第3章静态电磁场及其边值问题解

1、 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3章静态电磁场及其边值章静态电磁场及其边值 问题的解问题的解 3.1 静电场分析静电场分析 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 基本方程基本方程0 0 SVC ddVd DSEl DE DE 边界条件边界条件 1212 1212 0 ntt nSnnS EE DD eEE

2、eDD 或或 或或 1212 0 = nnn DDeDD 对于理想介质，有对于理想介质，有 或或 3.1.2 电位函数电位函数 在静电场情况下，由，即静电场可以在静电场情况下，由，即静电场可以 用一个标量的梯度来表示。标量用一个标量的梯度来表示。标量 称为标量位或标量电位。称为标量位或标量电位。 0 EE 33 1 4 q q rrr rr E由由空空间间中中点点电电荷荷 产产生生的的电电场场和和得得 1 = 44 qq qC rr E点点电电荷荷 产产生生的的电电位位 任意常数任意常数 电位电位 对于连续分布电荷，有对于连续分布电荷，有 1 4 1 4 1 4 V S S l l dVC R

3、 dSC R dlC R r r r r r r 体电荷体电荷 面电荷面电荷 线电荷线电荷 4 q C r rr 1 1 4 N i i i q C r rr 位于位于r处的点电荷处的点电荷 位于不同位置位于不同位置r i的的 N个点电荷个点电荷 d El将将两两端端点点乘乘，则则有有 dddxdydzd xyz Ell 上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得 QQ PP ddPQ El P、Q两点两点 间的电位差间的电位差 电场力电场力 做的功做的功 关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场

4、力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U表示表示 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关 电位差电位差 显然，电位函数显然，电位函数 不是唯一确定的，可以加上任意一个常数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数 仍表示同一个电场，即仍表示同一个电场，即 CC E设设 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为 参考点，且令参考点的电

5、位为零，由于空间各点与参考点的参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的 电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差) 两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点 几种常见电荷分布的电位参考点几种常见电荷分布的电位参考点 点电荷：设点电荷点电荷：设点电荷q在原点，参考点在原点，

6、参考点Q，场点，场点 (电位考察点电位考察点)P， 选择路径选择路径PM Q(路径可以任意选择路径可以任意选择)进行积分，有进行积分，有 3 0 2 00 4 111 44 Q P MQQ P PMM r r PQ q ddd r qq dr rrr r ElElr O Q rP M P rQ 积分贡积分贡 献为零献为零 0 4 QP P q r r 选参考点位于无穷远处，即令，得选参考点位于无穷远处，即令，得 0 4 q r 由由此此得得到到点点电电荷荷电电位位的的一一般般表表达达式式 00 44 qq R r rr 对于位于 的点电荷，电位表达式为对于位于 的点电荷，电位表达式为 线电荷：

7、设线电荷线电荷：设线电荷 l在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位考察电位考察 点点)P，沿如前路径进行积分，有，沿如前路径进行积分，有 2 0 00 2 1 ln 22 Q P MQQ l P PMM r Q ll r P ddd r r dr rr r ElElr 如果选择参考点在如果选择参考点在rQ=，得，得 P P= =，显然不合理。，显然不合理。 如果选择如果选择rQ=1=1，得，显然这种形式最简单。，得，显然这种形式最简单。 0 1 ln 2 l P P r 0 1 ln 2 l r 由此得到线电荷电位的一般表达式由此得到线电荷电位的一般表达式 00 11 lnln 2

8、2 ll R rr r对于位于 的线电荷，电位表达式为对于位于 的线电荷，电位表达式为 O Q rP M P rQ 面电荷面电荷(例例3.1.2)：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。 设均匀电场设均匀电场E0，场中任意两点，场中任意两点P1和和P2的电位差为的电位差为 22 11 2100 0021 PP PP dd ElEl E RErr 12021 P Err 设设参参考考点点在在 点点，则则 202 1 1 0 2 cos 0 E r r r E r若若设设参参考考点点在在无无穷穷远远处处，即即， 无无意意义义。 如如设设参参考考点点在在原原点

9、点，即即，则则有有 000 cosE r EErr 由由此此得得到到面面电电荷荷电电位位的的一一般般表表达达式式 其其中中 为为电电场场与与的的夹夹角角 R P2 P1 dl E0 r1 r2 O 静电位的微分方程静电位的微分方程 2 DE 标量泊松方程标量泊松方程 在均匀、线性和各向同性的介质中，利用在均匀、线性和各向同性的介质中，利用 有有 E 2 00 在在无无源源空空间间中中， 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 S n 在在导导体体表表面面，有有 常常数数， 理想导体是等位体理想导体是等位体 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分

