复合函数知识总结与例题

1、.第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为A， u=g(x) 的值域为 B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1) 、已知 f (x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域思路：设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 xD ，所以f的作用范围为 D，又 f 对 g( x) 作用，作用范围不变，所以g( x)D ，解得 xE ， E 为 fg( x) 的定义域。例 1.设函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1），则函数 f (lnx) 的定义域为 _

2、。解析：函数f (u) 的定义域为（0， 1）即 u (0， 1) ，所以 f 的作用范围为（0， 1）又 f 对 lnx作用，作用范围不变，所以0ln x1解得 x (1， e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（1， e）例 2.若函数 f ( x1，则函数 ff( x) 的定义域为 _。)x11解析：先求f 的作用范围，由f ( x)，知 x1x1即 f 的作用范围为x R|x1，又 f对 f(x) 作用所以 f (x)R且 f (x)1，即 ff ( x)中 x 应满足x1f ( x)1x1即1，解得 x1且 x2x11故函数 ff (x) 的定义域为xR|x1且x2（ 2）、已

3、知f g(x) 的定义域，求f ( x) 的定义域思路：设 f g( x) 的定义域为D，即xD ，由此得 g( x) E ，所以 f 的作用范围为E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以xE， E 为 f (x) 的定义域。例 3. 已知 f ( 3 2x) 的定义域为 x1， 2，则函数 f (x) 的定义域为 _。解析： f ( 3 2x) 的定义域为1， 2，即 x1， 2 ，由此得 32x1， 5所以 f 的作用范围为1，5，又 f对 x 作用，作用范围不变，所以x1，5.即函数 f ( x) 的定义域为1，5例 4.已知 f ( x24) lgx 2，则函数 f ( x) 的定

4、义域为 _。x28解析：先求 f 的作用范围，由 f (x 24) lgx2，知x20x28x28解得 x 24 4 ， f 的作用范围为(4，) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x (4，) ，即 f ( x) 的定义域为( 4，)（ 3）、已知 f g(x) 的定义域，求f h( x) 的定义域思路：设 f g(x) 的定义域为 D，即 xD ，由此得 g(x) E ， f的作用范围为 E，又 f 对 h(x) 作用，作用范围不变，所以h( x)E ，解得 x F ， F 为 fh( x) 的定义域。例 5.若函数 f (2 x ) 的定义域为1， 1，则 f (log 2 x)

5、 的定义域为 _。解析： f (2x ) 的定义域为1，1 ，即 x1，1 ，由此得 2 x1 ， 22f 的作用范围为1， 22又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x1 ， 2，解得 x2， 42即 f (log 2 x) 的定义域为2， 4评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、 已知函数 f ( x) 的定义域为0, 1 ，求函数 f ( x 2 ) 的定义域。答案： 1,

6、 12、 已知函数 f ( 32x ) 的定义域为 3, 3 ，求 f (x ) 的定义域。.答案： 3, 93、 已知函数 yf ( x2) 的定义域为 ( 1, 0) ，求 f (| 2x1 |) 的定义域。(1(1,3, 0)答案：224、设 fxlg2x，则 fxf2的定义域为（）2x2xA.4,00,4B.4, 11,4C.2,11,2D.4,22,42x2,2x得， f ( x) 的定义域为x |2x22解：选C. 由0。故，解得2x222.xx4, 1 U 1,4。故 fxf2的定义域为4,1U1,42x5、已知函数f (x) 的定义域为 x(1,3 ) ，求 g (x)f (

7、ax)f ( x )(a0) 的定义域。22a1ax3 ,1x3 ,解析由已知，有222a2a1x3 ,a3 a.x2a222（ 1）当 a 1时，定义域为 x |1x3 ；22（2）当 33 a ，即0a1 时，有1a ，2a22a2定义域为 x |ax3a ；22（3）当 33 a ，即 a1时，有1a ，2a22a2定义域为 x |1x3 .2a2a故当 a1 时，定义域为 x |1x3 ；2a2a当0a1时，定义域为a3. x |x2a2点评对于含有参数的函数，求其定义域， 必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题.（1）引理证明已知函数 yf ( g(x)

