高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

1、高中数学专题训练导数的应用极值与最值一、选择题函数3bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和1，则()1yax3Aa2b 0B 2ab0C2a b 0D a 2b0答案D解析y 3ax2 2bx，据题意，10、3是方程 3ax22bx 0 的两根2b1，a2b 0.3a3x 取极小值时， x()当函数2yx211A.ln2B ln2C ln2Dln2答案B x x解析由 yx2x 得y2 x 2 ln2令 y 0 得 2x(1 xln2)02x10，x ln233函数 f(x)x 3bx3b 在(0,1)内有极小值，则 ()1Cb0Db2答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，

2、则 f(x) 3x2 3b 在 (0,1)上先负后正，f(0) 3b 0，b 0， f(1)33b0，b 1综上， b 的范围为 0b14连续函数f(x)的导函数为f(x)，若 (x 1) f(x)0，则下列结论中正确的是()Ax 1 一定是函数 f(x)的极大值点Bx 1 一定是函数 f(x)的极小值点Cx 1 不是函数 f(x)的极值点Dx 1 不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x 1 时， f (x)0x 1 时， f(x)0连续函数 f(x)在 ( ， 1)单减，在 (1， )单增，x 1 为极小值点x35函数 y3 x23x4 在0,2 上的最小值是 ()A17B1033C4D6

3、43答案A解析y x2 2x3.令 y x22x 3 0， x 3 或 x1 为极值点当 x0,1 时，y0，所以当 x1 时，函数取得极小值，也为最小值17当x1 时， ymin 3 .6函数 f(x)的导函数 f (x)的图象，如右图所示，则()Ax1 是最小值点Bx0 是极小值点Cx2 是极小值点D函数 f(x)在(1,2)上单增答案C解析由导数图象可知， x0，x2为两极值点， x0 为极大值点， x2为极小值点，选 C.132727已知函数 f(x) 2x x2x，则 f(a )与 f(1)的大小关系为 ()Af(a2)f(1)Bf(a2)f( 1)Cf(a2)f(1)Df(a2)与

4、 f( 1)的大小关系不确定答案A解析327由题意可得 f(x)x .22x217由 f(x)2(3x 7)(x1)0，得 x 1 或 x3.7当 x1 时，f(x)为增函数；当 1x2时， f(x)0；1当 x0.x1时取极大值， f(1) 1 11.22e22e1x12xx)e.2x2 x二、填空题9若 y alnxbx2x_.21答案36a解析y x2bx1.在 x1 和 x2 处有极值，则 a_， ba 2b10由已知a2 4b10，解得2a 31b 613210已知函数 f(x)3xbxc(b，c 为常数 )当 x2 时，函数 f(x)取得极值，若函数 f(x)只有三个零点，则实数c

5、 的取值范围为 _4答案0c0则1，解得 0c42323f 2 2，3c011设 mR，若函数 y ex2mx(xR)有大于零的极值点，则m 的取值范围是 _1答案m1，即 m0，所以不存在实数 a，使得 f(x)是(， ) 上的单调函数15已知定义在 R 上的函数 f(x)x2(ax3)，其中 a 为常数(1)若 x1 是函数 f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)若函数 f(x)在区间 (1,0)上是增函数，求a 的取值范围322x 1 是 f(x)的一个极值点， f(1) 0，a 2.(2)解法一当 a 0 时， f(x) 3x2 在区间 (1,0)上是增函数， a0 符合题意；22当

6、 a0 时， f(x) 3ax(x a)，令 f (x) 0 得： x1 0， x2a.当 a0 时，对任意 x (1,0)，f (x)0，a0 符合题意；221，2a0符合题意；当 a0，aa综上所述， a 2.解法二f(x) 3ax2 6x0 在区间 (1,0)上恒成立， 3ax60，a2x 2 2在区间 (1,0)上恒成立，又 2，a 2.x 116已知函数 f(x) x2ax1lnx.1(1)若 f(x)在(0， 2)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由解析111(1)f(x) 2x a x，f(x)

7、在(0，2)上为减函数，x(0，2)时 2x1 a x0 恒成立，即1a4，g (x)g(2) 3，a3.(2)若 f(x)既有极大值又有极小值，则f(x) 0 必须有两个不等的正实数根x1， x2 ，即 2x2 0有两个不等的正实数根ax 10a280故 a 应满足 a?2时，? a2 2，当 a220a0f (x)0 有两个不等的实数根，不妨设 x x ，1212212112由 f (x) x(2xax 1) x(x x )(xx)知，0xx时 f(x)0，x x0， xx2 时 f (x)22时 f(x)既有极大值 f(x )又有极小值 f(x )2111. 已知 y f(x)是奇函数，

8、当x (0,2)时， f(x)lnx ax(a2)，当 x( 2,0)时， f(x)的最小值为1，则 a 的值等于 _答案解析1f(x)是奇函数， f(x)在(0,2)上的最大值为1，1当 x(0,2)时， f(x) xa，令f(x)0 得1x a，又11a2，0a0，则11xa，f(x)在(0， a)上递增；11令 f(x)a，f(x)在(a， 2)上递减，max11110，得 a1.f(x) f() ln a 1，lnaaaa2设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x 2 时取得极值(1)求 a、b 的值；(2)若对任意的 x0,3 ，都有 f(x)0；当 x(1,2)时