10、界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分 别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 l P1 P21212 0 El 12 1212 1212 S S nnnn n eDDDE由由 和和 ，得得 理想介质表面理想介质表面 例例 3.1.1 电偶极子的电位和电场强度电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空。电偶极子由空 间两个等量异号的点荷组成如图。间两个等量异号的点荷组成如图。 解：设电偶极子中心位于座标原点，解：设电偶极子中心位于座标原点，p=ql。 空间任意点空间任意点M处的电位可以看成是由两个处的电位可以看成是由两个 点电荷产生，即有点电荷产生，即有 -q +q R+ O R-

11、r Mz l 0 11 4 q RR r 当场点当场点M到电偶极子的距离到电偶极子的距离rl时，得时，得 2 11cos cos ,cos 22 lll RrRr RRr 223 000 coscos 444 qlp rrr p r r 253 00 3cos1 44 ql rrr p r rp E 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容 q C 导体所带电荷与导体电位之比导体所带电荷与导体电位之比 电容电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与只与导体几何性质和周围介质有关，与q和和 无关无关 如空气中半径为如空气中半径为a的孤立带电球，的孤立带电球， 0 0 4 4 qq Ca a 与与q

12、和和 无关无关 12 q C 孤立导体：孤立导体： 双导体组成的电容器双导体组成的电容器 同样地，电容同样地，电容C只与导体几何性质和介质有关只与导体几何性质和介质有关 如平行板电容器如平行板电容器 0 0 12 SS S SSqS C Eddd 与与q和和 无关无关 例例3.1.4如图所示的平行双线传输线，导线的半径为如图所示的平行双线传输线，导线的半径为 a，两导线的轴线相距为，两导线的轴线相距为D，且，且Da。试求传输线单。试求传输线单 位长度的电容。位长度的电容。 解：由于解：由于Da，近似认为电荷均匀分布，近似认为电荷均匀分布 在导体表面，且可将导线看成线电荷，在导体表面，且可将导线

13、看成线电荷， 则利用高斯定理得则利用高斯定理得x轴上的电场分布轴上的电场分布 0 11 2 l x x xDx Ee 00 11 ln 2 D aD a ll x aa Da Uxdxdx xDxa Ee 两两导导线线间间的的电电位位差差为为 00 lnln l l C DaD U aa 两导线间单位长度两导线间单位长度 的电容为的电容为 y l x P x D a - l 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 静电场的能量静电场的能量 讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关 从零状态开始充电，充电结束时，电荷为从零状态开始充电，充电结束时

14、，电荷为 、电位为、电位为 充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子 ，即充电过，即充电过 程中某一时刻电荷与电位分别为程中某一时刻电荷与电位分别为和和 充电过程由充电过程由 = 0到到 = 1，由无数个充电单元，由无数个充电单元d 组成组成 对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送 电荷电荷 d ，同时做功，同时做功()( d )，此功将转换为电场的能量，此功将转换为电场的能量 所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源 为此所

15、做的功为为此所做的功为 e VV dWddVddV 充电完成后，系统的总能量为充电完成后，系统的总能量为 11 00 1 2 ee VV WdWddVdV 关于静电场能量表达式的补充说明关于静电场能量表达式的补充说明 讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间积分为零，所以积分也可以为整个空间 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于

16、有电 荷分布的区域，所以荷分布的区域，所以被积函数被积函数 不代表能量密度不代表能量密度 对于电荷分布于曲面上的情况，有对于电荷分布于曲面上的情况，有 1 2 eS S WdS 1 2 带电导体系统的能量带电导体系统的能量 对对N个带电导体组成的系统，各导体的电位为个带电导体组成的系统，各导体的电位为 i，电量为，电量为qi， 表面积为表面积为Si，则导体系统的电场能量为，则导体系统的电场能量为 11 22 11 22 i i i i eSSi SS i iSii S ii WdSdS dSq 能量密度能量密度 电场能量分布于整个电场空间。利用电场能量分布于整个电场空间。利用 , DE 11

17、22 11 22 e VV SV WdVdV ddV DDD DSE D AAA 当积分为无限大空间时，此项积分结果为当积分为无限大空间时，此项积分结果为0 0 1 2 e V WdV E D 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静 止，即止，即J0。此时有。此时有 0000 t JEE 均匀介质均匀介质 0 EE 2 0 12 1212 12 121212 0 0 0 0 ntt nnn EE JJ nn

