专题1.2勾股定理（精讲精练）-2020-2021学年八年级下学期期中考试高分直通车（原卷版）【人教版】

1、2020-2021学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（人教版） 专题1.2勾股定理（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.勾股定理：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有_, _, _（4）证明勾股定理时，用几个全等的_拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理2.勾股定理逆定理：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_，那么这个三角形就是直角三角形

2、说明：勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的和等于_才能做出判断（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是_然后进一步结合其他已知条件来解决问题3.勾股定理的应用：勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以_的面积和勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成_是两个正整数

3、的直角三角形的斜边【典例剖析】考点1 利用勾股定理计算线段长度【例1】（2020秋锦江区校级期末）在RtABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A6B7C10D13【变式1-1】（2020春巴南区期末）若直角三角形的两条边的长分别为3和2，则该直角三角形第三边的长为（）A1B7C5D1或7【变式1-2】（2020秋金水区校级月考）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD=3，AD1，AB2AC，则BC的长为（）A22或27B27C23D23或27【变式1-3】（2020凤翔县一模）如图，在RtABC中，C90，D为AC上一点若DADB15，ABD的面积为90，则CD的长是（）A6

4、B9C12D189考点2用勾股定理表示数轴上的实数【例2】（2020秋滕州市月考）如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A1B1.4C2D3【变式2-1】（2020春玉溪期末）如图，数轴上的点A表示的数是2，点B表示的数是1，CBAB于点B，且BC2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A13B13+2C13-2D2【变式2-2】（2020春铜陵期末）如图所示，点B，D在数轴上，OB3，ODBC1，OBC90，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（

5、）A10B17+1C17-1D不能确定【变式2-3】（2020春古丈县期末）如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A2.5B3C5D3考点3勾股定理与网格问题【例3】（2020春临海市期末）如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为10的是（）AABBBCCCDDAD【变式3-1】（2020秋蜀山区校级月考）如图，在行距、列距都是1的的44方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（）A13B5C9D11【变

6、式3-2】（2020秋二道区期末）如图所示，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D，则BD的长为（）A3B22C4D325【变式3-3】（2020秋兰州期中）如图为55的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有（）Ab、c、dBc、dCa、dDb、c考点4勾股定理与图形面积问题【例4】（2020秋秦淮区期末）如图，在ABC中，C90，AC4，BC2以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A8B12C18D20【变式4-1】（2020秋碑林区校级期中）已知ABC中C90，c为斜边，a、b为直角边，若a+b17cm，c13cm，则

7、ABC的面积为（）A15cm2B30cm2C45cm2D60cm2【变式4-2】（2020秋长春期末）如图，在RtABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3若S19，S216，则S3的值为（）A7B10C20D25【变式4-3】（2019秋太原期中）如图，在中，以的三边为边分别向外作等边三角形，若，的面积分别是10和4，则的面积是A4B6C8D9考点5用勾股定理逆定理判定直角三角形【例5】（2020秋海州区期末）由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA+BCBa：b：c1：1：2C（b+c）（bc）a2Da1，b=3，c2【变式5-1】（2020秋海陵

8、区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A2，3，4B3，4，5C4，5，6D5，6，7【变式5-2】（2020秋锡山区期中）下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（）Ac2a2+b2BA+BCCA：B：C2：3：5Da6，b12，c10【变式5-3】（2020秋成都期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A8，10，12B3，4，5C5，12，13D7，24，25考点6用勾股定理解决简单的实际问题【例6】（2020春襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边，它

9、的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺A10B12C13D14【变式6-1】（2020秋山西月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A1米B2米C2米D4米【变式6-2】（2020秋青羊区校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（）A13B17C18D25【变式6-3】（2020秋阜宁县期中）如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长

10、为（）A20cmB18cmC16cmD15cm考点7用勾股定理解决路径最短问题【例7】（2020秋苏州期末）如图，有一长方体容器，AB3，BC2，AA4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C爬到点A的最短爬行距离是（）A29B41C7D53【变式7-1】（2020秋郑州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A6B8C9D1527（2020秋偃师市期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16cm，高BC12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬

11、到P点的最短距离为（）A9cmB10cmC11cmD12cm28（2020秋雁江区期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型如图BC是底面直径，AB是高现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A10cmB20cmC102cmD52cm考点8关于勾股定理证明的解答题【例8】（2020春包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦

12、图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为412ab+（ab）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2c2（1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理（2）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AB4，AC5，BC6，设BDx，求x的值（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段【变式8-1】（2020秋姜堰区期中）图是我国古代著名的“赵爽弦图

13、”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的（1）在RtABC中，ACm，BCn，ACB90，若图中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）【变式8-2】（2020秋南海区校级期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为412ab+（ab）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2c2（1）图为美国第二十

14、任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理（2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CHAB测得CH1.2千米，HB0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若ABAC时，CHAB，AC4，BC5，AB6，设AHx，求x的值【变式8-3】（2020秋江阴市期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考

15、，不难发现：大正方形的面积小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2c2【初步运用】（1）如图1，若b2a，则小正方形面积：大正方形面积 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a4，b6此时空白部分的面积为 ；【迁移运用】如果用三张含60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程知识补充：如图4，含60的直角三角形，对边y：斜边x定值k考点9关于勾股定理及逆定理的解答

16、题【例9】（2020秋南安市期末）有一块四边形草地ABCD（如图），测得ABAD10m，CD26m，BC24m，A60（1）求ABC的度数；（2）求四边形草地ABCD的面积【变式9-1】（2020秋兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，ADC90，CD3米，AD4米，AB13米，BC12米（1）求出空地ABCD的面积（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？【变式9-2】（2020秋化州市期末）某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB12，BC9，CD8，AD17，

17、B90求证：ACD是直角三角形【变式9-3】（2019秋太原期中）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭，之间的距离，之间有水池，无法直接测量）智慧小组的同学们在公园里选了凉亭，测得，请你根据上述数据求出，之间的距离考点10关于勾股定理的综合问题【例10】（2020秋东台市期末）一艘轮船从A港向南偏西48方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间（2）C岛在A港的什么方向？【变式10-1】（2020秋雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响

18、如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式10-2】（2019秋大东区期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，一直某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离（假设点

19、的位置保持不变）【变式10-3】（2020秋吴江区期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练已知：AB10，BC6，AC8；机器人从点C出发，沿着ABC边按CBAC的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）（1）点C到AB边的距离是4.8；（2）是否存在这样的时刻，使PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由2020-2021学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（人教版） 专题1.2勾股定理（精讲精练）【目标导航】【知识梳

20、理】1.勾股定理：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有, , （4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理2.勾股定理逆定理：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形说明：勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须

21、满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角然后进一步结合其他已知条件来解决问题3.勾股定理的应用：勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边【典例剖析】考点1 利用勾股定理计算线段长度【例1】（2020

22、秋锦江区校级期末）在RtABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A6B7C10D13【分析】根据勾股定理计算即可【解析】由勾股定理得，斜边长=52+122=13，故选：D【变式1-1】（2020凤翔县一模）如图，在RtABC中，C90，D为AC上一点若DADB15，ABD的面积为90，则CD的长是（）A6B9C12D189【分析】根据RtABC中，C90，可证BC是DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长【解析】C90，DA15，SDAB=12DABC90，BC12在RtBCD中，CD2+BC2BD2，即CD2+122152，解得：CD9（

23、负值舍去）故选：B【变式1-2】（2020春巴南区期末）若直角三角形的两条边的长分别为3和2，则该直角三角形第三边的长为（）A1B7C5D1或7【分析】分2是斜边长、2是直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可【解析】当2是斜边长时，由勾股定理得，另一条直角边=22-(3)2=1，当2是直角边时，由勾股定理得，斜边长=22+(3)2=7，该直角三角形第三边的长为1或7，故选：D【变式1-3】（2020秋金水区校级月考）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD=3，AD1，AB2AC，则BC的长为（）A22或27B27C23D23或27【分析】分ABC是锐角三角形和ABC是钝角三角形两种情况，根据勾

