高三数学二轮复习(4)函数与方程思想精品教学案

1、【考情分析】观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思 想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始 终在 20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数 与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用 技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应 用可分为逐步提高的四个层次： ( 1)解方程；( 2)含参数方程讨论； (3)转化为对方程的研 究，如直线

2、与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；( 4)构造方程求解。预测2013年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；是运用函数、方程、不等式相互转化的观 点处理函数、方程、不等式问题；是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何 等问题在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查特别注意客观形题目，大题 一般难度略大。【知识归纳】函数与方程(不等式)的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程， 求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程(不等式) 思想的运用使我们解决问题的

3、重要手段。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x) = 0的解就是函数y = f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数 y= f(x)也可以看作二元方程 f(x) y= 0通 过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借 助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨 论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方 法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是

4、中学数学的 基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数 关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观 察、分析和解决问题；2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方 程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处 理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数的思想与

5、方程的思想的关系 在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决.对于函数y = f(x)，当y= 0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数y = f(x)看作二元方程y f(x) = 0，函数与方程可相互转化。4.函数方程思想的几种重要形式(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y = f(x),当y = 0时，就转化为方程f(x) =0，也可以把函数式 y = f(x)看做二元方程y f(x) = 0。函数问题(例如求反函数，求 函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x) = 0，就

6、是求函数y = f(x)的零点；(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y = f(x)，当y0时，就转化为不等 式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3 )数列的通项或前 n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题 十分重要；(4)函数f(x) = (ax b)n (n N*)与二项式定理是密切相关的，禾U用这个函数用 赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5 )解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二 元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面

7、积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数 表达式的方法加以解决。【考点例析】题型1:函数思想在方程中应用1 2例 1. (2012 咼考山东)设函数 f(x) , g(x) ax bx(a,b R, a 0)，若 y f (x) x的图象与yg(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(心yj, B(x2, y2),则下列判断正确的是A.当a0时，X1X20, Y1Y20B.当 a 0 时，x1X20, Y1Y20c.当a0时，X1X20, Y1Y20D.当 a0时，X1X20, Y1y20【答案】B；【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当a0时，要想则有如图，做出点A关于原点的对

8、称点 C,则C点坐标为满足条件,由图象知X1 X2, y1 y2,即为 X2 0畀 y? 0,同理当a 0时，则, yiy20，故答案选B。(y1),另法:F(x) x32bx 1，则方程F(x) 0与f (x) g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点2F( b) 0,因为 F(0)2Xi,X2.由F (x) 0得x 0或x b .这样，必须且只须F(0) 0或31 ,故必有F(2b) 0由此得b 3 2 .不妨设人X2，则X2 b 12 .323所以 F(x) (x x)(x 32)2，比较系数得x3 4 1，故 xi1 3 2. xi x2 1 3 2 0 ,由此2 2知yi y21丄0

9、,故答案为Boxi x2xix2题型2:函数思想在不等式中的应用例2. (20i2高考浙江)设 a大于0, b大于0.A.若 2a+2a=2b+3b，则 ab B .若 2a+2a=2b+3b，则 abC.若 2a-2a=2 b-3b,则 a bD.若 2a-2a=a b-3b，贝U avb【答案】A;【解析】若2a 2a 2b 3b，必有2a 2a 2b 2b .构造函数：f x 2x 2x，则f x 2x l n 2 2 0恒成立，故有函数 f x 2x 2x在x 0上单调递增，即a b成立.其 余选项用同样方法排除故选Ao点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息

10、，构造方程 后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减 少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究 函数的方法将问题解决。题型3:函数思想在实际问题中的应用例3. (20ii陕西理i4).植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵， 相邻两棵树相距i0米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为(米)【分析】把实际问题转化为数学模型，然后列式转化为函数的最值问题；【解】(方法一)设树苗放在第 i个树坑旁边(如图)，Illi1JJJ111