18、 eEE E J eJJ 或或 由由 或或 基本方程基本方程 边界条件边界条件 恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得 3.2.2 恒定电场与静电场的对比恒定电场与静电场的对比 0J 恒定电场（源外）恒定电场（源外）静电场（无源区）静电场（无源区） 0D 0 EE0 EE JE DE 2 0 2 0 S dI JS S dq DS 1212 , nntt JJEE 1212 , nntt DDEE 静电静电 E D q C 恒定恒定 E J I G 关于恒定电场的进一步说明关于恒定电场的进一步说明 与静电场性质相同，但产生的源不同，分别

19、为运动电荷和静与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静 止电荷，但其密度都不随时间变化止电荷，但其密度都不随时间变化 恒定电场同时存在于导电体外和导电体内，其表面同时有法恒定电场同时存在于导电体外和导电体内，其表面同时有法 向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体 电场矢量在分界面上的折射关系电场矢量在分界面上的折射关系 E2 n 2 2 1 1 E1 1212 tantan 如如 2 ， 290， 10，电力线，电力线 近似垂直良导体表面，近似等位体近似垂直良导体表面，近似等位体 如介质如介质1为理想介质，为理想介质

20、， 10，J1=0， 导电体一侧中只有切向电流和切向电场导电体一侧中只有切向电流和切向电场 恒定电场问题可利用对应量变换，恒定电场问题可利用对应量变换， 先变成静电场问题求解，最后再换回先变成静电场问题求解，最后再换回 来来 由由J 的边界条件可得的边界条件可得 1 例例4 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，填充介质，填充介质 0， 具有漏电现象。同轴线外加电源电压为具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介，求漏电介 质内的质内的 、E、J和单位长度的漏电电导。和单位长度的漏电电导。 解：内外导体内解：内外导体内E=0，且表面，且表面 是等位面，介质中电位只是是等

21、位面，介质中电位只是r 的函数，满足拉氏方程为的函数，满足拉氏方程为 U z r a b 1 0ln dd rArB r drdr ,0ln ln r ar b Ub U b ar 由由 ln rr dU drrb a Eee 0 2 22 ln U IrJr E b a 0 0 2 ln I G Ub a ln r U rb a JEe 例例5一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别 为为 1、 1和和 2、 2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电。求介质面上的自由电 荷密度。荷密度。 U 1 d 2 d 11 , 22 , z O 解：解：极板

22、是理想导体，为等极板是理想导体，为等 位面，电流沿位面，电流沿z方向。方向。 1212nn JJJJJ 由由 12 12 1122 , JJJJ EE 1 1212 121122 1212 dddd UUUE dE dJJU 12nnS DD 由由 12 12 12 , SS DJDJ 下下上上 211221 21 212112 S DDJU dd 介介 例例3.2.1 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，其间填充电，其间填充电 导率为导率为 的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。 b a 解：先变成静电场。内外导体间解：先变成静电场。内外导

23、体间 ln 22 bbb ll aaa qqb Udddr ra D Err 211 ln ln2 l qb CR Ub aGa 2 l r q r De 例例6 求半径为求半径为a的金属导体球形接地器的接地电阻。土的金属导体球形接地器的接地电阻。土 壤的电导率为壤的电导率为 。 I a J 解：导体深埋，不考虑地表对接地电阻的影响解：导体深埋，不考虑地表对接地电阻的影响 22 444 rr a III Ud rra JeEeEr 1 4 4 U RGa Ia r1 r2 0 I 例例7 在一块厚度为在一块厚度为h的导电板上，由两个半径为的导电板上，由两个半径为r1和和r2 的圆弧和夹角为的圆

24、弧和夹角为 0的两半径割出一段环形导电媒质。的两半径割出一段环形导电媒质。 计算沿计算沿 方向的两个电极间的电阻。方向的两个电极间的电阻。 解：设两极板间电压为解：设两极板间电压为U0，则电流沿，则电流沿 方向方向 流动，电位流动，电位 只是变量只是变量 的函数，即有的函数，即有 2 01222 1 0 0 d CC rd 0 0010020 ,0,UCUCU 由由 00 0 00 UU U rr JEee 2 1 002 001 ln r Sr UhUr IdShdr rr J e 00 21 ln U R Ihr r 试题：板间距离为试题：板间距离为d的大平行导体板（的大平行导体板（d比极