24、股定理计算即可【解析】当ABC是锐角三角形，如图1，CDAB，CDA90，由勾股定理得，AC=CD2+AD2=(3)2+12=2，AB2AC，AB4，BD413，BC=BD2+CD2=(3)2+32=23，当ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC2，AB4，BC=BD2+CD2=52+(3)2=27，则BC的长为23或27，故选：D考点2用勾股定理表示数轴上的实数【例2】（2020秋滕州市月考）如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A1B1.4C2D3【分析】根据勾股定理求出OB，进而得到OA的长，根据数

25、轴的概念解答即可【解析】由勾股定理得，OB=12+12=2，则OAOB=2，点A表示的数是2，故选：C【变式2-1】（2020春玉溪期末）如图，数轴上的点A表示的数是2，点B表示的数是1，CBAB于点B，且BC2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A13B13+2C13-2D2【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数【解析】由题意可得，AB3，BC2，ABBC，AC=AB2+BC2=32+22=13，AD=13点D表示数为13-2故选：C【变式2-2】（2020春铜陵期末）如图所示，点B，D在数轴上，OB3，OD

26、BC1，OBC90，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A10B17+1C17-1D不能确定【分析】根据勾股定理得出DB的长，进而得出A点对应的数【解析】由题意可得：BD4，BC1则CD=42+12=17，故A点对应的实数为：17-1，故选：C【变式2-3】（2020春古丈县期末）如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A2.5B3C5D3【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可【解析】由勾股定理可知，OB=22+12=

27、5，这个点表示的实数是5故选：C考点3勾股定理与网格问题【例3】（2020春临海市期末）如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为10的是（）AABBBCCCDDAD【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可【解析】AB=32+12=10，BC3，CD=12+12=2，AD=22+32=13，故长度为10的线段是AB，故选：A【变式3-1】（2020秋蜀山区校级月考）如图，在行距、列距都是1的的44方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（）A13B5C9D11【分析】根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数

28、据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题【解析】13=22+32=13，故13可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意；5=22+12=5，故5可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；9=3，故9可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；11=32+(2)2，故11不可能是“格点线”的长度，故选项D符合题意；故选：D【变式3-2】（2020秋二道区期末）如图所示，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D，则BD的长为（）A3B22C4D325【分析】利用面积法求三角形的高即可【解析】BC5，AC=32+42=5，SABC=1253=12ACBD，BD3，

29、解法二：过A点做AEBC交于点E，则易证三角形AEC全等三角形BDC，所以BD等于AE3故选：A【变式3-3】（2020秋兰州期中）如图为55的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有（）Ab、c、dBc、dCa、dDb、c【分析】根据勾股定理可求b，c，d的长，再根据无理数的定义即可求解【解析】观察图形可知，a3，b=32+12=10，c=32+22=13，d=42+32=5，故长度是无理数的线段有b、c故选：D考点4勾股定理与图形面积问题【例4】（2020秋秦淮区期末）如图，在ABC中，C90，AC4，BC2以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A8

30、B12C18D20【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论【解析】C90，AC4，BC2，AB=AC2+BC2=42+22=25，正方形的面积AB2（25）220，故选：D【变式4-1】（2020秋碑林区校级期中）已知ABC中C90，c为斜边，a、b为直角边，若a+b17cm，c13cm，则ABC的面积为（）A15cm2B30cm2C45cm2D60cm2【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积【解析】a+b17，（a+b）2289，2ab289（a2+b2）289c228916912012ab30答：Rt