8、 . 若 ug (x) 在区间 (a, b）上是减函数，其值域为 (c ， d) ，又函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，那么，原复合函数yf ( g(x) 在区间 ( a,b）上是增函数 .证明：在区间 (a,b ）内任取两个数 x1 , x2 ，使 ax1x2b因为 ug( x) 在区间 (a,b ）上是减函数，所以 g( x1 )g( x2 ) , 记 u1 g( x1 ) ,u2 g(x2 ) 即 u1u2, 且 u1 , u2(c, d)因为函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，所以f (u1 )f (u2 ) , 即f ( g (x1 ) f ( g

9、(x2 ) ，故函数 yf ( g( x) 在区间 (a,b ）上是增函数 .（ 2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便， 我们把它们总结成一个图表：yf (u)增 减 ug(x)yf ( g( x)增减增减增减减增以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”.（ 3）、复合函数yf (g (x) 的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：yf (u) 与 ug ( x) 。分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf (g (x) 为增函数；若

10、两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf ( g( x) 为减函数。（ 4）例题演练例 1、 求函数 ylog 1 (x22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x 22x30x3或 x1.单调减区间是(3,)设 x1 , x2(3,)且 x1x2 则y1 log 1 (x122x13)y2log 1 (x222x23)22(x122x13)(x22 2x2 3) = (x2x1 )(x2x1 2) x2x13 x2x10 x2x12 0 ( x122x13) (x222x23)又底数 0112 y2y10即 y2y1 y 在 (

11、3,) 上是减函数同理可证： y 在 (,1) 上是增函数例 2、讨论函数f() log(322 1) 的单调性 .xaxx解由 3x22x10 得函数的定义域为1 x | x1,或 x.3则当 a1 时，若 x1 ，u3 2 2x121)为增x为增函数， f (x) loga (3x 2x函数 .若 x13x22x1为减函数 .， u3f( )log(322x1)为减函数。xax当0a1 时 ， 若 x1 ， 则 f (x)log a(3x22x 1) 为 减 函 数 ， 若 x1， 则3f (x)log a(3x22x1) 为增函数 .例 3、. 已知 y= log a (2-ax ) 在

12、 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 .解： a 0 且 a 1当 a1 时，函数 t=2-a x 0 是减函数由 y= log a (2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t是增函数， a 1由 x0， 1时， 2- a x2-a 0, 得 a 2, 1 a 2当 0a0 是增函数由 y= log a (2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t 是减函数， 0a1由 x 0， 1时， 2- a x2-1 0, 0a1综上述， 0a1 或 1 a2.例 4 、 已 知 函 数 f ( x2)ax2(a3) x a2 （ a 为

13、负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点( m 2,0), mR ，设 g( x)f f ( x), F (x)pg (x)f ( x) . 问是否存在实数 p( p0) 使得F (x) 在区间 (, f (2) 上是减函数，且在区间( f (2),0) 上是减函数？并证明你的结论。解析由已知 f (m2)0 ，得 am2(a3)ma20 ，其中 mR,a0.0 即 3a22a 90 ，解得 127a12 7 .33 a 为负整数， a1. f ( x2)x4x3( x2)21 ，即 f ( x)x21.g( x)f f ( x)(x21)21x42x 2 ，F()pg(x)f( )px4(2p

14、1)x21.xx假设存在实数p( p0)，使得F (x)满足条件，设x12 ，x F ( x1 )F (x2 )( x2x2 )p( x2x2 )2 p1.1212 f (2)3 ，当1,2(,3)时，F (x)为减函数，xx F ( x1 )F ( x2 ) 0 ， x2x20, p( x2x2 ) 2 p 1 0.1212 x13, x23 , x12x2218 ,p( x12x22 ) 2 p116 p1 ,16p10.当 x1 , x2(3,0) 时 ,F (x)增函数 , F (x1)F (x2 )0. x12x220, p( x12x22 )2 p116p1,16 p 1 0.由、