25、板的长和宽都小得多）。两板接比极板的长和宽都小得多）。两板接 上直流电压为上直流电压为U的电源进行充电（如图的电源进行充电（如图1.（a）所示），然后断开电源，并在）所示），然后断开电源，并在 板间放入一块厚度为板间放入一块厚度为t的大介质板的大介质板 。介质板的相对介电常数为。介质板的相对介电常数为 ，如图，如图1. （b）所示。求（）所示。求（1）此时平行导体板间各处的电场强度；（）此时平行导体板间各处的电场强度；（2）此时平行板单）此时平行板单 位面积的电容；（位面积的电容；（3）此时各区域的能量密度大小。）此时各区域的能量密度大小。 另外，如果放入的这块介质板有较大损耗，即另外，如果放

26、入的这块介质板有较大损耗，即 s/m, 如图如图1.（c）。）。 求（求（4）该情况下平行导体板间各处的电场强度；（）该情况下平行导体板间各处的电场强度；（5）该情况下平行板单位）该情况下平行板单位 面积的电容；（面积的电容；（6）该情况下各区域的能量密度大小。）该情况下各区域的能量密度大小。 9 r 10 第三章的作业第三章的作业 3.3,3.5,3.7,3.8,3.10,3.13,3.19, 3.22，3.23，3.24 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场及其源（恒定电流）不随时间变化，有恒定磁场及其源（恒定电流

27、）不随时间变化，有 00 CS S dd d HlJSHJ BSB BH 1212 1212 0 nnn nSttS BB HHJ eBB eHHJ 或 或 或 或 基本方程基本方程 边界条件边界条件 对于理想介质，表面不存在传导电流对于理想介质，表面不存在传导电流 1212 0 ntt HHeHH或或 3.3.2 矢量磁位矢量磁位 当场量不随时间变化时，均匀介质中的麦氏方程为当场量不随时间变化时，均匀介质中的麦氏方程为 0,() BHJBJ或或 矢量位的微分方程矢量位的微分方程 2 0 BBAAJAAJ由由 2 0 AAJ令令 2 00 JA在在无无源源区区 矢量位的任意性矢量位的任意性 与

28、标量位与标量位 一样，矢量位一样，矢量位A也不是唯一确定的，它加上任意也不是唯一确定的，它加上任意 一个标量一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 AAABAAA设设 泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程 1，矢量磁位，矢量磁位 对矢量位的限制对矢量位的限制 矢量位矢量位A的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造 成。为得到确定的成。为得到确定的A，可对，可对A的散度加以限制，即，的散度加以限制，即， 称为库仑条件。另外，还有洛仑兹条件。称为库仑条件。另外，还有洛仑兹条件。 0A 矢量位泊松方程的解矢量

29、位泊松方程的解 在直角坐标系中，矢量位在直角坐标系中，矢量位A的各分量满足标量泊松方程，即的各分量满足标量泊松方程，即 2 1,2,3 ii AJi 其中其中1, 2, 3分别对应分别对应x, y, z 与静电场标量位与静电场标量位 满足的泊松方程比较，可得满足的泊松方程比较，可得Ai之解，即之解，即 22 14 1 4 iii i ii V V AAJ J JAdV dV r r rr rr 4 V dV J r A rr 矢矢形形式式的的解解为为：量量满足满足 0 A 对面电流和细导线电流回路，矢量位对面电流和细导线电流回路，矢量位A的解为的解为 44 S SC Id dS Jrl AA

30、rrrr 面电流：细导线回路：面电流：细导线回路： 用矢量位计算磁通量用矢量位计算磁通量 SSC ddd BSASAl 矢量位的边界条件矢量位的边界条件 1212 12 12 0 11 ntt nS AA eAA eAAJ 或或 例例3.3.2求无限长线电流求无限长线电流I的矢量位和磁场。设电流沿的矢量位和磁场。设电流沿 +z方向流动。方向流动。 解：用静电场标量位比较法求解。解：用静电场标量位比较法求解。由无限长线电荷的电位由无限长线电荷的电位 0 ln10 2 l rCrC 如如取取参参考考点点在在，则则 00 ln 22 z z AII ArCB rr 0 2 l r E r 显显然然与

31、与线线电电的的电电 荷荷场场相相似似 关于矢量位关于矢量位A 的补充说明的补充说明 线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单 对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂 引入矢量位引入矢量位A是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能 显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜 3.3.3 电感电感 设回路中的电流设回路中的电流I，它所产生的磁场与回路交链的自感磁链为，它所产生的磁场与回路交链的

