数列章节课后习题及答案

1、数列习题及答案详解一、选择题 1，则 a 的值为 ()1在数列 a 中， a 1， a 2an1nn 15A30B 31C32D 33解析 a5 2a4 1 2(2a3 1) 1 22a3 2 1 23a2 22 21 24a1 23 22 2 1 31. 答案 Bnn2，则 a8的值为 (2设数列 a 的前 n 项和 S nA15B 16C49D 64解析由于 Sn2， a11 1. n S当 n2时， an Sn Sn 1n2 (n 1)2 2n 1，又an 2n 1， a8 281 15.答案 A)a1 1 适合上式3设数列 an 是等差数列，其前n 项和为 Sn，若 a6 2 且 S5

2、 30，则 S8 等于()A31B 32C33D 3426，1a1 3解析a 5d 2，解得由已知可得1，45a 10d30d 3.87S8 8a12 d 32.答案B4已知 an 是等比数列， a22， a51，则公比 q 等于 ()411A 2B 2C 2D. 2解析由题意知： q3 a51， q1.a822答案D5在等比数列 an 中， a4 4，则 a2a6 等于 (A 4B 8C16D32解析由等比数列的性质得：2a2a6 a4 16.答案C6设 an 是公差不为0 的等差数列， a1 2 且()A.n27nB.n25nC.n23n434432)a1，a3， a6 成等比数列，则 a

3、n 的前 n 项和 SnD n2 n7设nn 的前 n 项和，25S5 ()S 为等比数列 a8a a 0，则 S2A 11B 8C 5D 11解析设等比数列的首项为 a1，公比为 q.因为 8a2 a5 0，所以 8a1qa1q4 0.q3 8 0， q 2，5a (1 q5 )1qS1 S21 qa1 (1 q 2 )1 q5 11.1 q2答案An的前 10 项的和nnn 项的和为n，则数列S8等差数列 a 的通项公式为a 2n1，其前Sn为()A120B 70C 75D 100解析 Snn(3 2n1)n(n2) ， Sn n 2.数列 Sn2n前 10 项的和为： (12 10)20

4、 75.n答案Cn9设数列( nn ()1) 的前 n 项和为 S ，则对任意正整数n，Sn(1) n1B.( 1) n11C.(1) n1(1)n1A.222D.21) n 解析因为数列 ( 1) n 是首项与公比均为1的等比数列，所以n( 1)1(S 1(1)( 1) n12.D答案， aS ()10等比数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a 1，且 4a 2a成等差数列，则nn11,234A 7B 8C15D161 2，即 q2 4q 4 0， q解析设数列 an 的公比为 q，则213，111244a 4a a4a q 4a a q 2. S4 1 2 15.答案 C11已知数列 a

5、 是各项均为正数的等比数列，数列 b 是等差数列， 且 a b ，则有 ()nn67A a3 a9b4b1039410B a a b bC a3 a9b4 b1039410的大小关系不确定D a a与 b b解析 a3a9a1 q2a1q8a1 (q2q8 ) 2a1 q 2 q82a1 q 52a62b7 b4b1012已知等差数列an的前n项和为S (nN )，且S33,S77 ，那么数列an的n公差 d（）A 1B 2C 3D 4答案 A二、填空题n113若 Sn 12 3 4 ( 1)n， S50 _.解析S50 1 23 4 49 50 ( 1) 25 25.答案 2514等差数列

6、an 前 9 项的和等于前4 项的和若 a1 1，ak a4 0，则 k _.解析设 an941 1，得 9198431 的公差为d，由 S S及 a2 d 412 d，所以 d 6.又ak a4 0，所以 1 (k 1)(1)1 (41)( 1 )0 ，即 k 10.1066答案15.九章算术 “竹九节 ”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 _升解析设竹子从上到下的容积依次为a1，a2， ， a9，由题意可得 a1 a2 a3 a4 3， a7a a4，设等差数列 a 的公差为d，则有 4a 6

7、d 3， 3a 21d 4，由可得 d89n11 7 ， a1 13，所以 a5 a1 4d 13 47 67.66222266 66答案67662 2n1，则其通项公式为 _nn16. 已知数列 a 的前 n 项和S 3n解析 当 n 1 时， a1S1 312 21 1 2；当 n2时， an n n12 2n1 3( n 1)2 2(n 1) 1 6n 5，显然当 n1 时， S S 3n不满足上式2， n1，故数列的通项公式为an 6n 5， n 2.2， n 1答案an6n 5， n217. 等比数列 an 中，若 a11，a4 4，则公比 q _；|a1| |a2| |an| _.

