等差数列复习教(学)案与练习题

1、.等差数列一、知识归纳：1等差数列的定义用递推公式表示为：an 1 an d ( nN) 或 anan 1d (n 2, nN) ，其中 d 为常数，叫这个数列的公差。2等差数列的通项公式：ana1( n1)d ，3等差数列的分类：当 d 0 时， a 是递增数列；当d0时， a 是递减数列；当d0时， a 是常数列。nnn4等差中项：如果在 a,b 中间插入一个数A ，使 a, A,b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且a bA25等差数列的前n 项和公式：Snn(a1an ) ，或 Snna1n(n1) d ，此式还可变形为 Snd n2(a1d )n22226等差数列

2、的主要性质：（ 1） anak(n k )d（ 2）若 mn2 p （ m, n, pN），则 am an2ap（ 3）若 mnpq ，则 amanapaq （反之也成立）（其中m, n, p,qN）如： a1ana2 an 1a3an 2二、学习要点：1学习等差数列要正确理解与运用基本公式，要抓住首项a1 与公差 d 两个基本量解决问题。注意：（ 1）证明一个数列为等差数列的常用方法：（定义法）证明： an 1 an 常数；（等差中项法）证明：an 1an 12an ( n2)（ 2）公差 d0 的等差数列的通项是n 的一次函数ananb ，其中 a 即为公差。（ 3） d0 的等差数列的前

3、n 项和公式是n 的没有常数项的二次函数Snan2bn2解决等差数列问题应注意性质的灵活运用。3巧设公差是解决问题的一种重要方法。三数成等差数列，可设为：a, ad ,a2d 或 ad ,a,ad ；三、例题分析：.下载可编辑 .例 1 设 an 是等差数列（ 1）若 a7a916， a41，则 a12_.（ 2）若 a1a2a31,anan 1 an 23 ，且 Sn18 ，则 n_.（ 3）若 a81 a116，则 S9_.2解：设 an 是等差数列（ 1） a12 _15_. （ 2） n_27_. （ 3） S9_108_.（ 3）由 2a8 a1112 及 2a8a5a11，得 a5

4、12 ，则 S99(a1 a9 )9a51082例 2 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前 n 项和为 Sn ，且 Sk110 ，（ 1）求 a 及 k 的值；（ 2）设数列 bn 的通项 bnSn，证明数列 bn 是等差数列，并求其前n 项和 Tnn解：（ 1）设该等差数列为 an ，则 a1a, a24,a33a ，由已知有 a3a 8，得 a1a2 ，公差 d 422则 Skka1k(k 1)d 2kk(k 1)2 k 2k22由 Sk110 ，得 k 2k1100 ，解得 k 10 或 k11（舍去）故 a 2 ， k 10（2）由（ 1） Snn(22n)n(n 1) ，则

5、bnSnn1，2n故 bn 1 bn( n2)(n1)1 ，即数列 bn 是首项为2，公差为1 的等差数列n(2n 1)n(n3)Tn22例 3已知数列 an 中， a29, a521，且 an 2 2an 1an0(n N * )（1）求 an 的通项an；（ ）令 b2an ，求数列 bn的前 n 项和Sn2n.下载可编辑 .解：（ 1）Q an 22an1an0(nN*)， an 是等差数列，设 d 为 an 的公差，则 da5a22194523故 an a2(n2) d9 (n 2) 44n 1（ 2）由 an4n1，得 bn24n 1 ，则 bn 是首项 b125 ，公比 q 24

6、的等比数列。故 Sn25 (24n1)32( 24n1)41152例 4 已知数列 a 中a3 ，an21（ n2， nN *），数列 b ，满足1（ nN * ）nnb15ann11a n（ 1）求证数列 bn 是等差数列；（ 2）求数列 an 中的最大项与最小项，并说明理由；（ 3）求 Sn 1b1b2 L bn 1 .解析：（ 1） b11an 1，而1，bn 1nan1211an 11an 1 1an 1bnbn 1an111 ( n N )1an 11an1 bn 是首项为 b115，公差为 1的等差数列a112（ 2）依题意有 an11，而 bn5(n1)1n7 ，an 12bn2

7、22n 7当 n 3 时， 3a1a2a31；当 n4 时， 3 a4 a5a6an15故 an 中的最小值为 a3 -1 ，最大值为 a43(n1)(52n5)( n1)( n5)（ 3） Sn 12222等差数列练习题1等差数列 an 中，已知 a11a5 4 ， an 33 ，则 n（ C， a2）3A48B 49 C50 D 512已知等差数列 an 公差为2，若 a1, a3 , a4 成等比数列，则 a2（ B）.下载可编辑 .A 4B 6C 8D103等差数列 an 中， a1a2a324 ， a18a19a2078 ，则此数列前20 项和为（B）A 160B180 C 200D

8、2204设 an 是等差数列，且a26,a86 ， Sn 是数列 an 的前 n 项和，则（ B）A S4S5B S4S5 C S6S5 DS6S5a8a2662 ， an2n10 ，由 an0 ，得 n5，又 d0解： d268则 an 是递增数列，故S4S5选 B5设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a55，则 S9的值为（A）a39S5A 1B 1C 2D 12解： S99(a1a9 ) 9 2a59 a51S55(a1a5 ) 5 2a35 a36在等差数列 an 中，前 n 项和是 Sn，若 a75, S721，则 S10 （ A）A 40B 55C 35D 707等差数