32、自感磁链为 ，则磁链，则磁链 与与回路中的电流回路中的电流I成正比关系成正比关系 ，其比值，其比值 LLI 其其中中系系数数 为为自自感感系系数数，或或自自感感。 对于粗导体，自感对于粗导体，自感L内自感内自感Li外自感外自感Lo 内自感内自感 iii LI 其中其中，为内磁链为内磁链 外自感外自感 ooo LI 其其中中，为为外外磁磁链链 C I 细回路细回路 i C I o 粗回路粗回路 自感自感 例例3.3.3 求同轴电缆单位长度的自感。设内导体半径为求同轴电缆单位长度的自感。设内导体半径为 a，外导体厚度可忽略不计，其半径为，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。 解

33、：先求内自感。解：先求内自感。 设电缆中的电流为设电缆中的电流为I，由安培环路定律得，由安培环路定律得 a 0 b 22000 22 222 ii IrI Br Jrra rraa 0 2 2 =1 ii dSdr Ir dB dSdr a 穿穿过过沿沿轴轴向向单单位位长长度度的的矩矩形形面面积积元元 的的磁磁通通为为 2 2 3 0 4 2 ii ii r dIId a IrI dddr Ia 与交链的电流为与相应的磁链为与交链的电流为与相应的磁链为 3 00 4 0 28 a ii IrI ddr a 注意：注意： 由粗导线构成的回路，整个回路的电流为由粗导线构成的回路，整个回路的电流为I

34、，回路，回路 包含一匝线圈，但是导线中的磁通量包含一匝线圈，但是导线中的磁通量 与一部分电流与一部分电流 相铰链，与相铰链，与 相联系的电流只有相联系的电流只有 匝，因此，磁通匝，因此，磁通 量量 对回路的总磁链数贡献为：对回路的总磁链数贡献为： d I I II d I dd I I 1(匝匝) (匝匝) ， 分数匝数分数匝数 I N NI / I 再求外自感。由安培环路定律得内外导体间的磁感应强度为再求外自感。由安培环路定律得内外导体间的磁感应强度为 00 22 oo II Barbddr rr 00 0 ln 22 a oo IIb ddr ra 0 ln 2 o o b L Ia 单单

35、位位长长度度的的外外自自感感 00 ln 82 io b LLL a 单单位位长长度度的的自自感感 0 8 i i L I 单单位位长长度度的的内内自自感感 两个回路两个回路C1和和C2，分别通有电流，分别通有电流I1和和I2，C1在空间产生的磁在空间产生的磁 场场B1，B1在回路在回路C1和和C2所围面积的磁通分别为所围面积的磁通分别为 11 和和 21，即，即 1111111111111 ,L ILILC其中为回路的自感其中为回路的自感 21211212121 2121 1 12 M IM MLCC LI 其其中中即即为为回回路路和和的的互互感感系系数数或或互互感感 12122121212

36、2 121221 M IML MLCC I 类类似似地地有有： 其其中中即即为为回回路路和和的的互互感感系系数数或或互互感感 互易性：互易性：M12=M21=M 互感的符号：当互感的符号：当 11 与与 12同方向时，取正，反之取负同方向时，取正，反之取负 互感的特性：与回路几何性质、相对位置和周围介质有关，互感的特性：与回路几何性质、相对位置和周围介质有关， 与电流无关与电流无关 互感互感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 单个电流回路的能量单个电流回路的能量 d dt 回路回路C中的电流中的电流i由由0 I，dt 时间内时间内i变化变化di，并引起磁通量，并引起磁通量 变化变化d

37、，从而在回路中出现感应电动势。，从而在回路中出现感应电动势。 由于回路中出现的感应电动势由于回路中出现的感应电动势 将阻止电流将阻止电流i的增加，必须由外的增加，必须由外 电源附加一个反向电压电源附加一个反向电压U= ，保证电流，保证电流i增加。所以，外电源增加。所以，外电源 在在dt 时间内使电流时间内使电流i增加增加di所做的功为所做的功为 ddi dWiUdti dtidtiLdtiLdi dtdt 电源使电流电源使电流i由由0增加为增加为I所做的功为所做的功为 2 0 1 2 I m WLidiLI 将以磁场能量的方将以磁场能量的方 式储存在回路中式储存在回路中 两个电流回路的能量两个