31、ABC的面积是30cm2故选：B【变式4-2】（2020秋长春期末）如图，在RtABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3若S19，S216，则S3的值为（）A7B10C20D25【分析】由正方形的面积公式可知S1AB2，S2AC2，S3BC2，在RtABC中，由勾股定理得AC2+AB2BC2，即S1+S2S3，由此可求S3【解析】在RtABC中，AC2+AB2BC2，由正方形面积公式得S1AB2，S2AC2，S3BC2，S19，S216，S3S1+S29+1625故选：D【变式4-3】（2019秋太原期中）如图，在中，以的三边为边分别向外作等边三角形，若，的

32、面积分别是10和4，则的面积是A4B6C8D9【分析】先设，根据勾股定理有，再根据等式性质和等边三角形的性质解答即可【解析】如图，设等边三角形，的面积分别是，设，是直角三角形，且度，又，同理可求，故选：考点5用勾股定理逆定理判定直角三角形【例5】（2020秋海州区期末）由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA+BCBa：b：c1：1：2C（b+c）（bc）a2Da1，b=3，c2【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求出C度数，再判断选项A即可；根据三角形的三边关系定理判定选项B即可；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可【解析】AA+BC，A+B+C180，C90，ABC是直角

33、三角形，故本选项不符合题意；Ba：b：c1：1：2，a+bc，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项符合题意；C（b+c）（bc）a2，b2c2a2，a2+c2b2，B90，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；Da1，b=3，c2，a2+b2c2，C90，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B【变式5-1】（2020秋海陵区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A2，3，4B3，4，5C4，5，6D5，6，7【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可【解析】A22+3242，以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B

34、32+4252，以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C42+5262，以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D52+6272，以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B【变式5-2】（2020秋锡山区期中）下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（）Ac2a2+b2BA+BCCA：B：C2：3：5Da6，b12，c10【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和D即可；根据三角形的内角和定理判断B和C即可【解析】Ac2a2+b2，C90，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；BA+BC，A+BC，C90，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意

35、；CA：B：C2：3：5，A+B+C180，最大角C=52+3+518090，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D62+102122，a2+c2b2，以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D【变式5-3】（2020秋成都期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A8，10，12B3，4，5C5，12，13D7，24，25【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可【解析】A、82+102122，三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、3

36、2+4252，三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、52+122132，三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、72+242252，三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A考点6用勾股定理解决简单的实际问题【例6】（2020春襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺A10B12C13D14【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）

37、2（x+1）2，解得：x12，芦苇的长度x+112+113（尺），答：芦苇长13尺故选：C【变式6-1】（2020秋山西月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A1米B2米C2米D4米【分析】作CFAB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度【解析】过点C作CFAB于点F，根据题意得：ABAC5，CFDE3，由勾股定理可得AF2+CF2AC2，AF=AC2-CF2=52-32=4，BFABAF541，此时木马上升的高度为1米，故选：A【变式6-2】（2020秋青羊区校级月考）如图，

38、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（）A13B17C18D25【分析】根据勾股定理求出BC的长，将AB和BC相加即可得到大树的实际高度【解析】由勾股定理得，BC=AB2+AC2=122+52=13（m）则大树折断前的高度为：13+518（m）故选：C【变式6-3】（2020秋阜宁县期中）如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（）A20cmB18cmC16cmD15cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为拉长后橡皮筋的长【解析】RtAC

39、D中，AC=12AB6cm，CD4.5cm；根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=62+452=7.5（cm）；AD+BD2AD15cm；故选：D考点7用勾股定理解决路径最短问题【例7】（2020秋苏州期末）如图，有一长方体容器，AB3，BC2，AA4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C爬到点A的最短爬行距离是（）A29B41C7D53【分析】分三种情况，根据勾股定理即可得到结论【解析】如图1，AC=BC2+AB2=22+(3+4)2=53，如图2，AC=AA2+AC2=(3+2)2+44=41，如图3，AC=CD2+AD2=32+(2+4)2=35，413553，从点C爬到点A的最短爬行距离是

