第三章半导体中载流子的统计分布布置作业解答

1、第三章作业题解答1、 计算能量在 EEC到EEC100( h2/ 8mn* L2 ) 之间单位体积的量子态数。解： 导带底 EC 附近每单位能量间隔 的量子态数为：V(2 mn *) 3/21( EEC)2gC ( E)h32则在 导带底 EC 附近 dE 能量间隔之间 的量子态数为 gC (E)dE 。在导带底 EC 附近 dE 能量间隔之间 的单位体积 的量子态数为gC (E)dE 。V故能量在 EEC到EEC100(2 h2/ 2mn* L2 ) 之间单位体积 的量子态数为：E100(2h2 /2 m* L2)gC( E) dEZCnECVE100( 2 h2 /2 m * L2 )V(

2、2mn *)3/21Cn(EEC )2 dEEC2h3/ 3L310002、试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为gC (E) 4V (2 mn*) 3/ 2(EEC ) ( 没有布置这一题 )h3证明： Si 、 Ge 在导带底附近的等能面为沿主轴方向的旋转椭球面，设其极值为EC,则E(k ) : k 关系为：E(k )ECh2k12k22k32(mt)2ml与椭球的标准方程：k12k22k321a2b2c2比较得： ab 2mt ( EEC )1/ 2， c2ml ( EEC )1/ 2h2h2a, b, c即 k 空间等能面（旋转椭球）的三个半径，故椭球体积为：V4abc4 (8mm

3、 )1/ 2( EE )3/233h3l tC对应能量为 EE dE 围两椭球壳之间体积为：dVdVdEdE即dV2 3 (8mmlt2)1/2(EEC )1/ 2 dEh设晶体体积为 V ，则其量子态密度为2V （考虑自旋），故在能量空间dV 体积的量子态数为：dZ2V2(8mm 2 )1/ 2 (E E )1/ 2 dEh3ltC因为导带极值在k 空间有 S 个，所以状态密度为：gC (E)dZS4 V(8ml mt2)1/2 ( E EC )1/2dEh3又 mn* mdnS2/3 (ml mt2 )1/3所以gC ( E)4 V (2 mn*) 3/ 2(E EC )1/ 2h33、

4、当 EEF 为 1.5k0T , 4k0T ,10k0T 时，分别用 费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。解：费米分布函数为：1 P69 (3-10)式f (E )1 exp( EEF )k0TE EF玻尔兹曼分布函数为： fB ( E) e k0T P71 (3-13)式上面将 E EF 1.5k0T , 4k0T ,10k0T 分别代入得：f (E) 18， 1.8 ， 0fB ( E)22， 1.8 ， 05、利用表3-2 中的 mn *, mp * 数值，计算Si 、 Ge、 GaAs在室温下的NC , NV 及本征载流子浓度 。（没有布置这一题）解：从表3-2

5、中查得：mn * ：Si 、 Ge、GaAs分别为 1.08 m0 ， 0.56 m0 ，0.068 m0mp * ： Si 、Ge、 GaAs分别为 0.59 m0 ， 0.37 m0 ， 0.47 m0Eg ： Si 、 Ge、GaAs分别为 1.12eV ， 0.67eV ， 1.428eV计算 NC , NV 及本征载流子浓度ni 的公式：(2m * k T )3/ 2NC2n0 P72 （ 3-18 ）式h3NV(2mp * k0T )3/ 2P73 (3-23)2h3式ni 4.8215mp* mn *)3/ 4T3/ 2exp(Eg)%P75 (3-33)式10 (m 22k T

6、00将 Si 、 Ge、 GaAs的 mn *, mp * 值、 k0T 、 Eg 值、分别代入得：NC ：对 Si 、 Ge、 GaAs分别为 2.81025 ,1.061025 , 4.51023 ( m 3 )NV ：对 Si 、 Ge、 GaAs分别为 1.11025 ,5.71024 ,8.21024( m 3 )ni ：对 Si 、 Ge、 GaAs分别为 7.9109 , 2.11013, 2.2106 (cm 3)7（ 1）在室温下 ， Ge 的有效状态密度 N C 1.051019 cm 3 , NV5.71018 cm 3，试求 Ge的载流子有效质量 m*, mp*。计算7