38、电流回路的能量 设两个回路设两个回路C1和和C2中的电流中的电流i1和和i2均由其初始值均由其初始值0 I1和和I2。在。在 此过程中，外电源要对回路系统做功，此功将作为磁场能量储此过程中，外电源要对回路系统做功，此功将作为磁场能量储 存在回路系统中。存在回路系统中。 首先假定首先假定i2=0，使，使i1由由0 I1。在。在dt 时间内时间内i1改变量为改变量为di1，引起，引起 两个回路中的磁通量两个回路中的磁通量 11和和 21改变改变d 11和和d 21，并在回路中产生，并在回路中产生 感应电动势感应电动势 1和和 2。 由于由于 1会阻止会阻止C1中电流中电流i1的增加，所以须在的增加

39、，所以须在C1上外加电压上外加电压U1= 1。同时，为了使。同时，为了使C2中的电流中的电流i2保持为零，也须在保持为零，也须在C2上外加电上外加电 压压U2= 2。所以，外电源在。所以，外电源在dt 时间内所做的功为时间内所做的功为 111111111222 0dWi U dtidti L didWi U dt 外电源使外电源使i1由由0变为变为I1过程中所做的功为过程中所做的功为 1 2 11111111 0 1 2 I WLi diL I 然后，保持然后，保持C1中的电流中的电流I1不变，将不变，将i2由由0变为变为I2。在此过程中，。在此过程中， C2上的外加电源上的外加电源U2 2

40、所做的功为所做的功为 2 2 22222222 0 1 2 I WLi diL I 与前一个过程不同的是，此过程中与前一个过程不同的是，此过程中C1中的电流一直保持为中的电流一直保持为I1， 所以所以C1上的外加电源上的外加电源U1将做功，即有将做功，即有 2 1211111212 1212121212 0 I dWU I dtI dtL I di WL IdiL I I 两个过程外加电源所做的总功，将全部以磁场能量的形式储两个过程外加电源所做的总功，将全部以磁场能量的形式储 存在回路系统中，成为两电流回路系统的磁场能量，即有存在回路系统中，成为两电流回路系统的磁场能量，即有 22 11221

41、111212222 11 22 m WWWWL IL I IL I 或或 2 22 11112122121222 ,1 11111 22222 mijij i j WL IL I IL I IL IL I I N个电流回路的能量个电流回路的能量 将两个回路的情况推广到将两个回路的情况推广到N个电流回路组成的系统，有个电流回路组成的系统，有 2 11111 111 222 NNNNN mijijiiiijji ijiij j i WL I IL IM I I 或者写成或者写成 1 1 2 N mii i WI 1 1 2 i N miii C i WId Al 1 = i N iijjiiii

42、C j M ICd Al其中为所有回路在上产生的磁通，且其中为所有回路在上产生的磁通，且 得得 其中的其中的Ai为回路为回路Ci上的合成矢量磁位，即由所有回路产生。上的合成矢量磁位，即由所有回路产生。 体分布电流的能量体分布电流的能量 将此式应用于体分布电流（粗回路）时，有将此式应用于体分布电流（粗回路）时，有 1 2 m V WdV J A 关于静磁场能量表达式的补充说明关于静磁场能量表达式的补充说明 只适用于静磁场只适用于静磁场 积分可以只在 积分可以只在J0的区域进行的区域进行 被积函数被积函数AJ不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间 中进行，

43、但能量是分布在整个有磁场存在的空间中进行，但能量是分布在整个有磁场存在的空间 能量密度能量密度 与电场能量一样，磁场能量分布于磁场存在的整个空间。将与电场能量一样，磁场能量分布于磁场存在的整个空间。将 J=H代入式，得代入式，得 11 22 11 22 m VV VS WdV dVd AHHAA H H BA HS 当当V无穷大时，无穷大时，S将包围整个磁场存在的空间，没有磁场会穿出将包围整个磁场存在的空间，没有磁场会穿出 S，所以在，所以在S上有上有H0，第二项为零，得，第二项为零，得 1 2 m V WdV B H 得磁场能量密度得磁场能量密度 1 2 m w B H 2 2 11 22

44、m B wH 对于线性、各向同性介质，有 对于线性、各向同性介质，有 例例1 求半径为求半径为a的无限长圆柱导体单位长度的内自感。的无限长圆柱导体单位长度的内自感。 解：解： ii LI ，其中，其中 i为导体柱内部的磁通。为导体柱内部的磁通。 由安培环路定理，可得导体内部的磁感应强度为由安培环路定理，可得导体内部的磁感应强度为 0 2 2 I Br a 2 0 2 0 0 22 300 4 0 11 2 222 416 a m a I WdVrrdr a II r dr a B H 内内 内内 则导体内单位长度的磁场能量为则导体内单位长度的磁场能量为 20 2 21 28 m mi W WL