9、， f (x)0.所以，当 x1 时， f(x) 取得极大值 f(1)58c.又 f(0) 8c，f(3) 98c，则当 x 0,3 时， f(x)的最大值为 f(3) 9 8c.因为对于任意的 x0,3 ，有 f(x)c2 恒成立，所以 98cc2，解得 c9.因此 c 的取值范围为 ( ， 1) (9， )3已知函数 f(x) x33ax2 3x1.(1)设 a2，求 f(x)的单调区间；(2)设 f(x)在区间 (2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围解析 (1)当 a2 时，f(x)x3 2 ，(x) 3)(x 3)6x3x 1 f3(x 22当 x( ，2 3)时 f(x)0，

10、f(x)在( ，2 3)上单调增加；当 x(2 3， 2 3)时 f (x) 0， f(x)在(2 3，2 3)上单调减少；当 x(2 3， )时 f(x)0，f(x)在(2 3， )上单调增加综上， f(x) 的单调增区间是 ( ，2 3)和 (2 3， )，f(x)的单调减区间是 (23，23)(2)f(x)3(xa)2 1a2 当 1 a20 时， f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值点；当 1 a20 时， f(x)0 有两个根，x1 aa21，x2aa21.由题意知， 2aa213，或 2 a a2 13.5 5式无解式的解为 4a3.5 5因此 a 的取值范围是 (4，

11、3)1“我们称使 f(x)0的 x 为函数 y f(x)的零点若函数 yf(x)在区间 a，b上是连续的，单调的函数，且满足f(a) f(b)0，f(x)在2,7 上单调递减，又 f(7) 6ln83618(ln2 2)0，f(2) f(7)0.f(x)在2,7 上有唯一零点当 x7 ， )时， f(x) f(7)0，x 2x1即 f(x)在 (0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1) a，因此 a2.3已知函数 f(x) x33x29x a.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间 2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值分析 本题考查多项式的导数

12、公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较 f(2)和 f( 2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出 a.解 (1)f (x) 3x2 6x9.令 f(x)0，解得 x3，函数 f(x)的单调递减区间为 (， 1)，(3， )(2)f(2)81218a2a，f(2) 81218 a 22a，f(2)f( 2)在(1,3)上 f(x)0，f(x)在( 1,2上单调递增又由于 f(x)在 2， 1)上单调递减，f(1)是 f(x)的极小值，且f( 1)a5.f(2)和 f( 1)分别是 f(x)在区间 2,2上的最大值和最小值，于是有22a 20，解得 a 2.f(x) x

13、3 3x2 9x2.f(1)a5 7，即函数 f(x)在区间 2,2上的最小值为 7.x4已知函数 f(x) xe (xR)(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数 yg(x)的图象与函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称证明当x1 时， f(x)g(x)；(3)如果 x1 x2，且 f(x1 )f(x2)，证明 x1x22.x令 f(x)0，解得 x 1.当 x 变化时， f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(， 1)1f(x)0(1， )f(x)极大值所以 f(x)在( ，1)内是增函数，在 (1， )内是减函数1函数 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)，且 f

14、(1) e.(2)由题意可知 g(x) f(2 x)，得 g(x)(2x)ex2.令 F(x)f(x)g(x)，即 F(x)xex (x2)ex2，于是 F(x) (x1)(e2x2 1)ex.当 x1 时， 2x20，从而 e2x210，又 ex0.所以 F(x) 0.从而函数 F(x)在1 ， )上是增函数又 F(1)e1e1 0，所以 x1 时，有 F(x)F(1)0，即 f(x) g(x)(3)若 (x1 1)(x2 1)0，由(1)及 f(x1) f(x2)，得 x1 x21，与 x1x2 矛盾若 (x11)(x21) 0，由 (1)及 f(x1) f(x2)，得 x1x2，与 x1

15、x2 矛盾根据得 (x1 1)(x21)0，不妨设 x11，x21.由(2)可知，f(x2)g(x2)，g(x2 )f(2x2)，所以 f(x2)f(2x2)，从而 f(x1)f(2 x2 )，因为 x2 1，所以 2x21，又由 (1)可知函数 f(x)在区间 (， 1)内是增函数，所以 x1 2x2，即 x1 x22.33225已知函数 f(x) ax2ax ，函数 g(x) 3(x 1) .(1)当 a0 时，求 f(x)和 g(x)的公共单调区间；(2)当 a2 时，求函数 h(x) f(x)g(x)的极小值；(3)讨论方程 f(x)g(x)的解的个数解 (1)f (x)3ax2 ，又

16、a0，由f(x)0得x1由 f (x)0 得 0x1，即函数 f(x)的单调递增区间是 ( ，0)与(1， )，单调递减区间是 (0,1)，而函数 g(x)的单调递减区间是 ( ，1)，单调递增区间是 (1， )，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，)3322， 2 2(2)h(x)ax ax 3(x1)3ax )(x 1)，2h (x)3(a2)x 6 3a(xa22令 h(x) 0，得 xa或 x 1，由于 a1，易知 x1为函数 h(x)的极小值点，ah(x)的极小值为 h(1)2.(3)令 (x) f(x) g(x)ax33(a2)x26x ，23(x) 3ax223(a2)x63a(x a)(x1)，若 a0，则