南京航空航天大学结构力学课后习题答案第3章

1、第三章 能量原理习题解答）3-1 弯曲梁； 解： 应变能写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。 （a）等轴力杆；（b） c）纯剪矩形板。a）等轴力杆U V AdVdV1V2dV12 E 2Lf12E(L)2 Lf2Ef 22L余应变能1V2dV其中 L 为杆的长度，BdVVf 为杆的截面积，2 fL2E 为杆的变形量，fL N2E(f)N2L2EfE为材料的弹性模量。（b）弯曲梁应变能1dV线性 1212余应变能TV2dw2E(z 2 )2 dydzdxdx12VdVdV12Vx(z ddxw2 )dVdx2d 2w 2V Ez(ddxw2 )2dVd2 w dx2l d w 2 0 E

2、J( 2 )2dx(My)2 V ( J )E1dVM 2 y2 1J 2 Edzdydx21 l M2 dx2 0 EJ（c）纯剪矩形板 应变能dV12VdVVG2dV12G2 a bt余应变能q2f2dVVG3-2 求图 3-2 所示桁架的应变能及应变余能，应力应变之间的关系式为 （a）E（b）E解：取节点 2进行受力分析，如图 3-2a 所示。 根据平衡条件，有dV1 2G12 Gta）E时联立1）、2）、（3）、联立1）、b）联立N1 cos 45N1 sin 45P12N 3 cos45N3sin 45N1P2N3P2P1P2 P121）U 2l N12 NU 2EN1f1N1Ef1

3、V AdVV BdVflfl 0N3f3N3Ef33）5）得到桁架的应变能为2l P1 P2 2231f 34Ef12）、（3）、（5），得到桁架的余应变能为U 2l2EE时N12f1N32f32l4E2P1 P2 2f1N12E2f122P1 P2 2f3P12P2 2f3N32 3 E2 f326）1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的应变能为联立（ 1）、（2）、（5）、33lP1 P2P2 P13E2f12f326），得到桁架的应变能为l6E233P1 P2 3P2 P1 3f123-323一种假想的材料遵循如下二维的应力应变规律xy2x2yx2y GyExE其中 E、解：G和 是材

4、料常数。 应变能密度导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。余应变能密度总应变能密度xyxyxyxyB0xd3xy0 yd y Edxy0xyd xyEdxyx2y Gd xy133x所以应变能密度为133y13G3xyA (AB)3xyG11E313y 3G xy3xyG3-4 试用虚位移原理或最小位能原理确定题 的位置和各杆内力。各杆材料相同，弹性常数为 各杆截面积 f1 1.5cm 2 ，解：设 o 点的位移为o-1 杆：ucosE。 P122cm2， f3 3cm2 。则各杆的变形量如下：2 ( )(u v)23-4 图所示平面桁架的节点 o104N ，P2 5 103N ，解得由N

5、o-2 杆：o-3 杆：系统位能UV0，EflucosEfi i 22li，得u、v，vsinsinP1uP2vE2 2lE2 2l2( u v)2Ef1(u v)2Ef2v24 2l2lEf3( u v)2P1u P2v4 2l 1 20 ，从而：f1(uf1(u v)No1No2No3v) f3(uf3(u v)v) P1Ef2vlP2 053 2 104 l108 E5 2 104 l E24Ef1l1Ef2l2Ef37660N4170Nl36480N3-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷 q 的弯曲等截面梁（图 3-5）的平衡方程式。解：由教科书例 3-2 知4 0l（EJ d4w4

6、 0dx4悬臂梁的边界条件为：q) wdx23d w d wd wlEJ 2 EJ 3 w| l0 0 dx dxdx在x0处，dwdx在x又知l 处，剪力0，弯矩 Mdw zdx直法线假设）d2wz2 dxd2wExEz 2dxt2t2zdz2EJdd2xw2在xl 处，弯矩M0所以，当x l 时，d2wdx2又知dM (x)dxQ(x)所以dMdxd3wEJ 3dx在x l 处，剪力 Q3所以，当 x l时， ddxw3由以上，如果则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为d4 w EJ 3-6 试用最小余能原理求解图 3-d6x4 q 0所示圆框的弯矩表达式，并给出弯矩图。圆框的截面弯矩刚度为 E

7、J、 q PRsin3-6a 所示。解： 根据圆框的对称性可知， 在图 3-6a 的受力分析图中， 只有轴力和弯矩， 而无剪力。取右半部分的一段进行受力分析如图根据平衡条件，可得到弯矩表达式M0N0R(1 cosN0R(1 cosPRPR0 sincoscos1sin2余应变能M2Rd0 2EJ外力余能V0根据最小余能原理联立（ 1）、（2）解得0EJ0 MRd0M0N0R1 PR 0202 EJMRR(1cos )dM032N0R7PR8PR4N03P400M0M0N02）则圆框截面的弯矩为PR21cos2sin3-7 所示梁的点 A 处横向挠度。w|x L 02d w|2 |x L dx3

8、-7 试用瑞利李兹法确定图 解：梁两端简支，其位移边界条件为w|x 0 02，d2w|0，2 |x 0 0dx选取正弦函数为基函数，取前两项，则xw a1 sin2xa2 sin梁的应变能为1EJ22L d w 2( 2) dx 0 dx244LE3J (a1216a22)梁的外力势能LPwdx0梁的总位能L0 (qxx)(a1 sinL 1 L2a2 sin)dx2Lqa1L qa2LUV44LE3J (a1216a22) qa1Lqa2L由最小位能原理a1a204E3J a1 qL 02L3 14EJ4L332a2qL2a1a22qL45EJqL416 5EJ因此25qL4 sin x5E