45、IL I 内内 由由 例例2 求内外半径分别为求内外半径分别为a和和b的无限长同轴线单位长度的无限长同轴线单位长度 的自感。（再解例的自感。（再解例3.3.3） 解：在内外导体之间，解：在内外导体之间， a 0 b 0 , 22 II BH rr 2 2 0 0 1 2 1 2ln 224 m V b a WdV IIb rdr ra B H 外外 0 2 2 ln 2 m o Wb L Ia 外外 由上题（例由上题（例1）得）得 0 8 i L 00 ln 82 io b LLL a 0 2 I Be 00 0 1 dd dd 22 dbzdb Sdd IIz BSz 由图中可知由图中可知(

46、)tan( 3)3()zbdbd 长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路 I d z 60 b ddSz 穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I I ，根据，根据 安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角 形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。 0 31 ()d 2 db d I bd 0 3 ()ln(1) 2 Ib bdb d 0 3 ()ln(1) 2 b Mbdb Id 因此因此 故长直导线与三角形导体回路的互感为故长

47、直导线与三角形导体回路的互感为 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 简单或对称分布的静态场可以用高斯定理或安培环路定理简单或对称分布的静态场可以用高斯定理或安培环路定理 求解，但无法用于复杂的或非对称问题的求解。求解，但无法用于复杂的或非对称问题的求解。 工程中通常会遇到更复杂的情况，通常可以用求解边值问工程中通常会遇到更复杂的情况，通常可以用求解边值问 题的方法来求解。题的方法来求解。 求解边值问题的方法通常有解析法和数值法。求解边值问题的方法通常有解析法和数值法。 边值问题包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边

48、界条边值问题包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条 件，根据在场域件，根据在场域V的边界的边界S上的边界条件，边值问题类型有：上的边界条件，边值问题类型有： 第一类边值问题：其边界条件为第一类边值问题：其边界条件为 1S fS 如果如果f1(S)=0称为称为 齐次边界条件齐次边界条件 狄里赫利问题狄里赫利问题 n 或或 第三类边值问题：其边界条件为第三类边值问题：其边界条件为 1 2 1122 , S S fSfS n 纽曼问题纽曼问题 混合边值问题混合边值问题 第二类边值问题：其边界条件为第二类边值问题：其边界条件为 3.4.2 唯一性定理唯一性定理 边值问题的求解有多种方法，各种方法得

49、到的结果是否正边值问题的求解有多种方法，各种方法得到的结果是否正 确，需有理论依据。确，需有理论依据。 静电场唯一性定理的表述静电场唯一性定理的表述 区域区域V内的内的 和和 给定，在边界给定，在边界S上给定上给定 值，则拉值，则拉 普拉斯方程或泊松方程的解唯一确定。普拉斯方程或泊松方程的解唯一确定。 静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明 设有两个解设有两个解 1和和 2，分别满足方程，分别满足方程 22 12 和和 2 0120 0 令令 22 2 000000 AAA n 或或 将上式在将上式在V上积分，得上积分，得 22 000000 VVSV dVdVddV S 对于第一类和第

50、二类边值问题，在边界对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有上分别有 012 012 00 SSS SSS nnn 和和 2 0 000 00 SV dSdV n 01212 C 和和只只相相差差一一个个常常数数 112212 EEEE设设和和 12 和和描描述述同同样样的的电电场场，所所以以场场分分布布是是唯唯一一确确定定的的。 对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。 唯一性定理综述唯一性定理综述 涵义：只要给定了边界条件，标量位拉氏方程或泊氏方程的涵义：只要给定了边界条件，标量位拉氏方程或泊氏方程的 解就是唯一确定的（至多相差一个常数）解就是唯

51、一确定的（至多相差一个常数） 意义：无论用什么方法求得拉氏方程或泊氏方程的解，只要意义：无论用什么方法求得拉氏方程或泊氏方程的解，只要 满足给定的边界条件，所得的解就是正确的满足给定的边界条件，所得的解就是正确的 3.5 镜像法镜像法 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会 出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷和极化电荷将影响场的出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷和极化电荷将影响场的 分布。同样的，磁场分布也有类似问题。分布。同样的，磁场分布也有类似问题。 此时，用分离变量法求解很困难，可以用镜像法进行求解。此时，用分离变量法求解