11、1W*11112i 19 20那么各个树坑到第i个树坑距离的和是:s (i i) 10 (i 2) 10 L (i i) 10 (i i) i 10 L (20 i) 10i(i 1)(20 i)(i 120)210 i ii (20 i)10(i21i210)。2 2所以当i 10或11时，s的值最小，最小值是 1000,所以往返路程的最小值是2000米。(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一

12、个树坑旁，则有路程总和是10 (1 2 L 19) 2 10 191 19 2 3800 ；树苗放在第210个(或第11个)树坑旁边时，路程总和是：10 (1 2 L 9) 10 (1 2 L 10) 29 (1 9)10 (1 10)102 102 900 1100 2000,2 2所以路程总和最小为 2000米.点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效 工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。题型4:函数思想在数列中的应用例4设等差数列an的前n项和为S,已知a3 12 , S12 0, S130,(1)求公差d的取值范围；

13、(2 )指出S1、S2、S3，S12中哪一个最大，并说明理由。解析：(1 )由 a312得：a112 2d ,15652d 0, S13 = 13a1 78d24d 37(2) Snna1Ud dn2(12 5 d)n2 2 2 d0, Sn是关于n的二次函数，对称轴方程为：x = 5.245d 3 ,二 6 72当n= 6时，Sn最大。点评：数列的通项或前丨分重要。题型5:函数思想在立体几何中的应用例5. (1) (2012高考江西)如右图， 侧棱SC上一动点，过点E垂直于12130。即：y2 (m+ n)y + (mn12) 0 ,不等式的解集为(1,7)，则 1 (m n) mn 120

14、。497(m n) mn 120m 1 y =n 5解得：m 5或 n 1(也可： 由解集(1,7)而设(y + 1)(y 7) 0或b2 4acW0的形式，可利用根的判别式构造一元二 次方程。题型10：方程思想在三角知识中的应用例 10 . ABC中，求证：cosA cosB cosCw -8证明：设 k= cosA - cosB - cosC= 丄cos(A + B) + cos(A B) cosC= - cosC+ cos(A 2 2B)cosC ;整理得：cos 2C cos(A B) cosC+ 2k = 0,即看作关于 cosC的一元二次方程。= cos 2 (A B) 8k0,

15、即卩 8kwcos 2(A B) 1;/ k 1 即 cosA cosB cosCw 1。8 8点评：既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA - cosB - cosC=-1 cos 2 C+ 丄 cos(A B) cosC= 2 21 cosC cos(A B) 2 + 1 cos 2 (A B) w 1 cos 2 (A B)2 1。8题型11:函数零点与方程的解例11 . (1) (2012年高考北京)函数1f(x) X至(!)x的零点个数为(2A. OB. 1C. 2D. 3【答案】B；【解析】：函数f(x) x2 ( )x的零点，即令f(x) 0 ,根据此题可得x2 (

16、)x,在平面2 2直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B.点评：函数的零点、方程的根以及函数图像与x轴的交点之间存在相互转化关系。本题主要考察学生对方程的根与函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的 方法。(2)已知函数f (x) 2x ln(1 x)，则方程f (x)0在(2 , 1)内有没有实数解?说明理由?解析：由基本初等函数的性质可知函数f(x)2xln(1x)在其定义域(,1)内的图象连续，112(1 ) In1ee-0, e且有 f (1 e) 2(1 e) In e 3 2e 0,f(1-)e1于是有 f(1 e) f

17、 (1-)e0。e , 1 1)e内至少有-个零点，函数f (x)在区间(1即方程f (x)0在区间(:1e, 11-) (e2 , 1)内至少有一个实数解点评：本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用。【方法技巧】1函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关 系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象， 抽象其数学特征，建立函数关系；2 在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身 各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想；3 函数与方程是两个不同的概念

18、，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表 达式，那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如 果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以 分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以 用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。 在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。【专题训练】一、选择题(本题每小题 5分，共60分)1 .设直线 ax+by+c