9、J LqL416 5EJLsin 2 x31 3 qL432 5EJ3-8 沿直平面内的正方形薄板，边长为 如图 3-8 所示。设1.678 q5LEJ2a，四边固定，0 ，试取位移分量的表达式为21 x21 a221 ax2ay22 a2 y22 axyaaB1只受重力 g 作用，2x A1 A2 2 a2B2 ax2aB3a2A3 ay22a2y2 L用瑞利李兹法或伽辽金法求解。 解：运用伽辽金法求解。 本题中的四边形薄板四边固支，1E122u2x因此是一个平面应力问题。其基本方程为2uE122v2y2 y212v2 x212v2 x y12u2 x yX umdxdy 0Y vmdxdy

10、 01)m 1,2,3L当只取 A1 项和 B1项时，位移分量的表达式为21 ax2 a21 x222 a2y22 a2 y2 aaxayA1aaB12u2x2vx22u2 y22 a2 y a26xy A ,41 axy3x22aa22 B1,a1 3y21 a2A12,a2u2y2vy22v2x2a2xa26ax4y A1aa2 B12）因为 0, X 0,Y，所以（ 1）2u2x2v2y21 2u2 y21 2v2u12 x a2v1xy4ax4y B1a式可简化为12 x y1 2u2 x y将u1,v1 ，及2）式代入（ 3）2x2 a 式，21 ay226ax4y A1v u1dx

11、dy 0g v1 dxdy3）1 4xy B2 a4 B121 x222a2y2a2 x a2a22 B12 y a22y22 a2 x a2xy2a2 y a23x22a3y22aA12axyaa6ax4y A1dxdy2a2B121 x222a2y22adxdy6x2y22y2a2x2a3x2y222x2a2y2adxdyA112a 2a2aa2x2y23x22a2x2a2x2a2y22 adxdyB13y22 12a21 ay22a2x2a2 y2 a2 y2adxdy2x2aA1dxdyB1gE简化为2x2a2y2 dxdya27A12 A1 4B175 1 5 19B1132 ga

12、E由此解得A120.164 gaEB120.422 gaE代入位移表达式，0.164 Eg2x2a2y22 axy20.422 ga E2 x a22 y a2由物理方程，得Euv12xyEvu212yxEuv2(1)yxxyxy1107656(12117352(1455303(13ax22)(1 a2 ax22) a2 x2 )(1 agy2ay2)a3ay22)agygx 225(15332ay22)agx挠度函3-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩， 数选下列两种形式，比较其计算结果。x(a) w(x) a1sin1lxb) w( x) a1sina3sin 3

13、x解：双简支梁两端的位移边界条件是在x 0 x l 处，wd2w dx2弯矩的表达式为EJd2wdx2a) w( x) a1sin梁的总位能EJ20dx2dx0 qwdxEJ 4 2L2x4 a11cosdx4l 4 10l2ql a1EJ424l3a1V21LL0有4L0 qwdx2w由最小位能原理2qla1a1EJ2l3 4ql4 EJ 5a1所以挠度函数的表达式w(x) 4ql 5EJ 5xsinl最大挠度wmaxxl24ql4EJ 50.01307 qElJ最大弯矩M max x l 24ql2320.129ql 2b) w(x)a1sinx a3sin 3 x时l 3 l梁的总位能L

14、EJ012EJ 4 L2l 4 0d2w dx2dxLqwdxa12 sin22qla33由最小位能原理2qla1x 2 2 3 x l EJ 4 4l3 0有81a3 sin2 a181a322qla1a1a3a3所以挠度函数的表达式w(x)4ql4EJ 5最大挠度18a1a3 sin xsin 3 xEJ2l3 4ql4 EJ 5 2ql 81EJ4a1 0dxL0 qwdx3sin2l3 4ql4 35EJ 54a3 04ql435 EJ 53xsinl4ql4wmax x l 25EJ242 4ql243 EJ 54ql 45535 EJ 54ql40.013017 EJ最大弯矩3-1

15、0 用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度，挠度函数选下列各种形式， 并比较两种计算所得的最大挠度。(a) w(x) a2x2 a3 x3xb) w(x) A(1 cos )2l解：悬臂梁的边界条件是在 x=0 处， w 0dwdxa) w(x)梁的总位能1EJ21EJ21 EJ2由最小位能原理a3x3时2 dw2L2dxqwdxdx202L232a26a3xdx 0 q a2 xa3 x dx4a222224a2a3 x 36a3 x dxL 2 30 q a2 x a3x dx0VL0L02a2xLEJ04a22l212a2a3l12 a32l 31a2l331a3l444EJla 226EJl 2a3a2133ql31）6EJl2a212EJl3a3a31 ql 4 04联立（ 1）、（2）解得a25ql224EJa3ql12EJ所以挠度函数的表达式w(x) 254qEl2J24EJql x312EJ最大挠度wmaxxlb) w(x) A(15ql424EJcos x) 时2lql412EJ0.125 qElJ梁的总位能LEJd2w