y=ax.当 k+2a-1 时，S2 = L(2x +4x + 2)dx=( x +2x +2x)32 3 2 2 2 3 a 2a 2a 22 (a 1)，当 a的值为与a无关的常数.【课内练习】S2a-4二 2(2x2 4x 2)dxa1. A。2. A。3. D。4. C。5. 9。6. F(x)-F(O)。7. 4a。&2(1)203(2)31(3)29.(I)如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为 y二

10、ax ,(a 0).10.1.7.1.5.则由抛物线过点B(1, 2)，可得a =当y=1时，x二八6 ,3(n)柱体的底面积 s=2(x36 _30 2603 )柱体体积为(1) f (x)二由此知水面宽为于是抛物线方程为八2x22 (m).3y(1|x2)dx響m2).92x 2x1400、6血3),(2)-3 62 -0即水沟中有水9八3；微积分基本定理与应用2716首先求出函数y =-X3 x2 2x的零点： (-1,0)内，图形在x轴下方，在(0,2)内,f2322x)dx 亠 I (-xxB。2. D。3. D。4. 2。5.A= 0(-x3x2JD。 2. 23。 3. Do6.

11、529125(2 )面积均为-。1294.2如图所示，在弹性限度内，拉伸(或压缩)压缩量)F = 9. 8 ,7.=-1 , X2 =0 , X3=2.又易判断出在 图形在x轴上方，所以所求面积为L372x)dx =12Xi弹簧所需的力F与弹簧的伸长量(或x成正比，即F = kx.在上式中k为比例系数.根据题意，当x = 0. 02时,故由F = kx得k =490.这样得到的变力函数为F = 490x.于是所求的功为0.1x2=o 490xdx = 490()0.1=2.45 (J).(1)因此,根据条件可得 T (0) =60, T (-4) =8, T (1) =58, T(-4)=T(4)，则温度函数T(t)= t3- 3t+60 .C图0xd=60, b=0, a=1, c=(2 ) T (t) =3t2 -3 =3(t -1)(t 1),当 t(一2,-1)(1,2)时,T (t)0 ；当 t (一 1,1)时,t= -1是极大值点. 由于 T (-1) =T (2) =62,所以10 : 00到14 : 00这段时间中，该物体在11 : 00和14 : 00的温度最高，最高温度为62 C (3 )根据定义，平均温度为4 -(-4)-3t 60)dt二60 ,即该物体在 8 : 00到16 : 00这