19、=O的倾斜角为，且sin +cos =0,则a, b满足()Aa b 1 B. a b 1 C.ab 0 D . ab 02.设P是60o的二面角l内一点，PA平面，PB 平面，A,B为垂足，PA4,PB 2,则AB的长为()A.2、. 3 B . 2 .5 C .2、7D . 4,23.右an是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前 n 项和 Sn0成立的最大自然数门是( )A .4005 B . 4006C .4007D.40084 .每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有( )A .2种B . 3种 C.4种D5种5 .设函数f(x)1xx(xR)，

20、区间M=a，b( ag( a) g( b)成立的是()A. ab0B. ab0D. abb,则双曲线 丄 1的离心 a b率e等于()A.仝 B. Wc丄 D.324212天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第nn 49*天的维修保养费为 49元(n N),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的10这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了()A. 800 天 B . 1000 天 C . 1200 天 D . 1400 天二、填空题(本题每小题 4分，共16分)113若(x 2)n的展开式中常数项为一20,则自然数n =亠x14. xo是x的方程ax

21、=log ax(0 a1)的解，则xo,1, a这三个数的大小关系是.15. 已知函数y f (x)与y f 1(x)互为反函数，又y f1)与y g(x)的图象关于直线 y x 对称，若 f (x) log1 (x22)(x0)，则 f 1 (x) ,2g(V6) 。16. 已知矩形 ABCD的边AB a, BC 2, PA 平面ABCD, PA 2,现有以下五个数 据：1 (1) a-;(2) a 1;(3)a. 3 ;(4)a2;(5) a 4,当在 BC 边上存在点 Q ,2使PQ QD时，则a可以取。(填上一个正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共 6小题，共74分。解答应写出文字

22、说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 12 分)已知集合 A=x| x - ax+a - 19=0,集合 B=x|log 2( x - 5x+8)=1, 集合 C=x| mx 2x 8=1, m 0, I m 丰 1满足 An B , A n C=，求实数 a 的值.18. (本小题满分12分)有一组数据 亠必，,xn (x1 x2xn)的算术平均值为10,若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9 ;若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1) 求出第一个数 捲关于n的表达式及第n个数Xn关于n的表达式；(2 )若X1,X2, ,xn都是正整数，试求第n个数Xn的最

23、大值，并举出满足题目要求且 Xn取 到最大值的一组数据.19. (本小题满分12分)某公司生产的 A型商品通过租赁柜台进入某商场销售 .第一年， 商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件 70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为 p%勺管理费(即销售100元要征收p元)， 于是该商品的定价上升为每件70 元，预计年销售量将减少 p万件.1 p%(1 )将第二年商场对该商品征收的管理费y (万元)表示成 p的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收 管理费的比率p%勺范围是多少

24、？(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额， 则p应为多少？1 220. (本小题满分12分)求函数f(x) ln(1 X) -x2在0 , 2上的最大值和最小值4221. (本小题满分12分)已知二次函数 f(x)=ax+bx( a, b为常数，且az 0)满足 条件：f(x 1)=f (3 -x)且方程f (x)=2x有等根。(1 )求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数 m n (m 0及p 0得定义域为0p 14,得7100 p(118 10p) p 14.2化简得 p 12P+20W 0，即(p 2) ( p 10)w 0,解得 2 p 10

25、. 故当比率在2% 10沟内时，商场收取的管理费将不少于14万元.(3) 第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为70p%(11.8 p) (2 pw 10)70 882 g ( p) =( 11.8 p) =700 (10+)为减函数，1 p%p 100g ( p) maX=g ( 2) =700 (万元).故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元.111120. 解：f (x)X,X 0,1x21 x 2化简为x2 x 2 0,解得X12(舍去),x21.当0 x 1时,f (x) 0, f (x)单调增加；当1 x2时,f (x) 0, f(x)单调减少.1所以f (1) In 2-为函数f (x)的极大值.4又因为 f(0)0, f (2) ln3 10,