9、列 an 的公差为1，且 a1a2a98a9999 ，则 a3a6a9a96a99（ D）A 16B33C 48D 66解：由 a1a2a98a99( a1a4a97 )(a2a5a98 )( a3a6a99 )3(a3a6a99 )332d33d可得 3(a3a6a99 )99998在等差数列 an 中， a13a8a15120 ，则 3a9a11 的值为（D）A 6B12C24 D 48解析由已知有5a8120 ， a8 24，则3a9a113(a8d )(a8 3d )2a89在等差数列 an 中， a53,a62 ，则 a4a5a10_52 _10已知等差数列 an 的前 n 项和为

10、Sn ，若 a418a5 ，则 S8 _72_11已知等差数列 an 中，a3a716, a4a60, 求 an 前 n 项和 Sn .解：设 an的公差为 d ，则.下载可编辑 .a12da16d16即a128da112d216解得a18,a18或a13d a15d 0a14dd 2,d2因此 Sn8n n n1n n 9 ，或 Sn8n n n1n n912设 an 是公差 d （ d0 ）的等差数列，它的前10 项和 S10110 且 a1, a2 ,a4 成等比数列（ 1）证明： a1d ；（ 2）求公差 d 的值和数列 an 的通项公式。解：（ 1）因 a1 , a2 , a4 成等

11、比数列，故a22a1a4 ，又 an 是等差数列，则 (a1d ) 2a1 (a1 3d )化简得 d 2a1d ，因 d0，所以 a1d（ 2）S1010a1109 d10a145d ，又 S10110 ，且 a1d ，2则 55d110d2故 an2n13已知数列 an 是等差数列，其前n 项和为 Sn ,a37,S424.（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 p, q 是正整数，且pq , 证明： Sp q1 ( S2 p S2 q ) .2（ 1）解：设等差数列an的公差是 d，依题意得，a12d724. 解得 a13,4a143 dd2.2数列 an 的通项公式为 ana1(

12、n1)d2n1.（ 2）证明： an2n1， Snn(a1an )n 22n.2 2S( SS)2( p q)22( pq)(4 p24p)(4q24q)2( pq)2 ，p q2 p2q p q ,2 Sp q( S2 pS2 q ) 0. Sp q1(S2 pS2 q ).214已知差数列an中， a28, S10185（ 1）求数列 an的通项公式；（ 2）若从数列an中依次取出第2， 4， 8， ，2n ， 项，按原来的顺序排成一个新数列 bn ，试求 bn 的前 n 项和 An .解：（ 1）设等差数列的首项为a1 ，公差为 d ，a1d8a153n2则45d，解得d，所以 an10

13、a11853.下载可编辑 .（2）依题设 bna2n32n2 ，则 Anb1b2bn(3 212) (3 222)(3 2n2)3(2222n )2n3 2(12n )2n6 2n2n61215已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差 d 0，且 a2a345, a1a414（ 1）求公差 d 的值；（ 2）令 bnSn，若数列 bn 也是等差数列，求非零常数c 的值；nc解：（ 1）等差数列 an 中， a2a5a1a414 ，又 a2a345， 则a25a29a3或a359因 d0 ，所以 a2a3 ，故 a25 ， a39 ， da3a24（ 2）由（ 1）知 a11， Snn

14、n(n1)42n2n ，bnSn2n2n2ncnc则有 b11， b26c， b315，由于数列 bn 是等差数列1c23c所以 b1b311526解得 c10 （舍去）2b2 ，即c3c2c或 c12则 bn2n2n bn 是等差数列，故 c12n ，易知21n2等差数列练习题1等差数列 an 中，已知 a11a2a54 ， an33，则 n，（）3A 48B 49C 50D 512已知等差数列 an 公差为2，若 a1, a3 , a4 成等比数列，则a2（）A4B6C8D103等差数列 an 中， a1a2a324 ， a18 a19a2078 ，则此数列前20 项和为（）A 160B

15、180C 200D2204设 an 是等差数列，且a26,a86 ， Sn 是数列 an 的前 n 项和，则（）A S4S5B S4S5 C S6S5 DS6S55设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a55 ，则 S9 的值为（）a39S5.下载可编辑 .A 1B 1C 2D 16在等差数列 n 中，前 n 项和是2an，若a75, S721，则S10（）SA 40B 55C 35D 707等差数列 an 的公差为1，且 a1a2a98a9999 ，则 a3 a6a9a96 a99 （）A 16B33C 48D 668在等差数列 an 中，a13a8 a15120 ，则3a9a11

16、 的值为（）A 6B12C24 D 489在等差数列 an 中， a53,a62 ，则 a4a5a10_10已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn ，若 a418a5 ，则 S8_11已知等差数列 an 中，a3a716, a4a60, 求 an 前 n 项和 Sn .12设 a 是公差 d （ d 0 ）的等差数列，它的前10 项和 10且 a , a ,a成等比数列nS 1101 24（ 1）证明： a1d ；（ 2）求公差 d 的值和数列 an 的通项公式。13已知数列 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn , a37,S424.（ 1）求数列 a 的通项公式；（ 2）设 p, q 是正整数，且pq