15、可知p1，故存在 p1 .1616（ 5）同步练习：1函数 y log 1（ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2A（， 1）B（ 2，）C（， 3 ）D（ 3 ，）22解析： 先求函数定义域为 （ o，1）（2，），令 t （x） x2 3x 2，函数 t （ x）在（， 1）上单调递减，在（ 2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函2数 y log 1 （ x 3x 2）在（ 2，）上单调递减2答案： B2 找出下列函数的单调区间.（ 1） ya x2 3x 2 (a1) ；（ 2） y2 x2 2x 3.答案： (1) 在 (, 3 上是增函数，在 3 ,) 上是减函数。22（

16、 2）单调增区间是 1,1 ，减区间是 1,3 。3、讨论 y log a (a x1), (a0,且 a0) 的单调性。答案： a1,时 (0,) 为增函数， 1a0时， (,0) 为增函数。4求函数 y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（）x2 5 4 0，解得x 4 或x 1，所以x（， 1）（ 4，xx），当 x（， 1）（ 4，）， x2 5x 4 R，所以函数的值域是 R因为函数y log 1 （ x2 5x 4）是由y log 1（ x）与（ x） x25x 4 复合而33成，函数 y log 1（ x）在其定义域上是单调递减的，函数（ x） x

17、2 5x 4 在（3， 5 ）上为减函数，在5 ，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调22性， y log 1 （ x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log 1（ x）为减函数、（ x）33x2 5x 4 也为减函数的区间，即（，1）；y log 1 （ x2 5x4）的减区间是定义域内3使 y log 1（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4 为增函数的区间，即（ 4，）3变式练习一、选择题1函数 f （ x） log 1( x1) 的定义域是（）2A（ 1，）B（ 2，）C（， 2）D (1，2解析： 要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，.x10所以log

18、 1 ( x1)0解得 1 x 22答案： D2函数 y log 1（ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2A（， 1）B（ 2，）C（， 3 ）D（ 3 ，）22解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令 t （ x） x2 3x 2，函数 t （ x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y log 1 （ x2 3x 2）在（ 2，）上单调递减2答案： B3若 2 lg （x 2y） lg x lg y，则 y 的值为（）xA 4B1或14C 1或 4D 14错解： 由2 lg （ x 2y） lg x lg y，得（ x 2y） 2 x

19、y，解得 x 4y 或 x y，则有y 1 或 x 1x 4 y答案：选B正解： 上述解法忽略了真数大于0 这个条件，即x 2y 0，所以 x2y所以 xy 舍掉只有 x 4y答案： D4若定义在区间（1，0）内的函数f （ x） log 2a （ x 1）满足 f （ x） 0，则 a的取值范围为（）A（0， 1 ）B（ 0， 1）C（ 12，）D（ 0，）2解析： 因为 x（ 1， 0），所以 x 1（ 0， 1）当 f （ x） 0 时，根据图象只有0.2a l ，解得 0 a 1 （根据本节思维过程中第四条提到的性质）2答案： A5函数 y lg （2 1）的图象关于（）1xA y 轴

20、对称B x 轴对称C原点对称D直线 y x 对称解析：（2 1）xxylglg1 x1ylg1，所以为奇函数形如或1xy lgxx1 x11的函数都为奇函数答案： C二、填空题已知 y log a （ 2 ax）在 0， 1上是 x 的减函数，则a 的取值范围是 _解析： a 0 且 a 1（ x） 2 ax 是减函数，要使y log a （ 2 ax）是减函数，则 a 1，又 2 ax 0a 2 （ 0 x 1）a 2，所以 a（ 1， 2）ax答案： （ 1， 2）7函数 f （ x）的图象与 g（ x）（ 1 ） x 的图象关于直线 y x 对称，则 f （2x x2）3的单调递减区间为