52、很困难，可以用镜像法进行求解。 几个实例（以电场分布为例）几个实例（以电场分布为例） 接地导体板附近有一个点电荷，如图。接地导体板附近有一个点电荷，如图。 q q 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 等效电荷等效电荷 非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。 非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效接地导体柱附近有一个线电

53、荷。情况与上例类似，但等效 电荷为线电荷。电荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为一个结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为一个 或多个点电荷或线电荷的作用。或多个点电荷或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？ 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 qq 等效电荷等效电荷 镜像法的理论依据镜像法的理论依据 由唯一性定理，满足同一方程和同样边界条件的电位分布由唯一性定理，满足同一方程和同样边界条件的电位分布 的解是相同的（至多相差一个常数），所以引入像电荷（等的解是相同的（至多相差一个常数），所以引入像

54、电荷（等 效电荷）后，应该有效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件电位分布仍满足原边界条件 如果要使得这两个条件同时满足，需要合理地选择像电荷如果要使得这两个条件同时满足，需要合理地选择像电荷 的位置和电量的位置和电量 理论依据理论依据唯一性定理唯一性定理 解的可靠性解的可靠性 像电荷的确定像电荷的确定 3.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题原问题 2 , ,0;0,0 q x y zhzz q z x = h 由图

55、可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直 导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应 电荷共同作用的结果。电荷共同作用的结果。 计算机模拟的接地导体板附近计算机模拟的接地导体板附近 有一个点电荷时的电场分布图有一个点电荷时的电场分布图 显然可将感应电荷的作用用位于显然可将感应电荷的作用用位于h的像电荷的像电荷qq替代。替代。 q q z x h -h R R O 0 11 00 4 z q zRR RR 因因为为， 显然，满足边界条件，原问题不变，所得的解是正确的。显然，满足边

56、界条件，原问题不变，所得的解是正确的。 q q z x = h -h 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z0区域，原区域，原 方程不变，且有方程不变，且有 上半空间上半空间( ( z z0 0 ）的电位函数）的电位函数 q q h 222222 11 ( , , ) 4 ()() q x y z xyzhxyzh (0)z 2223 2 02() S z qh zxyh in2223 2 d d d 2() S S qhx y qS xyh 2 223 2 00 d d 2() qh q h 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为 导体平

57、面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题原问题 2 , ,0;0,0 l x y zhzz l z x = h l -h 显然可将感应电荷的作用用位于显然可将感应电荷的作用用位于 h处的像电荷处的像电荷l l替代。替代。 0 ln000 2 l z R zzRR R ， 显然，满足边界条件。显然，满足边界条件。 所以，原问题不变，所得的解是正确的。所以，原问题不变，所得的解是正确的。 R R 考察原问题是否得到满足：考察原问题是否得到满足： 由于像电荷位于由于像电荷位于z0区域，原方程不区域，原方程不 变，且有变，且有

58、 点电荷对相交半无限大导体平面的镜像点电荷对相交半无限大导体平面的镜像 q3 q = d1 d2 1 2 设：两个半无限大导体平板相互垂直相连且接地，点电荷设：两个半无限大导体平板相互垂直相连且接地，点电荷q 位于位于(d1，d2)处。处。 对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2 =q ，位于，位于d2。 -d2 q2 q1 -d1 显然，显然，q1对平面对平面2、 q2对平面对平面1 不能满足边界条件。不能满足边界条件。 只有再加上只有再加上q3后，所有边界条后，所有边界条 件才能得到满足。件才能得到满足。 123 1111 4 q rrrr 得电位分布为得电位分布为 r r1 r2

59、 r3 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于d1。 用计算机模拟的，当夹角为用计算机模拟的，当夹角为60的两个半无限大接地导体的两个半无限大接地导体 平板之间有一个点电荷平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图时，镜像电荷的位置示意图 由图可知，点电荷由图可知，点电荷q共共 有有5个像电荷个像电荷 6个电荷两两成对地分个电荷两两成对地分 别构成两个平面（包括别构成两个平面（包括 平面的延伸部分）的镜平面的延伸部分）的镜 像关系，缺一不可像关系，缺一不可 只要只要 ， n n为整数，可用镜像法求解，为整数，可用镜像法求解， 像电荷数为（像电荷数为（2n-12n-1

60、）个。）个。 n 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则 等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。 镜像电荷的确定镜像电荷的确定 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。 例例1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它 移至无穷远处