八级数学下册 第一章 三角形的证明 1.1.1 等腰三角形课件 （新版）北师大版

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标 北师北师 第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 学习新知学习新知检测反馈检测反馈 问题思考问题思考 我们已经证明了有关平行线的一些结论我们已经证明了有关平行线的一些结论, ,运用下面的公运用下面的公 理和已经证明的定理理和已经证明的定理, ,我们还可以证明有关三角形的一我们还可以证明有关三角形的一 些结论些结论. . 我们已学过的部分基本事实我们已学过的部分基本事实: : 1 1. .两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, ,那么那么 这两条直线平行；这两条直线平行； 2 2. .两条平行直线被第三条直线所

2、截两条平行直线被第三条直线所截, ,同位角相等；同位角相等； 3 3. .两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ( (SAS) )； 4 4. .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ( (ASA) )； 5 5. .三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等 ( (SSS) ). . 你能用上面的公理证明下面的命题吗？你能用上面的公理证明下面的命题吗？ 两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)(AAS) 证明证明: : A=A,C=C A=A,C=C（已

3、知）（已知）B=BB=B（三角形内角和定（三角形内角和定 理）理） 在在ABCABC与与ABCABC中中 A=A A=A （已知）（已知）, , AB=AB AB=AB（已知）（已知）, , B=B B=B （已证）（已证）, , ABCABCABCABC（ASAASA）. . A B C A B C 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC和和ABCABC中中, , A=A, C=C, AB=AB.A=A, C=C, AB=AB. 求证求证: :ABCABCABC.ABC. 定理定理: : 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角 形全

4、等（形全等（AASAAS）. . 在在ABCABC与与ABCABC中中 A=A A=A C=C C=C AB=AB AB=AB ABCABCABCABC（AASAAS）. . A A B B C C AA BB CC w证明后的结论证明后的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? ? 推论推论: : 等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的中线底边上的中线 底边上的高互相重合底边上的高互相重合( (三线合一三线合一).). 你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗你能利用已有的公理和定理证明

5、这些结论吗? ? 定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. . 等腰三角形的两底角相等 按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质. 定理:等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为:等边对等角. 已知:如图所示，在ABC中，AB=AC. 求证B=C. 解析我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相 等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启 发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角 形,从而证明这两个底角相等. 证明:取BC的中点D，连接AD.(如图所示) AB=AC，BD=CD，AD=AD， ABD ACD(SSS). B=C

6、 (全等三角形的对应角相等). 已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC. 求证：求证： B= B= C.C.A A B BC C D D 证明：证明： 作底边的中线作底边的中线ADAD， 则则BD=CDBD=CD AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) BD=CD ( BD=CD ( 已作已作 ) ) AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) BAD BAD CAD (SSS).CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).). 在在BADBAD和和CADCAD中中 方法二：作底边上的中线方法二：

7、作底边上的中线 已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC. 求证：求证： B= B= C.C.A BC D D 证明：证明： 作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则 BDA=CDA=90BDA=CDA=90 AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) RtRtBAD RtBAD RtCAD (HL).CAD (HL). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).). 方法三：作底边的高线方法三：作底边的高线 在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中 三线合一三线合一

8、 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合. 证明:过顶点A作BAC的平分线AD,交BC于点D, AD是ABC中的角平分线, BAD=CAD. 在ABD和ACD中， ABAC ADAD BADCAD ， ， ， ABD ACD(SAS), BD=CD(全等三角形的对应边相等), ADB=ADC(全等三角形的对应角相等). AD是BC边上的中线, BDA=90, AD是BC边上的高, 等腰三角形顶角的平 分线、底边上的中线及底 边上的高线互相重合. 知识拓展“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中 线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形” 作为一个前提条件得到的三

9、个真命题,在学习等腰三角形 的性质定理后,可将该定理作如下的延伸. 如图所示，已知ABC，AB=AC，1=2， ADBC，BD=DC中，若其中任意两组成立,可推出其 余两组成立. A CB D 1 2 AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知).). BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）. . AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).). 1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一） AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).). BD=CD, 1=2BD=CD,

10、 1=2（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一） 综上可得：综上可得：如图如图, ,在在ABCABC中中, , 检测反馈检测反馈 解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线 是一条.故选B. 1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条 数共为(重合的算一条) () A.9 B.7C.6D.5 B 2.在ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是 () A.A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线 B.A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高线 C.B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高线 D.C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线 解析:本

11、题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B. B 解析:因为110的角只能是顶角,所以其余两角均为35.故填 35,35. 3.若等腰三角形中有一个角为110,则其余两角分 别为 . 解析解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底. 4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外 两边的长分别为 . 35,35 6 cm，2 cm或4 cm，4 cm 5.如图所示,在ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且 AD=BD=BC.求A的度数. 解解:设A=x, AD=BD,1=A. 2=1+A=2x. BD=BC,C=2=2x. AB=AC, ABC=C=2x. 由三角形内角

12、和定理可知A+ABC+C=180,即 5x=180, 解得x=36.A的度数为36. 6.(2015佛山中考)如图所示，ABC是等腰三角形，AB=AC.请你 用尺规作图将ABC分成两个全等三角形，并说明这两个三角形全 等的理由.(保留作图痕迹,不写作法). 解:由作图可知BAD=CAD，又AB=AC， AD=AD，则ABD ACD(SAS). （1 1）如果等腰三角形的一个底角为）如果等腰三角形的一个底角为5050， 则其余两个角为则其余两个角为_ _和和_ （2 2）如果等腰三角形的顶角为）如果等腰三角形的顶角为8080，则它的，则它的 一个底角为一个底角为_ （3 3）如果等腰三角形的一个

13、角为）如果等腰三角形的一个角为8080，则其，则其 余两个角为余两个角为_ （4 4）如果等腰三角形的一个角为）如果等腰三角形的一个角为100100，则，则 其余两个角为其余两个角为_ 根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质, , 在在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC时，时， (1) (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) (2) AD是中线，是中线，_ _ ，_ =_._ =_. (3) (3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_. A BC D BAD CAD CADBDCD ADBC BD BAD BCADCD 1 1（江西）已知等腰三角形的两条边长分别

14、（江西）已知等腰三角形的两条边长分别 是是7 7和和3 3，则下列四个数中，第三条边的长是，则下列四个数中，第三条边的长是 ( )( ) A A 8 B8 B 7 C7 C 4 D4 D 3 3 2 2( (宁波宁波) ) 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， A=36A=36，BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角的角 平分线，则图中的等腰三角形有（平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A.5A.5个个 B.4B.4个个 C.3 C.3个个 D.2D.2个个 A A B B 3.3.如图如图, ,在三角形在三角形ABDABD中中,C,C是是BDBD上

15、的一点上的一点, , 且且ACAC垂直垂直BD,AC=BC=CD.BD,AC=BC=CD. (1) (1) 求证求证: :ABDABD是等腰三角形是等腰三角形 (2)(2)求求ABDABD的度数的度数 A A B B C C D D 4.4.将下面证明中每一步的理由写在括号内将下面证明中每一步的理由写在括号内: : 已知已知: :如图如图,AB=CD,AD=CB.,AB=CD,AD=CB. 求证求证:A=C.:A=C. 证明证明: :连接连接BD,BD, 在在BADBAD和和DCBDCB中中, , AB=CD( ) AB=CD( ) AD=CB( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BD=DB( ) BAD BAD DCB( )DCB( ) :A=C ( ) :A=C ( ) A A B B C C D D 5.5.已知已知: :如图如图, ,点点B,E,B,E, C,FC,F在同一条直线在同一条直线 上上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.,AB=DE,AC=D