7、7K时的NC和 NV。已知300K时， Eg0.67eV 。77Kn时 Eg 0.76eV 。求这 两个温度 时 Ge的本征载流子浓度 。解：（ 1）由公式 N C(2mn * k0T )3/ 2P74(3-18)式2h3NV(2mp * k0T )3/ 2 P74（ 3-23 ）式2h3将 NC 、 NV 、 k0T 、 h 的数值代入可解得：mn *5.110 31 kg ， mp * 3.3 10 31 kg（2）将 mn * 、 mp * 和 T=77K代入 NC 、 NV公式得：NC1.371024 (m 3 )1.371018 (cm 3 )NV7.3410 23 (m 3 )7.

8、341017 ( cm 3 )（3）本征载流子浓度公式：ni(NC NV )1/2 exp(Eg) %P76 (3-31)式2k0T将 NC 、 NV 、 Eg 、 k0 、 T 代入得：ni _3002.0 1013 cm 3 ， ni _774.5 1011 cm 313、有一掺磷的n 型硅， N D 1015 cm 3 ，分别计算温度为（1） 300K;(2)500K （ 3） 800K时导带中电子浓度（本征激发载流子浓度数值查图3-7 ）。解： n 型 Si 中电子浓度与温度的关系 如图所示：（1 ） 300K时， n型Si处于过渡区，杂质全部电离。且1.51010 cm 3ni =N

9、D1015 cm 31018 cm 3 ，说明该 n 型 Si 是非简并半导体， 且本征激发可忽略。所以导带电子浓度：n0nDN D1 1015 cm 3（2）500K 时， n 型 Si 中杂质已全部电离，且本征激发已经开始起作用（不能忽略） 。此时，电中性方程为：n0nD p0 N D p0又 n pn 2,查图 3-7 得ni _5003.51014 cm 3 , 则可解得：0 0in01.1 1015 cm 3（ 3） 800K 时， n 型 Si 处于本征激发区，杂质全部电离，本征激发开始起主要作用。此时，电中性方程为：n0nDp0N Dp0（ I ）又有n0 p0ni2(II)查图

10、 3-7 得ni _800 9 1016 cm 3, 则联立（ I ）（ II）可解得：n091016 cm 317、施主浓度为1013 cm 3 的 n 型 Si, 计算 400K 时本征载流子浓度 、多子浓度 、少子浓度 和费米能级的位置 。解：由 P77 图 3-7可查得： T=400K 时，本征载流子浓度ni71012 cm 3n 型 Si 处于过渡区，杂质全部电离，且7 1012 cm 3niN D1013 cm 31018 cm 3，说明该 n 型 Si 是非简并半导体，且本征激发不可忽略。电中性方程为：n0nDp0N D p0(I)又有n0 p0ni2(II)代入 ni , N

11、D 数值可解得：n01.361013 cm 3 (多子 )反双曲正弦函数：123p03.6010cm （少子）x2 1)过渡区，费米能级公式：sh 1 ( x) ln( xEFEkTsh 1 ( ND ) P83 (3-58)式i02niEi(0.035eV )ln(0.70.72 1)Ei0.023eV即费米能级在禁带中线上面0.023eV 处。18、掺磷的 n 型 Si ，已知磷的电离能为0.044eV ，求室温下杂质一半电离时费米能级的位置和磷的浓度 。解：杂质一半电离时，即电子占据施主杂质能级（未电离）的概率：f D ( E)150% 50%即：f D ( E)150%P78(3-35

12、) 式1 1 exp( EDEF )2k0TEF ED k0T ln 2ED 0.018eV(*)又EDECED0.044eVEDEC0.044eVEFEc0.062eV即费米能级在导带底下面0.062eV 处。代入（ * ）式得：【求磷的浓度】因为EcEF0.062eV2k0T0.052eV , 所以该掺P 的 n 型 Si 是非简并半导体。室温下，当杂质电离一半时，本征激发还未开始（可忽略），电中性方程为n0nDND(I)2又n0NC exp(ECEF )(II)%P74 (3-19)式k0T联立（ I ） (II)得：N DN C exp(EC EF)（ III）2k0T查表 3-2 得