8、2解析设等比数列 an 的公比为 q，则 a4 a1 q3，代入数据解得q3 8，所以 q 2；等比数列 | an| 的公比为 |q| 2，则 |an|12n 1，所以 |a1| |a2| |a3| |an| 1(1 2 2222 2n 1) 1(2n 1) 2n 1 1.22答案 22n 1 12三、解答题18. 知数列 an 的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数，且a1 2， a2 2， S3 6.(1) 求 Sn；(2) 证明：数列 an 是等差数列 2 A B C，(1) 解 设 Sn An 2 Bn C( A0)，则 0 4A2B C，6 9A3B C，解得： A 2， B 4，

9、 C 0.Sn 2n2 4n.(2) 证明当 n 1 时， a1 S1 2.当 n2时， an Sn Sn 12n2 4n 2( n 1)2 4(n 1) 4n 6.an 4n 6(nN * )当 n 1 时符合上式，故 an 4n6， an 1 an 4，数列 an 成等差数列19. 知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 24n(n N* )(1) 求 an 的通项公式；(2) 当 n 为何值时， Sn 达到最大？最大值是多少？解 (1)n 1 时， a1 S1 23.n2时， an Sn Sn1 n2 24n(n1) 224(n 1) 2n 25.经验证， a1 23 符合 an 2n

10、 25， an 2n 25(n N * )(2) 法一 Sn n224n， n12 时， Sn 最大且 Sn 144.法二 an 2n 25，25an 2n 25 0，有 n. a12 0，a130，2故 S12 最大，最大值为144.112 2n1n 1n n*)20. d 为非零实数， an C nd 2Cnd (n 1)C nd nCnd ( nNn(1) 写出 a1， a2， a3 并判断 an 是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2) 设 bn ndan( nN * )，求数列 bn 的前 n 项和 Sn.解 (1) 由已知可得 a1 d， a2 d(1 d)， a3

11、d(1 d)2.当 n2，k1时， kkk1nCn Cn1，因此nknn 1kk1an k k1kd kd(d 1)nCndCn 1dCn 1d.k 1nk 1k 0由此可见，当d1 时， an 是以 d 为首项， d 1 为公比的等比数列；当 d 1 时， a1 1，an 0(n 2)，此时 an 不是等比数列(2) 由 (1)可知， an d(d 1)n 1，从而 bn nd2(d 1)n 1Sn d21 2(d1) 3(d 1)2 (n1)(d1)n 2 n(d 1)n 1 当 d 1 时， Sn d2 1.当 d 1 时，式两边同乘d 1 得(d 1)Snd2(d 1) 2(d1)2

12、(n 1)(d 1)n 1 n(d1) n，式相减可得dSn d21 (d 1) (d 1)2 (d 1)n 1 n(d 1)n d 2 (d1) n1 n(d 1) n .d化简即得 Sn( d1)n (nd1) 1.综上， Sn (d 1)n(nd 1) 1.21. 知数列 an 是首项为 a11，公比 q 1的等比数列，设bn2 3log 1an (n N* )，数444列 cn 满足 cn anbn.(1) 求数列 bn 的通项公式；(2) 求数列 cn 的前 n 项和 Sn. 尝试解答 (1)由题意，知 an1n(n N* )，又 b3loga241n，故 bn 3n 2(n N*

13、)n4(2) 由 (1)，知 an 14 n， bn 3n 2(nN * )， cn(3n 2) 1 n(n N* ) 4S 1 41 2 7 1 3 (3n 5) 1 n1 (3n 2) 1 n，n 1于是11 2 413 71 4 (3n 5) 1n (3n2)1 n 1n44444，4S 1两式相减，得3 n1 31213 1n (3n 2) 1n 11 (3n 2) 1n 1，4S 4444424Sn 2 3n 2 1 n(n N * )33422. 数列 an 的前 n 项和记为 Sn， a1 1， an 1 2Sn 1(n 1)(1) 求 an 的通项公式；(2) 等差数列 bn 的各项为正，其前n 项和为 Tn，且又 a1 b1， a2 b2， a3 b3 成等比数列，求Tn.T3 15，解 (1)由 an 1 2Sn1，可得 an 2Sn 11(n 2)，两式相减得 an 1 an 2an，则 an 13an(n 2)又 a2 2S1 1