40、41故选：B【变式7-1】（2020秋郑州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A6B8C9D15【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案【解析】将台阶展开，如图，因为AC33+1312，BC9，所以AB2AC2+BC2225，所以AB15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15答：蚂蚁爬行的最短线路为15故选：D【变式7-2】（2020秋偃师市期末）如图

41、，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16cm，高BC12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（）A9cmB10cmC11cmD12cm【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离【解析】已知如图：圆柱底面直径AB=16cm、母线BC12cm，P为BC的中点，圆柱底面圆的半径是8cm，BP6cm，AB=12288cm，在RtABP中，AP=AB2+PB2=82+62=10（cm），蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，故选：B【变式7-3】（2020秋雁江区期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个

42、贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型如图BC是底面直径，AB是高现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A10cmB20cmC102cmD52cm【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，ACAC，且点C为BB的中点，AB5cm，BC=12105（cm），装饰带的长度2AC2AB2+BC2=252+52=102（cm），故选：C考点8关于勾股定理证明的解答题【例8】（2020春包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了

43、面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为412ab+（ab）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2c2（1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理（2）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AB4，AC5，BC6，设BDx，求x的值（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2，画在如图4

44、的网格中，并标出字母a，b所表示的线段【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在RtABD和RtADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可【解析】（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，也可以表示为12ab+12ab+12c2，12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，即a2+b2c2；（2）在RtABD中，AD2AB2BD242x216x2；在RtADC中，AD2AC2DC252（6x）211+12x

45、x2；所以16x211+12xx2，解得x=94；（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2【变式8-1】（2020秋姜堰区期中）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的（1）在RtABC中，ACm，BCn，ACB90，若图中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）【分析】（1）由题意（nm）21，m2+n261，推出2mn60，可得（m+n）2m2+n2+2mn121（2）由（1）可知m+n=11n-

46、m=1，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可【解析】（1）由题意（nm）21，m2+n261，2mn60，（m+n）2m2+n2+2mn61+60121；（2）由（1）可知m+n=11n-m=1，m=5n=6，AC5，BC6，ACB90，AC5，CD12，AD=AC2+CD2=52+122=13，这个风车的外围周长4（13+6）76【变式8-2】（2020秋南海区校级期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为412ab+（ab）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a

47、，b，斜边长为c，则a2+b2c2（1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理（2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CHAB测得CH1.2千米，HB0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若ABAC时，CHAB，AC4，BC5，AB6，设AHx，求x的值【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式

48、，化简即可得证；（2）设CAx，则AHx0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；（3）在RtACH和RtBCH中，由勾股定理得求出CH2CA2AH2CB2BH2，列出方程求解即可得到结果；【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，也可以表示为12ab+12ab+12c2，12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，即a2+b2c2；（2）CAx，AHx0.9，在RtACH中，CA2CH2+AH2，即x21.22+（x0.9）2，解得x1.25，即CA1.25，CACH1.251.20.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千

49、米；（3）设AHx，则BH6x，在RtACH中，CH2CA2AH2，在RtBCH中，CH2CB2BH2，CA2AH2CB2BH2，即42x252（6x）2，解得：x=94【变式8-3】（2020秋江阴市期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2c2+412ab；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2c2【初步运用】（1）如图1，若b2a，则小正方形面积：大正方形面积5：9；（2）现将图1中上方的

50、两直角三角形向内折叠，如图2，若a4，b6此时空白部分的面积为28；【迁移运用】如果用三张含60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程知识补充：如图4，含60的直角三角形，对边y：斜边x定值k【分析】【探索新知】根据大正方形的面积小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可（2）根据空白部分的面积小正方形的面积2个直角三角形的面积计算即可【迁移运用】根据大正三角形面积三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可【解析】探索新知由题意：大正方形的面积（a+b）2c2+412ab，a2+2ab+b2c2+2ab，a2+b2c2【初步运用】（1）由题意：b2a，c=5a，小正方形面积：大正方形面积5a2：9a25：9，故故答案为5：9（2）空白部分的