13、 NC2.81019 cm 3， ECEF0.062eV ， k0T0.026eV 代入（ III）式得：N D5.21018 cm 316、掺有浓度为 1.5 1023 砷原子 / m3 和 5 1022铟原子 / m3 的 Ge 材料，分别计算（ 1）300K(2)600K时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征半导体载流子浓度数值查图3-7 ）。解 ：（1 ）300K时，半导体处于过渡区，杂质全部电离。且2.4 1013 cm 3ni =N D N A1.0 1017 cm 31018cm 3 ，说明该 Ge 材料是非简并半导体，且本征激发可忽略。电中性方程为：n0pAnD即：n0N AN

14、 D解得： n0 1.01017 cm 3 (多子 )少子浓度 p0ni2(2.41013 cm 3 )25.76109 cm 3(少子 )n01.01017 cm 3过渡区，费米能级公式：EFEi k0Tsh 1 ( N DN A ) P83 (3-58)式2niEi(0.026 eV)sh11.01017 cm 33 )(13cm2 2.410Ei0.22eV即费米能级在禁带中线上面0.22eV 处。（ 2）600K 时，半导体处于本征激发区，杂质全部电离，本征激发开始起主要作用。电中性方程为：n0pAp0nD即n0N Ap0N D即n0 5 1016 cm 3p01.5 1017 cm

15、3（ I ）又p0 n0ni2(II)查图 3-7 得， 600K 时 Ge 的本征载流子浓度：ni91016 cm 3（ III）联立（ I ）、(II) 、 (III)式解得：n1.51017cm 30p05.31016 cm 3一般情况下（即既含施主杂质，又含受主杂质），本征激发区，费米能级公式：EFEi k0T ln (N DNA) (NDN A )221/ 24ni P92 (3-95)式2niEi(20.026eV )ln1.01017 cm 3 (1.0 1017 cm 3 ) 24 (91016 cm 3 )2 1/ 229 1016 cm 3Ei0.028eV即费米能级在禁带

16、中线上面0.028eV处。20、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层， 再在外延层中扩散B、 P 而成。（1）设 n 型 Si 单晶衬底是掺锑（ Sb）的， Sb 的电离能为0.039eV, 300K 时 EF 位于导带底下面 0.026eV 处，计算 Sb 的浓度 和导带中电子浓度 。（2）设 n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.61015 cm 3 ，计算300K 时 EF的位置 及电子 和空穴浓度 。（3）在外延层中扩散B 后， B 的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深处B 浓度为5.21015 cm 3 ，计算300K 时 EF 的位置 及电子 和空穴

17、浓度 。（4）如果温度升高到500K，计算（ 3）中电子和空穴的浓度 （本征载流子浓度数值查图3-7 ）。解：（ 1）由题意可知： EFEC0.026eV , 则有 ECEFk0T ，不满足 ECEF? k0T 的条件 （说明衬底不是非简并半导体，以简并半导体的情况考虑）。 ECEFk0T 属于弱简并的围（ 0EC EF2k0T见 P95）。此时，杂质浓度为：N D2N C 1 2exp( EFEC )exp(ED ) F1/ 2( EFEC )（ I ）%P95 (3-112)式k0Tk0Tk0T已知： ED0.039eV , EF EC0.026eV , k0T0.026eV ， NC2.

18、81019 cm 3（查P77 表 3-2 得）代入 (I)式得：22.8 1019 cm 31)exp(1.5)F1/ 2 (1)ND1 2exp(N C 2 (2 mn * k0T )3/ 21.361020 cm 3F1/ 2 (1), 仅与h3有效质量和温度有关查 P94 费米积分曲线： F1/ 2 (1)0.3代入N D 表达式得N D4.081019 cm 3对简并半导体：导带电子浓度n0NC2EF EC)%P94 (3-110)式F1/ 2(k0T即 n0 2.81019 cm 32F1/ 2(1)9.5 1018cm 3（2）对外延层：在300K时，处于过渡区，杂质全部电离，且1.5 1010 cm 3ni = ND4.61015 cm 31018 cm 3，说明外延层是非简并半导体，且本征激发可忽略。则：过渡区，费米能级：EFEik0Tsh 1 ( N D )2niEi0.026eV sh1(4.61015 cm 33 )1.5 1010cm2Ei0.33eV即费米能级在禁带中线上面0.33eV 处。【求电子和空穴浓度】由上面分析可知，电子浓度n