21、 _解析： 因为 f （ x）与 g（ x）互为反函数，所以f （ x） log1 x3则 f （ 2x x2） log 1（ 2x x2），令（x） 2x x20，解得0 x 23（ x） 2x x2 在（ 0，1）上单调递增，则f （ x）在（ 0， 1）上单调递减；（ x） 2x x2 在（ 1，2）上单调递减，则f （ x）在 1， 2）上单调递增所以 f （ 2x x2）的单调递减区间为（0，1）答案：（ 0， 1）8已知定义域为 R 的偶函数 f （ x）在 0，上是增函数，且f （ 1 ） 0，2则不等式 f （ l og4x） 0 的解集是 _解析： 因为 f （ x）是偶函数

22、，所以 f （ 1 ） f （ 1） 0又 f （ x）在 0，221上是增函数，所以 f （ x）在（， 0）上是减函数所以f （ l og x） 0l og x或442.1l og4x解得 x 2 或 0 x 1 2答案： x2 或 0 x 12三、解答题9求函数y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（ x） x25x 4 0，解得 x4 或 x 1，所以 x（， 1）（ 4，），当 x（， 1）（ 4，）， x2 5x 4 R，所以函数的值域是 R因为函数y log 1 （ x2 5x 4）是由y log 1（ x）与（ x） x25x 4 复合而33成，

23、函数 y log 1（ x）在其定义域上是单调递减的，函数（ x） x2 5x 4 在（3， 5 ）上为减函数，在5 ，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调22性， y log 1 （ x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log 1（ x）为减函数、（ x）33x2 5x 4 也为减函数的区间，即（，1）；y log 1 （ x2 5x4）的减区间是定义域内3使ylog 1（ x）为减函数、（ x）x2 5 4 为增函数的区间，即（ 4，）x310设函数 f （ x）22x ， lg 3x2x353（ 1）求函数 f （ x）的定义域；（ 2）判断函数 f （ x）的单调性，并给出证

24、明；（ 3）已知函数 f （ x）的反函数 f 1（x），问函数 yf 1（ x）的图象与 x 轴有交点吗 ?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由2x 0，解得 x5且 3 x 3取交集得3 x解：（ 1）由 3x 50 且 32x32223 32（ 2）令（ x）2，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；3x52x 16随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数32x2x332 x 是减函数，所以又 y lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y lg 32 x3.f （x）2 lg2 x 是减函数33x2 x53（ 3）因为直接求 f （ x）的反函数非常

25、复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数 f （ x）的反函数f 1（ x）与工轴的交点为（x0， 0）根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （ x）与 y 轴的交点是（ 0， x0），将（ 0， x0）代入 f （ x），解得x0 2所以函数 y f 1（ x）的图象与 x 轴有交点，交点为（2 ，0）。55一 指数函数与对数函数同底的指数函数yax 与对数函数 ylog ax互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方

26、法有：以0 和 1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1（ 1）若 a2ba1，则 logbb ， logb a ， log a b 从小到大依次为；2x3y5za2x（ 2）若，且， ， 都是正数，则， ，从小到大依次为；xyz3y5z（ 3）设 x0，且 axbx1 （ a0 ， b0 ），则 a 与 b 的大小关系是（）（ A ） b a 1（ B ） a b 1（ C ） 1 ba （ D ） 1 a b解：（ 1）由 a2ba1得 ba ，故 log b blog b a1log a b aa（ 2）令 2x3y5zt ，则 t1， xlg t， ylg t， zlg t，lg 2lg 3lg 5 2x 3 y2lg t3lg tlg t (lg9lg8)0， 2x3y ；lg 2lg3lg 2lg3同理可得：2x 5z0 ，2x5z， 3y2x 5z （ 3）取 x1 ，知选（ B ）例 2已知函数f ( x)a xx2 (a1)，x1求证：（ 1）函数 f ( x) 在 ( 1,) 上为增函数；（ 2）方程 f ( x)0 没有负数根证明：（ 1）设 1 x1x2 ，则 f (x1) f (x2 ) a x1x12ax2x22x11x21a x1ax2x12 x22a x1a x23( x1x2 )，x11 x21(x1 1)( x21